rt2,i
dP da^,t
//P dan,»
dP
dP dar,i
dP
En supposant 5 et r inégaux , Fexpressîon
dP dP dP
ax,r j h ai,r -1 h . - . -h «j
représentera ce que devient le déterminant P lorsqu'on substitue dans ce déterminant aux éléments ^i,,, ^s,o • • • 9 les éléments Al, ^, a^^r. . . respectivement. Mais puisque ces deux séries d^ éléments constituent individuellement une colonne du déterminant P, l'expression dont il s'agit représentera un déterminant ayant deux colonnes composées d'éléments respectivement identiques , et sera conséquemment égale à zéro. Autrement dit, on aura
dP dP dP
(4) da^^s da.^s da^^,
dP dP dP
«M 3 h«r,a 3 h ... -4- ar,u j = O
aas,i aas^t aas,n
dp L'expression - — ne contient ni l'élément Or ,, ni aucun dar,t
des éléments qui appartiennent à la ligne ou à la colonne dont cet élément fait partie dans le déterminant P, c'està-dire aucun des éléments qui constituent la r*^*"* ligne et la gieme colonnc dc ce même déterminant. Il en résulte
da^r.s ' dar,,dar,,, ' dar,idar^,^
( lo)
rf*p Le déterminant -i de l'ordre n — 2 se déduit du
déterminant P, en effaçant dans ce dernier deux lignes et deux colonnes , savoir : la y*'"^ et la ri''*^ lignes , et la s''"' et la 5i'^"^ colonnes. Maintenant si dans le déterminant P on change Tunë dans Tautre les colonnes 5**"^ et ^i""*, ce déter-
minant change de signe , et le déterminant de-
dar,sdar^s^
vient — -z — ; de façon que généralement
dar.sdOr^.t^ dar,,^dar^,t
Les expressions ~ — j - — > - • • » considérées comme des
dar,x dUr.z
déterminants de l'ordre n — i , donnent lieu aux équations suivantes, qui sout analogues à (3) :
rfP £f'P rf»P //=P
dUr^x dar,xda^,x dar,x€las,, dOr.ida^^^
dp rf^P rf*P f/»P
(7) dar,i *'^ dar,ida,,x ^'^ dar,ida,^^ '" ''* dar,^das,^
dP d^P d^P rf'P
=^Os,x- \'Os,2-} 3 h...H-aj,
j — "s,t -J J T M*,a -J 3 r . . • -r- »*s,n -jr 7~ î
dar,n dar,nda,,y dar,ndas,i €iar,nda,,„^
et Ton suppose que r.et s sont inégaux. En substituant ces valeurs dans la seconde (3) et observant qu'en vertu de (5) et (6),
d^P d*P rf'P
dar,xda,,x ' dar,idas,i ' " dar,ndas
dar,\dat^^ dar,2das,i dar,\das,i dar,zdas,\
> etc.,
on obtient P =
dûr,t dûs, 7
dar,i d^s.z
dar,n^x das,n
cequ on peut écrire (8) P=2«2.
^/iff,.^tt ^'ïj,»»
les indices m et i^ devant recevoir toutes les valeurs
Si l'on multiplie les équations (7) par a,^^^ «,j,«...a,j,» (5i et r étant supposés inégaux) et qu'on somme les résultats , on obtiendra par des transformations analogues
rf»P
Dans l'équation
«i,,u (fs,u
dar,u da,^
rto^,, dar,sdas^,x ^' dar,,das^,i ' dar,s aa,^,a
opérons la permutation d'indices indiquée par (6) , il viendra
-ha.
, , d9 rf»P
rf^p
^"^ dar,ndas^s
Notons encore l'équation suivante analogue à (4) et facile i démontrer :
£f'P rf*P ^»P
(»2) Os^
dar,,dar^,x '' dar.sdar^,^ ^'^ dar,,dar^,n '
où Ton doit supposer rj, 5, différents entre eux,e/'t r ^ S, <^V^
L'équation (8) fait voir comment le déterminant P du y^ieme Q^dj-g pem gç déduirc d'une somme de produits de détcr-
minants du second ordre par des déterminants du ( /i — 2 y^""" ordre; on verra de la même manière que le déterminant P peut s'exprînier au moyen d'une somme de produits de déterminants du 3^, 4®» • • • ordre par des déterminants du (n — 3 )'*'«% (n— 4)''""% . . . ordre; et généralement, en supposant que les indices r,, r,,. . ., r,„ représentent des nombres entiers tels que
et posant, pour abréger,
Pr =
,etc.
on apercevra sans peine que
Dans cette expression, la caractéristique S désigne la somme de tous les produits analogues k celui qu'elle affecte ; et ces produits proviennent des facteurs qui ne sont autres que les déterminants obtenus en prenant dans les r^ premières lignes tous les groupes possibles de /j colonnes , dans les r^ lignes , faisant immédiatement suite aux t\ pre-^ mières, tous les groupes possibles de Tj colonnes, et ainsi (Je suite, en ayant soin toutefois de ne pas prendre deux fois dans un même produit une même ligne ou une même colonne. Le nombre total des produits ainsi obtenus ser^ évidemment
