m dh''-'^ FC) (/) (Ô")o
OU bien
Si Ton avait trois équations
ou
3 = 4>(a-) =n (w); en posant
on aurait, par ce qui précède,
^ 1.2 ' ^^^ rf/^«-' ^ ^"'
/(« -h fi) — /W puis, en laisant — ^ — ^^-^^ = w,
II ne resterait plus qu'à remplacer Uj, U,,.*-? U„ par leur valeur pour mettre en évidence la loi de dérivation pour les fonctions de fonctions 5 et ainsi de suite quel que soit le nombre des, fonctions superposées.
Revenons à Téquation (a) qu'on peut encore écrire
. ) dx'^ ^ ^' dy'' 1 dh dy"-'
[ "^ 1.2 dh'^-^ flfj"-' -f- • • • ,
d'* z et, supposant qu'on ahz = F{x)^ jr=(f (x) , cherchons — •
z pouvant évidemment être considéré comme une fonction implicite dey, on aura, d'après l'équation (i),
n{n — i) d^Jfi^^d^-^z
z f/"-' z n — I rf(0"-')o d"-- z
dlr»-' ^ ^Vj«-' I fl?/t df-
<for> "^ '" dy-'~~\ dy' dy
$i l'on multiplie ces équations, en commençant par la pre-
( '88) mière, respectivement par
et qu on ajoute les résultats, on obtiendra
\ ^ — ( "••^■^ ~ dh 1^
\ 1.2 rfA" rfa;"-'
Err * j^. (/ï — 1)(« — 2)...(/» — /w + i)^ , n effet, en désignant par ^ r, \ ^^ C le
coefficient de ^^ dans la somme des produits ci-dessus,
on aura
^ ^' dh'^ ^^ ^ I dh dh'^' ^
ou bien
^ ^" r/A" ' T dh dh'^-' "^"* I
dh dh"'-' "^ I </A' ^/i'»-» ■+"••• I
(«89) OU enfin
ce qui rend manifeste l'exactitude de l'équation (2). Si Ton observe qu on a, en général ,
daf" dh"' ^
et qu'on pose
l'équation {2) pourra s'écrire, plus brièvement ,
On déduit de cette dernière équation une démonstration très-simple et très-directe de la série dé Burmann.
Soit , en effet , x une fonction de y donnée par l'équation jrz= (f(x). En remplaçant, dans la fonction F(x), jcpar sa valeur en j^ censée déduite de cette équation, et supposant que F (x) devienne alors une fonction continue de j^ le théorème de Taylor donnera un développement de la forme
F (^) = Ao -f- A, j^ -h Aa r ' + . . . .
Differeniiant n fois cette série et ayant soin de faire y=o après les différentiations, on aura, sous cette dernière condition ,
OU bien, en ayant égard à l'équation (3) et désignant par a
( >9« ) ' la valeur de x, qui répond à y = o,
ou , si l'on veut ,
<« '■=Tdrr^^|[TÎi7T^'''L.;
Nous ne nous préoccupons pas ici de la question de savoir sous quelles conditions celte série de Burmann peut exister.
Quand on fait
l'équation (4) devient
1.2.3... n ^fl"-» LTV/ \ / j j et Ton retrouve la série de Lagrange F{*) = F(«) + [^(a)F'{«)]>--|-^[>K«)»F(«)]-^+...,
propre à représenter une fonction F (j:) de la racine de l'équation
qui se réduit à a pour y= o.
Dans l'équation (2), faisons successivement z=y^
y^^>.>. j'", et désignons, pour abréger, J^ par D"y(a:),
( '9' ) nous obtiendrons les identités
o = (()-).D«ç(^) + 1— ' ^(L!l«D»-t(,r) -h. . . rf»-'(9-«).
rf/*"
Ces identités font voir que si Ton a les équations
et qu'on les multiplie respectivement par
rf/i^
( "92 ) on trouvera
1 .2.3.. . «/. = (9-).D».F(a;) + HZi ^Çl» . D-'.F{ar) -(-. ..
I an
Mais les équations (A), résolues à la manière ordinaire, donnent
2[±D^(p(J?)D^y(J:)^..D»-^y(J:)'«-'D^F(ar)] *^" "" 2[±:D'.fp(ar)D'.(p(j?/...D»-'.(p(x)"-'.D".<ï)(x)"]'
les déterminants étant formés par rapport aux indices de différentiation. En égalant ces deux valeurs de y^y on aura
i.t2.3. . . n '^2[±D^<^)^ar)D^<p(^)^. .D".(p(a:)»]
En développant les deux membres de cette équation suivant les dérivées de F [x) et observant que les coefficients des mêmes dérivées doivent être identiques, à cause de l'indétermination de F{a:), on aura, en égalant ceux de.
1.2.3.../!^ ^' 2[±D'.ç(a?)D'.(ï)(a:)^..D»-'.<p(x)»-'D".y(^)"]' d'où l'on tirera
2 [ztD' .y (x) D».(p{x)». . . D".y (x)«]
( = i!2!.../i!L0 "^ Jo=iÎ2Î.../i![D(p(x)] ^
et, par suite, l'équation (a) deviendra
( «93 ) (le symbole r! représentant, suivant Tusage, le produit continuel i . 2 . 3 . . . r) .
Ce beau théorème, ainsi que Téquation (j3), sont dus à M. Wronski (Philosophie de la-Technie, 2* sect., p. 1 10). M. Prouhet a donné, par d'autres considérations, unie belle démonstration de l'équation ((3).
(Extrait des Nauçelles Annales de M. Terquem, tomes IX et XI.)
