LA 0IFFÉRENTIATION DES FONCTIONS DE FONCTIONS -SÉRIES

DE BVRMAlNDI, DE LAGRANGE, DE WROliSKI ^

Par m. a.. ,

Ancien élève de TÉcole Polytechnique.

Soient les deux équations on se propose dç calculer -r— sans passer par x' T"''""'

g = F'(r)?"(.r)-hF"(r)?'WS

^ = A, F' {y) + A, F" (r ) + . . . + A, FW (jr ). Al, Aj,. . ., A, étant des coefficients qui dépendent uni-.

( i83) quement de y (x) el nullement de la fonction F (y) , comme il est facile de le montrer en prouvant que la loi , supposée vraie pour la dérivée n**"", le sera encore pour. la dérivée (n -»- lY'"^.

On peut donc prendre pour F {y) une fonction quelconque dey^ eP^ par exemple, et Ai, Aj, . . . , A„ seront les coefficients qui multiplieront pe^^^ p*<^^^^ • • • » p'^e^^ dans

l'expression de ' \ qu'il s'agit conséquemment de trouver.

Observons , à cet effet , que ^ — est le coef-

ficient de A" dans le développement de e^'^^'''^^^ suivant les puissances de A. Or

En développant e , e ''^, . . . , et etlectuant le pro-

duit, on aura pour terme général

'^ I.2.3...//2t I.2.3...Wa

Ll*2.3.,./lJ

par conséquent, si Ton pose

Wi -h 2W3-h 3 /W3 -*-•... -f- nmn = «,

(.84) le coefficient de A" sera

d'^.ePr

eP9 C"^) 2 f^i-^rn^-^ . : . +iii„ L =L X

ViMT

i.2.3...ii c/r" '^ i.2.3...mi

Pour avoir dans cette équation le coefficient de p'^^e^^ ou A,„ , il ne faudra prendre évidemment que les termes pour lesquels on aurai

w, -h Wa -f- • . • -h 'Wrt ^ /w.

Donc 9 en déânitive , on aura

Afl, = i.2.3...?ï2