db„,dbf^^i

ou, en mettant pour -77^9 -77 — 7: — >••• leurs valeurs tirées ' ^ dbi, db^db„^

de la seconde (3),

(b) P, = 2 V,,, (x — j:,)' (jt — x,)'-!- 2 V,,3(^ — .r,)^(a?— Xj^-h. . .

Si l'on fait subir à la fonction V une troisième fois Topération Pi, c'est-à-dire si l'on forme le cube du polynôme Pi en changeant dans les dérivées les exposants en indices, et qu'on ait égard à la troisième (3), on trouvera

et généralement l'opération Pi , répétée r fois de suite , conduira à

(d) Pr= 1.2.3... rV,,,,3,...r(^ — ^i)'(^ ^d'" (•« — ^r)'^....

Actuellement, si les équations /(x) = o, (p (x) = o ont une seule racine commune a^i , on a

( «79) si deux racines communes j:, , a:* ,

si trois racines communes Xt, Xf, x^^

V = 0, P.=rO, P,=rO, P3=6V,,,,3(JP — ^.)M-^ — ^0'(* — ^3)';

et généralement, pour r racines communes 0*1, Xt,..., Xr<, on aura

V = o, Pi=o, P,= o,..., Pr-, = 0, P^= 1.2.3. . .r V,,,,3...r(r — ar,)'(x — x,)', . . (x — jt^)'.

Donc, si, dans le symbole d'opération P^, on fait 5 = 1, les équations du premier, second , . . . , r*'**' degré

P, = 0, Pj = 0,. . . , P;.=:0

auront pour racines respectivement la seule racine Xt commune aux deux équations f{x) == o, (j> (a?) = 0; les deux seules racines communes Xi , Xj , . . . 5 les r seules racines communes Xi , Xt , . . . , x^.

Maintenant en faisant ^ = i dans l'expression de Pj , et répétant r fois cette même opération Pj , on obtient

Pr= — - x'-^r — j3^ jr'-'H-. . .

dy,n db'in ' db^^i

dbn db,n-^i dbm^i

ce qui fournit la démonstration générale du théorème énoncé au commencement.

Supposons présentement que réquationy^(a:) = o contienne i groupes de racines, pour le premier desquels le degré de multiplicité des racines soit r, , pour le second /'s , . . . , pour le /**'"% o 5 et soit fait /'i H- r, -f- . . . -f- 7\ = r. En désignant par V le discriminant de l'équation f[x) = o,

( «8o) et par Pj le symbole d^opéiation

dan dan^x dOns+x (ian-^s

on aura

V = 0, P, = 0, P,= 0,..., Pr, = 0,

P, = -^[{.r--.r.)'-'(:r-x, )'•«... [x -- x„Yi]%

Xi 5 j:j , . . . , Xi étant les racines qui correspondent respectivement à chacun des groupes dont on a parlé; et conséquemment , pour 5 = 1, Péquation P^ = o aura pour racines les jCi, Xî, . . . , Xi aux degrés de multiplicité respectifs Tf, /'s,. . ., r,: Il va sans dire que dans la démonstration directe de ce théorème les équations que l'on rencontre et qui sont les homologues de (a), (i), (c), [d] n'ont nullement la forme de ces dernières.

Dans le cas de 5 = tï, ce théorème coïncide avec celui de M. Sylvester, relatif du discriminant d'une fonction homogène à deux variables (Philosophical Magazine, mai i85a). Le grand avantage de l'indétermination de s consiste dans la possibilité de déterminer les équations qui ont pour racines les racines communes ou les racines multiples; et cela par la simple supposition de 5 = i .

Si Xi= Xj = . . . = Xi^ c'est-à-dire si l'équation f{x) =0 admet r-4- i fois la racine Xi, en faisant 5 = 1, on aura, comme corollaire du dernier théorème ,

et, par suite,

dan

da'T' don-ii dan pour l'expression de la racine multiple.

( «8. ) L'extension de la méthode au cas de trois équations à deux variables ne présente aucune difficulté. Supposons que les équations f(x^ j-) = o, ç (^x^ ^) = o admettent les couples de racines communs

et soit

-H («m,o-|- ««.!/+• •• +««,mr^) =

une troisième équation. Si Ton fait

on aura

Lors donc que le seul groupe (^u^i) donnera ip (^jj^) =o, il viendra

d'où

««iii,o ^««,t ^«m-.,»

ce qui fait connaître x^ et y^. De même, si les deux seuls groupes (^1 , Ji), [xt', /s) de la suite {h) annulent ^ (x, j) , on a

et ainsi de suite.

( '82) On pourrait donner à ces résultats une forme plus générale, comme dans le cas de deux équations*, mais la chose ne préisente pas de difficulté. On pourrait aussi obtenir les conditions analogues à celles de Lagrange, pour que trois t)Uiin plus grand nombre d'équations admettent des racines communes. Pour le cas précédent, par exemple, on aurait

SUR