I .2.3...r, . 1 .2.3. ..r,...! . 2.3. ..rj
JLes formules (3) et (4) conduisent aisément au groupe
( i3) suivant d'équations :
dV dV dP
«1,1 3 h «?,i j h • • . -h fln,i 3 =: O ,
dV dV dV
c/P dV dV afi,5, 3 h «2,^, 3 h. . . -h an,s, 3 = P,
dP dV dV
Qx.n^ ^^i,nj -4-. .H-«n,«3 =^ O .
aa^,s^ «ûf2,#, dan,s^
MuItipAant ces équations respectivement par
dar,s dOr^.x dur, 9 ^«r,.a dar,s ^^^r^.s^ '
sommant les résultats et ayant égard aux relations (7), (i i), (la), il viendra
iiA) ^P dP dV ^P ^p ^'P
dar,s da^^^,^ dor^,, dar,s, "" dar,sdar^,s,^
équation qui rentre dans une classe de formules dont il sera traité au § VI.
application. Su. ktrd -/.. fU^
Six points étant donnés sur un plan , déterminer le lieu géométrique d'un septième point tel , que les droites allant de ce point aux six points donnés forment un faisceau en involution.
Soient x, y les coordonnées d'un quelconque des points du lieu j Xjjj^,,...^ J^8> J^6 celles des points fixes donnés. En supposant les six droites coupées par une droite quelconque , qu'on prendra pour axe des Xy et représentant par aij afj . . . , ^6 les distances des points d'intersection à Tori-
gtne^ rînvolution du faisceau sera iexprimée par réqaatioii
(l5) (fll — «4 )(«3— ^c) (flfb--«j)-+- («'— ^3) («4 — ^*) («6-^«l) =0.
Or on trouve aisément
xj, — X, j
a,~-£ :L, etc.,
et , par suite ^
^ ^ ( jy. — ^.r ) (r4 —r ) — (^^4 — ^4r) (r. — 7)
expression qui , par la formule (14)9 se réduit à
Substituant ces valeurs , on obtient pour l'équation du lieu géométrique cherché ,
IX y
I ara y 2
IX y
I JPi r,
Cette équation représente évidemment une courbe du troisième ordre, et comme elle est d^ailleurs satisfaite quand
on fait J!: = .rj, a:,,. . ., Xe,/ =j^i,/4,. . .,^69 la courbe passera par les six points donnés.
§ IV. — De la résolution des équations algébriques linéaires.
Les formules trouvées au §m sont d'un grand usage dans la résolution des équations algébriques linéaire^. Si Ton considère le système d'équations
^2,1 vF, H- «2,2^1 -H .
on obtiendra la valeur d'une quelconque des inconnues
Xij a*,, . . . , a:„, par exemple de x,, en multipliant ces équa-
dV dV dV
lions respectivement par -z — ? -; — ? • • • » -; — » et aioutant ^ ^ da^,s da^,, dan,s **
les résultats obtenus. En effet , dans cette somme tous les coefficients des inconnues, moins celui de a?,, seront égaux à zéro, puisque leur composition est la même que celle du premier membre de la première équation {4)5 et le coefficient de Xs sera égal à P en vertu de la première (3) : on aura donc
le symbole a,.,, représentant le déterminant (2). Par ce procédé, on formera le groupe
I \ P^2= «, a,,2.-f- ttaa2,2-f-. .-f- «««„,,,
qui fournit immédiatement les valeurs des inconnues. On remarquera que le dénominateur commun de toutes ces valeurs est précisément le déterminant P, propriété qui, signalée pour la première fois par Cramer, peut être considérée comme l'origine des recherches ultérieures des géomètres dans la- branche de l'analyse que nous exposons.
Pareillement, si Ton considère le système
/ ft\ O^^iZi 4- «2,2 ZaH^. • .H-«n,2 Z«=<'2i
[que quelques auteurs nomment système dérivé du sys-v
( i6) tème ( 1 6 ) ] , on obtiendra
Pz,= P, a,,, + P2a,,,-|-. . . + PnàLi.hi Pzj = p, aa,, -h Paa2,,H- . . . -4- «'«a,,»,
Pz„ = (>, a„,t -h «'a «it.î H- . . . -h «'w a„.„.
Il est important d'observer que les inconnues des deux systèmes (i6) et (i8) sont liées par une équation que l'on obtient en multipliant les équations qui précèdent par îii, lit,..., Un respectivement, sommant les résultats et ayant égard à (i 7) ; ou bien en multipliant les équations (i 7) respectivement par i^t> ^'j?* • •? ^n sommant les résultats et ayaut égard aux équations qui précèdent. De Tune ou l'autre façon j on arrivera à
(19) «,z, 4- UiZi-h. . .-+- "»««= ('iJCi-hPiXi'h' . .-h «'«a?;,.
Les équations ( 1 7) subsistent quels que soient li^ , i/j , . • • ^'^n? si donc toutes ces quantités sont égales à zéro et qu il n'en puisse être de même de jCi, Xj, . . . , x„^ on devra avoir
Par où Ton voit que cette dernière équation est le résultat de l'élimination des inconnues Xi, Xt, ..., x^ entre les équations
'ïj,! J^i-f- «1,2^2-4-. . .-h fl,,„a7„= o,
(20) ^2,1^:,-+- Oj^aarjH-. . .-4-fl2,n^n= o,
ou, si l'on veut, le résultat de l'élimination des inconnues ^1, z„. . ., 5r„ entre les équations (18), quand on y suppose ^'J == i/j = . . . = Vn = o.
Si l'on fait
( il) leà équations (17) donnent
Px,=: — 4?» («1,0 «1,1 H- <»2,»a2,i + - • • + «»»,»*ii.i)>
d*oû
Ôii,i fla,3- • -«II,»
^1,0^1,3' • «^ïl,»
^n,iOn^f •'On,9
Ces proportions font connaître les valeurs des rapports qui existent entre les /» + i inconnues x^^^ Xiy Xf^. . .j Xnj qui entrent dans les équations en nombre n .
fla,« ^0 -♦- û»,i ^1 -4- • • • -+■ «i,n X„= O ,
Appiications,
i^. En représentant pv -5 - les coordonnées d'un point
quelconque d'un plan ^ Téquation d'une conique située dans ce plan sera
ff = ax^ H- by^ H- irz' -h 2 ^z -4- a/xz + 2 ^orf = O. Pour que la droite représentée par Téquaiion
^ -h my 4- «» = o soit tangente à cette conique , on devra avoir les relations
«JCi.+ ATi -^/«i / = o ,
Ax, -h byx 4- tfz, : m = o j
/r, ^ eyy^ czy /i = o,
/x,H-m7,-f-/2Zi=o^
où j^i, ji, Zi sont les coordonnées du point de contact. La condition nécessaire pour que la droite soit tangente à la conique, sera donc
Imaginant une seconde droite
/,x-4- /ii,j-4-«i2 = o,
la condition pour qu'elle touche la conique sera
a h f h h b g nti / e c rii
Pour trouver les coordonnées du point de conta^ct , observons qu'en posant
h b e m%ti
A = / ^ € n fix
et ayant égard à (23), (24), on a les équations
a/, dnix
dùk
dùk , d\ ' ^dL a — '¥h -— +/— -f./H = o, alx ami ^^1
,dà . d^ dà
dli dnii dn^
^dà dà ^^ . TT
dans lesquelles -TTî -7— > ^— sont les dérivées partielles du
déterminant A par rapport aux éléments l^ m^^ n^ qui constituent la dernière ligne ou bien la dernière colonne. On a fait d'ailleurs
Il suit de là que les coordonnées du point de contact de la première droite avec la conique, seront déterminées par les rapports
__d^ dùi dis.
dix dnix drix
et l'on aura sembiablement pour les coordonnées du point de contact de la seconde droite avec la conique,
d^ dà dL dl dm dn
Si Ton se souvient que
dàdà
dà dh d'à
dm dHx
dmx dn dmdnt^
d^ dà
dàdà d'à
dn dix '
dnx dl ^^dndlx*
dà dà
dà dà d'à
dl dmx
dl, dm "^dldmx'
Téquation de la corde de contact sera
fi' à
dmdnx dndlx dldmx
ou bien, en désignant par jCo, ^09 ^0 les coordonnées du
point de rencontre des deux tangentes ,
(àS)
ou encore
H- (Af+ <T«H" es.) « = o,
La droite que représente cette équation est nommée la polaire du point (x«, ^e, ^o) lequel prend le nom de pâle.
En concevant deux autres droites représentées par les équations
Xx -k- ^x '\'}tz = o, X|XH-fXi^-+-v,»=o,
et supposant qu'elles touchent la conique, la polaire de leui* point d'intersection aura pour équation
>i ff-t »i
Xi fil V,
Si l'on désigne par X , Y, Z les coordonnées du point de rencontre deis deux polaires , par Xi, jr,, ^, les coordonnées de la commune intersection des deux droites (a6) et que Ton pose, pour abréger, ^
ftr— #?'=A, flc— /» = B, a*— A>=^C,
on aurd
A (r.«i — Ji 2.) -+- H (x, «,-- x.z, ) -f. F{xp j, — x.^o) = ^X,
k étant une indéterminée. De ces équations , en faisant
on déduit
j.z, — r.«.==^|X(BC--E»)-4.Y(EF^HC)-+-Z(HE-BF)|, a?,2o— Xo».=:~{X(EF— HC)+Y(AC — F')-f-Z(HF— AE)j, •ï-iji— ^.r.= ~{X(HE — BF)-I-Y(HF — AE)4-Z(AB — H»)|,
Si l'on observe .qu'en désignant par S le déterminant
a àf h b e / c ç on a
(BC — E»)=:flS, AC— F' = AS, AB— H»=cS^,
EF— HC = /iS, HE-.BF=/S, HF— AE = ^S,
R=S'(*), il en résultera^
«o^i — z.Xo=g(AX-t-^Y-^^Z.),
J^.J.— ^ir.= g(/X4- cY-f-cZ)..
Maintenant Tëquation de la droite qui passe par les deux pôles, c'est-à-dire par les deux points (Xi^^yo^ ^o)'y (x,,ji,z,), est
(jo^i — r« ^) ^ -H (»o«i — »t ^.) J^ +- (*o Ji — «i/o) « = o.
( * ) Ces relatioQs seront démontrées en général au § VI.
elle deviendra donc , en ayant égard auic équations précédentes ,
(aX-|-AY4-/2)f + (AXH-6Y-*- eZ) y-^- (/X+^Y+c Z) 3 = 0.
La droite représentée par cette équation se nomme la polcdre du point (X, Y, Z) j et les deux systèmes composés, Tun du point (jro,j^o9 ^^o) ^t de cette dernière droite sur laquelle ce point est situé, l'autre du point (X, Y, Z) et de la droite (25) sur laquelle ce dernier point est situé , sont dits polaires réciproques Tun de l'autre.
2°, On nomme discriminant d'une fonction homogène à deux variables le premier membre de Péquation qui résulte de Télimination de ces variables entre les équations que l'on obtient en égalant à zéro les dérivées partielles du premier ordre de la fonction proposée par rapport à chacune des variables. Soit
la fonction homogène dont on cherche le discrimtinant. Égalant à zéro les dérivées partielles du premier ordre de cette fonction par rapport à a: et à j, il vient
ax^ -+■ 3 bx^y -+■ 3 cxy^ + dy^ = o > fejr^ -h 3 cx^y + Zdxy^'\- ef' = o.
Pour éliminer les variables x, y entre ces équations^ nous ferons usage d'une méthode due à M. Sylvester, et qu'il a nonmiée méthode dialy tique {*). Si l'on considère les six équations obtenues en multipliant chacune des deux précédentes successivement para:*, xy^y^^ il est manifeste qu'en regardant les six quantités a?', JC*/, ^'7*7 x'y', oy*, y^ comme les inconnues à éliminer, on a six équations analogues à (20), et que partant le résultat de l'éli-
(*) Phiiosophical Magazine , june iS/ji.
(>3) miuation s'obtiendra en égalant à zéro le déterminant des coefficients. Pour rendre évidente cette assertion, écrivons ces six équations de la manière suivante :
iia:*-|-3 6a:<j -f- 3ra7^/*-H dx^y^-t -f- . = o,
. -I- flJT^j--»- 3^jr'/'4-3rx»7^-»- dxjr* -{- . =o, . -h . 4" ax3X*'h^bx*x^'\-^ca:jr* -h cf/* = o,
bx^ 4- 3 ex* y -H 3 dx^f^ •+- ex^y^ 4- . 4- . = o, . -+- bx^f-h Zcx^jr- -h^dx^x^-i- exy* -{- . =r O, . -h . 4- ôjc^/'-H 3cj:'j*+ Sdlrj^ 4- ej* e= o,
cl l'on aura , pour le résultat de F élimination ,
3 6 3c fl o
a Zb Zc d
b 3c Zd e
Le premier membre de cette équation est le discriminant de la fonction homogène du quatrième degré à deux variables. La valeur algébrique de ce discriminant a été mise par MM. Boole et Cayley sous la forme très-simple
{ae — ^bd -h 3c')'— 27 («ce— ad^—eb'^— c^-h ibdcf.
De ce qui vient d'être dit, on conclut sans peine que, en général , le discriminant d'une fonction homogène à deux variables du degré» est une fonction homogène des coefficients du degré 1 [n — 1).
3°. Soit u une fonction homogène du i"*'"*" degré des n variables Xj, JT,, . . . , jC„. En posant, pour abréger,
du dxr
dXr dXj
on aura , par un thëorème connu d'Enler,
^« «»>•-*-*» «».t-H. .. H- x„a»,„ — (r— i)«^ = o, •a?i «I H- X, II, -4- h-x^Un — ra = o.
L'élimination de x^, a:,, ... , x^ entre ces (/i + 1) équations donne
d'où
««,1 «ii,a . . «»,« a«
«I tfj. ../«,■
««,ian,a...««,»
n suit de là que, pour les valeurs des variables ar,, oTj,. . ., a:„qui rendront nulle la fonction u^ le détermirr nant
«1,1 «i,a. . .ai,5«i
sera lui-même identiquement nul.
Si Ton suppose n = a , le trinôme
«1,1 «, — 2 a,,j a, Ha -I- w, j aj ,
(a5) sera nul pour toutes les valeurs de Xi^ Xt qui satisfont k Téquation u(Xi^ a?i) = o^ ou, géomëtriquement parlant, si cette dernière équation est supposée représenter une courbe , le rayon de courbure sera infini en chacun dçs points de cette courbe , c'est-à-dire que l'équation
représentera un faisceau de r droites.
De même Téqûation u{xi, Xty,Xi) = o représente un cône.
§ V. — Alukiplication et élé%/ation aux puissances des déterminants.
Considérons deux systèmes d'équations de la forme
«1,1 ^1 -f- Ûi,a ^2 -+-•.. -f- «1,11 ^11 = «I, flj,i «1 -h «a,2 OTa + . . . -f- Oi^n ^n = «a>
Ci,t Xt -f- C,,, /j -+-... -h Crf,i Xn = JCi, Ci,2 Xi + Ca,a /?+...-+- f„,2rn = *»> ?,• ■ •.••••» ••......
Ct,nXt + ^J.»irî-H- • --^ Cn,nXn= ^n-
Si de ces deux systèmes on veut déduire les valeurs de Ji>r«j---)rn en fonction de a,,i, ai,s,. . .5 c,,t, c,,„. . .; 1/1, Ui , . , . , u„, on peut suivre deux voies différentes. Ou l'on peut substituer dans le premier système les valeurs de OTi, jTs, . . . , 07» fournies par le second , et résoudre les équations résultantes , ou bien on peut déduire du premier système les valeurs de Xi, ^i,. . ., j:„, et, les ayant substi« tuées dans le second, résoudre les équations ainsi obtenues. Les valeurs de ^1,^8,. * -^yn fournies par ces deux mé-
( a6 ) thodes deTront être ideuûques; et l'équation que Ton formera en égalant entre eu^ les dénominateurs de ces mêmes Valeurs sera précisément la traduction analytique de la règle qui gouverne la multiplication des déterminants.
Substituons, dans le premier système, les valeurs de jt», Xj, . . . , j:„ fournies par le second ; en faisant , pour abréger,
fli,t ^2,1 -h «1,2^2,2 H-. . -H- ûr,,„C5,„= |f,,2,
«2,1 C,,, -h <Î2,2 C,,2 -f- . . . -h flj,,., C,,„ = //j,, ,
«2,1 ^«.1 H- «2,2 <'ll,2 -f- . • -h «3,11 C|l,II= «2,«>
«n,i <^i,i-4- «n,2f,,2H-. • .4- «|I,|lCl,«= ^«,1, ««.l <?2,l -♦-'«n,2 C2,2-|-. . . 4- ««,11 <^2,Il= An,2,
««,1 Cn,i H- «»,2 ^«,2-1- ... -h «11,11 Cn,n = A„,b ,
on obtiendra
^2,1 Jl4- ^2,2/24-. . .4- //j,«7«= Wî,
^n,iri 4- /'„,2r2 4- . . . 4- ^„,«rn = w«, et si de là on déduit les valeurs de j^i, /j, . . . , j^„, ces valeurs auront pour dénominateur commun le déterminant
• -Aj,,,
Si , au contraire , on tire dn premier système les valeurs
de oTi, Xg, . . . , Xn , leur dénominateur commun sera
et lorsqu'on aura substitué ces valeurs dans le second système pour en déduire celles dej^i, j^,,. . .,/„, le dénominateur commun de ces dernières valeurs sera évidemment le produit du déterminant qui précède par le déterminant
Du rapprochement des valeursj^.,, y j,. . .,j^„ obtenues dans l'un et l'autre cas, résulte immédiatement
ce qui est précisément la formule cherchée pour la multi-« plication des déterminants. En jetant les yeux sur les équations (27)5 il devient manifeste que les éléments qui constituent une même ligne du déterminant-produit ne sont autres que les sommes des produits des éléments d'une ligne du facteur P par les éléments des diverses lignes du facteur Q. Il est évident que le déterminant-produit pourra encore s'obtenir en eflectuant ces multiplications des éléments des déterminants-facteurs , soit par colonnes, soit par lignes et colonnes^ ces diverses manières de procéder changeront bien la forme du déterminant-produit , mais sa valeur algébrique sera toujours la même.
Ainsi , par exemple , le produit des déterminants binaires
pourra s*écrire des quatre manières suivantes :
aa4- ^p ai -h bB COL -f-f/p C7 '^d$
ax-h by ap 4- bS COL -\- df rp -h fl?5
aoL H- cy ap 4- c^ boL-^dy bp-\-dS
aa -f- cf ûy -h c5 ^a -h dp by -hd$
Si les éléments du déterminant P sont respectivement égaux aux éléments du déterminant Q, l'équation (3o) don-
nera
et les éléments du déterminant R seront fournis par les équations
où les indices r, 5 doivent recevoir toutes les valeurs i,
Il est important d'observer que dans un déterminant, carré d un autre déterminant , Jes éléments conjugués sont identiques entrée ux.
Applications.
i*'. L'équation du troisième degré que Ton rencontre , dans la Géométrie quand on veut déterminer les axes principaux d'une surface du second ordre , dans la Mécanique quand on cherche les axes des moments principaux d'inertie d'un corps , dans la Physique mathématique quand on désire connaître les forces principales d'élasticité ou les axes de rellîpsoïde d'élasticité , etc. , peut se mettre sous la'forme
(^9) d'un déterminant de la manière suivante :
Les racines de cette équation sont réelles. Cette proposi-» tien, déjà tablie par MM. Cauchy, Kummer, Borchardt, Jacobi , vient de recevoir tout récemment de M. Sylvester (*) une nouvelle démonstration très -simple et trèsélégante, fondée sur la règle relative à la multiplication des déterminants.
En multipliant le premier membre de cette équation par le déterminaniy(X), on obtient effectivement
ou Ton a fait , pour abréger,
«'+ P'-f-7*=A, ap-|-7(tf-4-i) = P, ^»4-a» + 7» = B, a7 -|-p(a4-c) = E, c>4-a'-Hp'=C, p7-f-a(^-+-c) = D, on a donc
—/(>)/(->) = ^'- LV -h M V-N,
et l'on observera que les coefficients L, M, N sont positifs, ces coefficients pouvant aisément être mis sous la forme
M = («A — 7? y + {ac — p7-h ( bc — à^y
-h 2 (fla — P7 )' 4- 2 ( ft P - a7)» 4- (<?7 - ap)% û 7 p N= y b a
(*) Philosophical Magasine, i852.
( 3o ) Si Ton fait
la fonctiony( — X) deviendra
Gi — X| 7 7 '^~>
et l'équation 9 ( — Xj) ç (Xj ) = o sera de la forme
les coefficients Li, Mi, N^ étant positifs. En lui appliquant la règle des signes de Descartes , on reconnaîtra qu'aucune des valeurs de Xj ne peut être négative, c'est-à-dire qu'on ne pourra pas avoir (X — p)*= — ^'^ et, par suite, X = ^ -I- ^ ^ — I. Il est donc démontré que les racines de Téquationy ( — X) = o sont essentiellement réelles.
Observons que cette démonstration, comme celles de MM. Jacobi et Borchardt, s'étend aux équations du w'^"*" degré qui ont la même forme , ainsi que nous le verrons dans la suite.
2°. Soient «1, |3,, y,,; a,, (3î, y,^ tzs, jSj, y, les cosinus des angles que trois droites issues d'un même point forment avec trois axes rectangulaires; et Wj, Wj, Wj les angles que ces droites comprennent entre elles. On aura les relations connues S^ Ilote /i. /47
«;-Hp
• a^H- Pip2-h7«7ï =
COSCi)3,
^\ -^P?+7Î = I» 3c,a3H-p,p,4-7,73=eCOSw„
«î-t-Pa +7Î = ï> a^aaH- fa ^3-!- 7273== COSw,,
et, par suite,
«1 Pi 7i
l COSW3 COSWj
«:» Pa 7a
ces 0)3 I cpswi COSWa COSw, I
( 3i ) Or, en représenlaiit par a, 6, c les cosinus des angles que fait avec les axes la perpendiculaire au plan de deux droites , la seconde et la troisième par exemple , on a , comme on
sait,
sinui sinui sinui
fla, -4- ^fi-H <:7, = sinû), sin03 = sineas sinôa,
^19 ^19 ^8 désignant les angles dièdres compris entre les plans dont les intersections communes sont respectivement la première, la deuxième et la troisième droite. En substituant ces valeurs dan^ T équation (3i), il viendra
sin&)t sinci>3 sinô} = sin&ii sinoïj sîd 9, =
dZ \/( I — ces' «1 — ces' Wa — ces* W3 -h 2 COS w, COS W2 COS W3 ).
3^. En s'appuyant sur la multiplication des déterminants , on peut obtenir quelques transformations de déterminants, qui sont utiles dans un grand nombre de recherches. Nous donnerons deux exemples de semblables transformations.
Si le déterminant P est multiplié par le déterminant
aa
— fll.l
et que Ton suppose que les indéterminées <x^^ oct^, . .^ ocn vérifient les n équations
«1 «1,1 -I- a2«2,i - «1 «i,ïH- a2«2,2-
«1 ûii,iï -f- «2 «i,« -I- . . . -h a« an,n == o ,
le déterminant-produit sera
Ûî,l «3,1 «ïî.l ^3,a ^î.i ^3,1 ^>>I ^3,8' ••^à,« ^3,1 ^«.1 "'s,!»
Maintenant en observant que
on aura
L'utilité de cette formule vient d'être mise en évidence par M. Hermite (*) dans une recherche sur la thjBorie des nombres.
Gomme cas particulier de cette même formule , on a
^• — ^3 yx—yx
équation dont le second membre est égal SLdt—ry A étant
l'aire du triangle qui aurait pour sommets les trois points (^i^ Xi)' (^«5^*)? («^s^J^O d'une ellipse aux axes 2a, ai. Si maintenant ^ , fx, v désignent les longueurs des côtés du triangle , et / , m , /i les demi-diamètres de l'ellipse respectivement parallèles à ces côtés , en élevant au carré les deux
(*) Journal de M. Liouville, tome XIV.
( 38) membres de l'équation précédente , il vient
d'où
Comme second exemple de transformation des déterminants , nous démontrerons un théorème énopeé par M. Sylvester {*) et dont le même auteur a fait diverses application s géométriques .
Théorème. -^ La valeur du déterminant
est égale à celle du déterminant
dans lequel
Ai,i A, ,2. • . A|,rt 1 Aj^i A3,2» • • Aa,n I
Afl,i An,}.. An,n •
K,t = flr,* 4- ^r -K ^i >
/il, A, , . . . ; %i, /Tt , . . . ) étant deux séries de quantités prises arbitrairement.
(*) Philosophical Uagazine^ i852.
En effet, en multipliant le déterminant (Sa) par le suivant :
1 o. . .b ^1 o 1 . . . o ki
o o . . . I ^n o o. . .0 I et effectuant la multiplication par lignes , on obtient
Ûn,i4- *i «n,2-H A,. ..1
Multipliant maintenant ce résultat par le déterminant
et effectuant le produit par colonnes, il viendra
comme on voulait précisément le dén^onirer.
L'équation
