PQ = R
différentiée successivement par rapport à û^,i, «rjsy •
donne, en ayant égard aux équatious ( ^7) ,
^ dV dR dR dB.
^ rfP dK dB. c/R
^d^,.=^df^/''''^dhZ'''''^'''^dh::n'^^^^
^ dF dR aar,n dnr,i
dR
{ 35 ) Multipliant ces équations par ---^y —-^ . . ., ---^, et faisant la somme des résultais, on a
^ dar,x dcs^t dar,i dc,^^ ' ' ' dor.n de,,» dhr,t^
en se rappelant que l'expression
d'après ce qui a été démontré au § III, est nulle ou égale à Q, suivant que les indices r, s ont des valeurs différentes ou des valeurs égales .
Si les éléments du déterminant P sont respectivement égaux à ceux du déterminant Q, la formule (33) donne
^ ^' dar,x das,K dar,i da,,-^ ' * ' dOr.n da,,n <M^,/ d'où , en particulier, si r = 5,
Exemple :
{a,p,— a. p2)'4- (v^a.— 7i%)'-^ (P^V» — P> 7»)' = («?-»-Pî + 7Î)(«î + PÎ-H7;)~(a.«.-^PtP.-l-7.70^
Il est évident que par la différentiation on peut obtenir d'autres relations entre les déterminants P, Q, R; nous noterons seulement les deux suivantes. Différentions Téquation
r. dV r/R rfR • rfR
par rapport à c^j,,^ , et l'équation
^ rfP ^R • ^R f/R
(36) par rapport à c^^^,] en soustrayant les résultats, il vient
où l'on doit attribuer ku^i* toutes les valeurs i, 2 ^ . . . , n. En difierentiant (36) par rapport à 0^^,,^ et se rappelant les équations (5) et (6), on a
é/A^,, rfAr,,»
Si l'on suppose que les éléments du déterminant P sont respectivement identiques à ceux du déterminant Q , on a
et, par suite, en comparant les deux équations (37), (38), on retrouve Véquation (i 4 ) établie au § III. Considérons les deux systèmes d'équations
d? dV ^P u •
aar,i dar,i aar,n
dV rfP ^P u
Ci,\ -5 h Ca,, ^ h ... 4- Ca,» :j = Or,i,
*^»i,l jI r <^n,2 "TT^ -h ... "H- r«,« 3 = Dr,n »
dOr
dq //(J ^Q ir
/ïr.i j ' -h ''r,! -j — - -4- . . ♦ -f- ^r,n "J = K.r,i *
aCi^t «^i,a "^i.n
rfQ é/Q
"^ "'■'' "JI h . . . -f- ûr.n ^ Kr,2 ^
dC„,i aCn,i ^Cn,n
En multipliant les équations du premier système respecti-
dO dO dO 1.1
vemeal par ^r-^» 3-^ » • • •» -7-^» el ajoutant les résultats. '^ de,,, dc^,y dcn,, V
on a .
««r,i «?r,,, r/c,,, dcn,x
et Ton obtient d'une manière analogue
"«r.l »Ci,j ac,,, rfc,,.
• dar,n «<?!,/, a<tf,n dc^^n
Ces nouvelles équations multipliées respectivement par ^r,f ^r,s' • -^r,») puis ajoutécs , donnent, en ayant égard au^ second système,
(39) PQ = H.,,K...-4- H.,,K,,,-h. . .4- H,.„K,,„,
et ces mêmes équations multipliées par a,^x o>s^\ • • •^«,n 9 puis ajoutées, donnent
Les H^,i, Hr,t> • •K^*,i5 I^f,î« • • sont évidemment des déterminants du w*'^"'* ordre.
Application^^
\^. Imaginons un tétraèdre rapporté à trois arcs rectangulaires ayant leur origine au centre de gravité de l'une des faces. Soient a, &, c les 'aires des autres trois faces, «15 Pi, 7i ; a, 5 /3î ; 7î \ a, , (Sj , 73 les cosinus des angles que les perpendiculaires abaissées de Torigine sur les plans de ces faces forment avec les demi-axes positifs des coordonnées. Soient enfin Xi, ji, z^ •, Jf,,yi, Zj *, x^^y^^ z^ les coordonnées des centres de gravité des mêmes faces, et v le volume du tétraèdre.
far un théorème connu dû à M. Cauchy, on. a les neuf
équations
En posant
( 38 ) « a, Xi -f- 3 a, jpa -f- ca3 ofa = <^,
aa, Zi -f- ^ajZj 4- ««8^3 == o;.
«Pi«i H- bPiSt-h cp,«3 =0;
a7,ar,-f- ^72^2-f-C73»3=o»
«7iri H- ^7»^» -^ ^73/3 — o, <»7i^i-*-^72^-H'^7b«3 =«'.
«p. 6p, rp3
z=,abc
7i 7» Tîs
Jf| ^7 ^3
ri r» >^3
on a
PQ = i^.
Maintenant y d'après une formul» connue ^
et si u désigne le volume du tétraèdre qui aurait ses som^ mets aux centres de gravité des faces de la pyramide donnée , on a
par conséquent
Les équations (39) donnent ici
rfR P
dK V
''^^=dp,K' ^^' = ^R'^'^-
R étant égal à —r- On déduit de là
et, par suite,
2 bc .
/ = - — UDb),
l désignfint la longueur de Tune des arêtes du second tétraèdre, et ct) Tangle dièdre compris entre les faces aux aires &, c. Mais si X représente la longueur de Tarète opposée à la commune intersection de ces mêmes faces , on a
donc
a**. Ayant fait
P = on a
2 bc .
xx yx z,
Ot bi Ci
fla ^s Ci
