APERÇU SUCCINCT

SDR

LES HYPÈRDÉTERMINANTS ET LES INVARIANTS;

Par le TRADUCTEUR.

Considérons un système de n fonctions algébriques, entières', etc.,

des variables JC, y , . . . , -z en nombre quelconque 5 et soit ç une nouvelle fonction des mêmes variables, dont les coefficients dépendent , suivant de. certaines lois , de ceux des proposées. Remplaçons, dans les fonctions (/) , f

!x par a a: 4- a'j -+•...-+- aC'> z, r par par + PV H + P^'^ «>

« par 7 a: -h 7'^ -h. . .4- 7(*)«,

ce qui les transforme dans

Formons une fonction 4>, composée à l'égard des fonctions

( «94 ) (/') absolument de la même manière que <f est composée à regard des fonctions (/*), en sorte que ^ï* est ce que devient 9 quadd , dans cette dernière fonction , on met en lieu et place des coeflScients des fonctions (/) les coefficients correspondants des fonctions (/*'). Ces points entendus, s'il arrive que la fonction ç soit d'une forme telle, qu'en la.soumettant à la substitution (a) elle reproduise précisément la fonction * [à un facteur numérique près (*)], cette fonction (f constitue dans ce cas ce que M. Cayley, à qui la conception en est due, a nommé une fonction hyperdéterminante ou un hjperdéterminant relatif au système (/) . En résumé, les hy perde terminants sont des fonctions tellement composées à l'égard d'un système donné, que les fonctions homologues, relatives au système linéairement transformé, sont les transformées des premières suivant la même substitution.

Par exemple, supposons que le système [f] se réduise à, la seule fonction

/= flx* + 3 bx* J^ + 3 rarj' 4- dy^j

et prenons

f = (5*— ac) dp' -4- (^c — ad) xy -4- (c*— hd)y.

La substitution jc = a: + a!y^ y =y transforme / dans

/' = rt'.r» -H 3 *'x»7 4- 3 c'.rj'H- £/' j%

où

a' = ay b'=: b -haa% c'=r c 4- 2 ^a' -h fla'% rr = rf-h3ca'-h3^a"-f « a'\

La fonction 4>, déduite de/' de la même manière que (f

{*) n faut entendre par ce facteur numérique un facteur uniquement dépendant des éléments a,y ei\..., de la substitution. Je n*en parler»! pa» d'ans ce qui suit.

( '95) de y, c'est-à-dire

$ = (ft'»— «'<:')jr'-+-{ft'c' — fl'rf')xr -+-(«?'»— *'i/')^%

devient, d'après les valeurs précédentes de a', h\ c/, J',

+ 2(^*— ac)o(f

xy '\'C* — bd -j- (bc -^ ad) ot'

-f- (*» — ûc)a'>

Or, si l'on soumet y à la substitution x = a: -H a' j^, j" =jr^ on trouve précisément cette dernière fonction <ï> 5 et comme les mêmes circonstances se reproduiraient pour la substitution tout à fait générale x = (xx-h oly^y = ^x •+- jS'y, il en résulte que y est un hjperdéterminant de f. On suppose ordinairement que le déterminant

qu'on nomme le module de la substitution (a), est égal à l'unité, et dans ce cas la substitution est dite unimoduhdre. Si ce module était quelconque, la substitution (a), introduite dans Thyperdé terminant (j), reproduirait 4> multipliée partine certaine puissance du module, les fonctions [f) étant toutefois supposées homogènes.

Considérons^ avec M, Sylvester, la substitution [a) et là substitution

X = a.« 4- a' j -{-•.. -h a('^ z 7=:ba: -4-b'j-f-. . .H-b^')«

z = ex 4- c'jr-f*. . --h c('>»

Ces deux substitutions étant supposées unimodulaires , supposons d'autre part que chaque élément. de la seconde soit égal à ce que devient le déterminant M de la première

quand on remplace, dans ce déterminant, l'élément correspondant à celui que Ton considère par l'unité, el par des zéros tous les éléments situés dans la même ligne et dans la même colonne que celui quon vient de réduire à l'unité : en sorte que , par exemple ,

Tous les éléments du système (a) étant ainsi liés aux éléments du système (a), on vérifie aisément que les relations inverses ont également lieu , de façon que, par exemple ,

Deux substitutions, soumises à cette réciprocité, ont été nommées par M. Sylvester substitutions complémentaires OVL réciproques.

Cette notion établie, et pour revenir aux métamorpkoses des fonctions, reportons-nous aux fonctions [f) et, admettant toujours que la substitution unimodulaire (a) les a changées dans (/*') , composons encore , d'après une même loi, les deux fonctions (f et *, l'une sur le 'système (/*), l'autre sur le système (/'). Nous pourrons maintenant nous demander que la fonction (f se transforme dans 4>, non plus par la substitution primitive (a), mais par la substitution réciproque (a). Et ce double mode de réduction donnera naissance à deux espèces généralement distinctes de fonctions : les unes, déjà considérées, seront les hyperdéternainantsou, d'après M. Sylvester, les coi^ariantsj lès autres,

( ^97 ) par opposition , reçoivent du même auteur le nom de con^ trav^ariants.

Comme on est généralement le maître d'imposer une substitution linéaire à une partie seulement des variables qui entrent dans une fonction et d'appliquer une substitution différente à une autre partie de ces variables, et ainsi de suite, le système [f]^ soumis simultanément à ces substitutions linéaires fractionnées , se transformera toujours dans un autre {f')\ mais pour passer de la fonction ç à la fonction 4>, formée sur [J^) comme <p Test sur (/"), on pourra, à chacune dès substitutions partielles, adjoindre une substitution semblable ou une substitution complémentaire. Donc y. sera relativement au système [f) covariant pour une partie des variables et contravariant pour une autre partie (*).

Lorsque la fonction (f ne dépend uniquement que des coefficients des fonctions [f]^ la distinction entre les covariants et les contravariants s'évanouit, et ces deux espèces de fonctions vont se fondre dans une espèce-limite qui , ne donnant plus de prise à la substitution, acquiert la remarquable propriété de rester identique à elle-même quand on la compose sur le système (jf) ou sur Je système transformé (/'). En considération de cette propriété, les fonctions qui la possèdent ont reçu le nom caractéristique d^ invariants.

Ainsi, pour mettre la définition en lumière et sans égard • pour la répétition, les ins^ariants sont des fonctions des coefficients d'un système primitif donné qui se réduisen t d'elles-mêmes à. leur expression primitive lorsqu'on essaye de remplacer ces coefficients par les coefficients homologues relatifs au système uni-linéairement transformé.

(*) M. Sylvester a leconuu depuis (|ue les contravariants ne différaient . pas des covarianls.

( '98 ) Réduisons, par exemple, le système à la fonction unique et simple

y = ax"^ -+- 1 bxy -+- cy^.

Par la substitution unimodulaire

elle devient

Et si l'on forme avec les coefficients de y la fonction

b"^ — ac ,

avec ceux de^^ la fonction analogue i'*-^ a! c' , on trouve, en vertu de a', J', c' en a, i, c, or, /3, . . . ,

La fonction b^ — ac est donc un invariant de f.

On rencontre un invariant dans le dernier terme de Téquation aux différences des racines d'une équation donnée f{x^ y) = o. Car par la substitution x== x — hy^ toutes les racines se trouvant augmentées d'une même quantité, leurs différences ne sont pas altérées, et il en est, par suite , de même des coefficients de l'équation aux différences, qui sont des fonctions symétriques de ces différences, et s'expriment d'ailleurs par les coefficients de la proposée : mais le dernier coefficient reste seul inaltéré par les sub- . stitutions qui affectent y.

Une fonction quelconque d'un certain nombre d'invariants est évidemment elle-même un invariant pour le système considéré. Les invariantjs qui ne peuvent pas s' exprimer sous forme rationnelle les uns par les autres sont appelés invariants fondamentaux.

Les invariants sont astreints à vérifier certstines équa-

( '99 ) tious aux différences partielles , qui sont une conséquence immédiate de leur définition , et constituent à leur tour les bases de leur entière détermination. Considérons spécialement le cas où le système primitif se réduit à la fonction homogène à deux variables du degré n

^0 , a,, . . . étant ce qu'on nomme les coefficients. La sui>$titution unimodulaire

la transforme dans

/•/ / / . " [fi — ' f) i

f'=z a'^ x« + na\ x«-« j -\r \ ^ / a\ .r'-^ 7' H- . . . -|- ^;; j",

où

«', = a, -f- rtfl >j ,

a.^ = rtj H- 2 «1 >3. -+- tin n'y

û|^ = «„ -h /ia„, )) 4- . . . + ««I >î"~' 4- ^0 n". Un invariant quelconque y relatif à y devant rester indépendant de Yi quand on y remplace «o j ^n • • • 5 ^o par d^ , a'j , • . . , a„5 on peut égaler à zéro sa dérivée par rapport à y} après cette substitution, et l'équation ainsi obtenue suffit pour étajblir l'indépendance dont il s'agit. Or on a

dn ^ ^da\ dn

c'est-à-dire

et comme la composition de ^ en a^ , a ^ , . • . > a„ doit être parfaitement la même qu'en «O) ^i? • • • > ^nt et que ces dernières quantités sont tout à fait quelconques , rien n'empêche de supprimer les accents , et d'écrire en conséquence

Au reste , si cette suppression d'accents paraissait quelque peu illicite, on lèverait toute espèce de doute à cet égard en observant que la transformation inverse x = x — my, y = jr devant ramener /' à f^ on aurait, en changeant y? en — ri dans l'expression ciniessus de di ,

et, par suite,

d <f ye^ d y dUi

dvi ^ doidn

Si , au lieu de la substitution x = x -^ y>y , jr =y, on eût pris xz=zx, yzzzy + mXy ce qui revient à écrire en ordre inverse la fonction /*, à échanger l'un dans l'autre x et y, et à faire la première substitution , on eût trouvé évidem-

meut

Une fonction (f satisfaisant aux deux équations (i) et (y) jouira de la propriété de rester invariable par les deux substitutions successives * '

et conséquemment par la substitution résultante unîmodulaire

or = (i -h ?,)a:" -+-?/".

d'où, par répétition, on conclura à l'invariabilité de la fonction y pour une substitution unimodulaire quelconque. Par où l'on voit que les deux équations différentielles précédentes caractérisent complètement les invariants et sont parfaitement suffisantes pour leur entière détermination. M. Cayley a prouvé, dans un travail, sans doute actuellement publié, qu'une seule équation différentielle, jointe à la condition d'homogénéité, est tout à fait propre à remplacer les deux équations dont il s'agit (*).

En se fondant sur le résultat précédent, il serait facile de former les équations différentielles que doivent vérifier les invariants pour une fonction de plus de deux variables. Il suffirait d'écrire la fonction donnée sous la forme d'une

(*) La méthode que j'ai suivie pour établir les équations différentielles ci-dessus coïncide à son début avec celle qu'a employée M. Sylvester i^The Cambridge and Dublin, etc., i853. Sur le Calcul des Formes, sect. IV), en ce sens que j'emploie la même substitution x^=-y, x=.x -\- rj^. Mais à partir de là le procédé de la différentiation que je substitue à un certain développement par la formule de Taylor, me parait beaucoup plus simple, sinon plus sati^aisant.

( ao2 ) somme de polynômes homogèoes en x et y^ de degrés décroissants de 72 à o, multipliés par les puissances et produits des autres variables propres à rétablir Thomogénéité dans chaque groupe*, car, comme la substitution simple jrz=z y^ x='X-h yiy permettrait alors d'avoir, par ce qui précède et pour chaque groupe , les coefficients de la fonction transformée, le procédé de difiérentiatiqn par rapport à yj s'appliquerait avec le même succès et conduirait à deux premières équations différentielles. Puis une autre substitution, telle que z = Z'^ ny^ y7=zy^ jointe à un autre groupement des termes du polynôme, fournirait deux autres équations, et ainsi de suite. On passerait ensuite sans peine au cas général d'un système quelconque de fonctions homogènes. Mais je dois me borner ici à ces simples indications, mon but ayant été dès l'abord de donner imiquement les notions, en quelque sorte rudimentaires, qui se trouvent à l'origine d'une vaste et féconde théorie qu'enrichissent et étendent tous les jours les travaux de MM. Cayley, Sylvesler, Hermite, etc. On trouvera dans le tome XXX du Journal de Crelle le remarquable Mémoire où M. Cayley pose les fondements de cette grande théorie, et la lecture, du Calcul des Formes de M. Sylvester (*) achèvera de faire comprendre tout ce qu elle offre de ressources aux esprits investigateurs (**).

(*) The Cambridge and Dublin Mathematical Journal, i852.

[**) Depuis que ceci a été remis pour l'impression) M. Cayley a publié dans les Transactions Philosophiques (i854'i856) trois magnifiques Mémoires sur la théorie dont il s'agit. MM. Hermite et Sylvester sont, de leur côté, arrivés à dMmportants résultats consignés tlans le Quarterly^Review que je n'ai pas présentement sous les yeuK.

( ao3 ) NOTE DE L'AUTEUR

SUR

UNE PROPRIÉTÉ MS INVARIANTS ET SDR mW^ FORMULES