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d'où

Si dans la seconde des équations (42) on pose s = if 2,..., w, on obtient n équations , d'où Ton peut déduire les valeurs a^^i, a^^,. . .a^,„. On trouve sans difficulté

■ S dar,.

et y par suite, d'après Féquation (43),

En désignant par T, V les déterminants à éléments réoi-«

proques correspondants aux déterminants Q, R (28), (29),

on aura

et , par suite, d'après Téquation (3q) ,

c'edt-à-dire , le produit des déterminants à éléments réciproques correspondants à deux déterminants P, Q, est égal au déterminant à éléments réciproques correspondant au déterminant R produit de P et de Q.

applications.

Considérons les équations (20) et désignons par ^r,i î ^r,i I • . . I Xr,n l^s valcurs dcs rapports a?i : oTi : ... : x„ que l'on déduit des n — 1 équations qui restent quand Oi), e^çclut la r*'*"**. Nous aurons

«rjl^.

En substituant ces valeurs dans le déterminant

on aura

l éuaa résalte

mie indéterminée. Si Ton soj^ose Xr,,= i, il en

Au moyen de ces formules on peut résoudre les deux problèmes suivants : i® trouver Taire d^un.tnangle connaissant les équations des côtés; a® trouver le volume d'un tétraèdre étant données les équations des faces.

Les équations '43), (44) et Féquation (i4) trouvée -au $111 appartiennent à une série de relations qui existent entre les déterminants de déterminants, et que l'on peut déduire de deux formules générales, ainsi que nous allons le démontrer.

Considérons les deux groupes d'équations (i6), (17)9 et écrivons de la manière suivante i +1 équations consécutives quelconques prises dans le premier de ces groupes :

-H.-.H-Hr.

— (^r-4-l,|'*|-f--'.H-tfr-|-M-i -**— l+tfr+l.«#-i J^«-n H" --•+flr-HI ,«*«)>

«r,,*i-4-tf|

ou

. (tf^,, X, -h ... -f- tf,,,., x,, -h a,.

u = s -h ij V = r + i.

tfr,«X«),

En désignant par P^^ le déterminant

^r+l,* Û^M-l,H-|.««tfr4-i,«— 1 tfr-

( 43 ) et tirant des équations précédentes la valeur de Xu^ on établit aisément l'équation

P,,, X, H- ... H- P,,,, x,, 4- P.,u x« -h . . . -h P.,« Xn

(45) rfp.,«^ ^p..«

, 1 -^r+l ~Z "T" • • •T' Wr *3 '

Ecrivons maintenant de la manière suivante n — t équations convenablement choisies parmi celles du groupe (i 7) :

= Pjf, — (a^,, «r4-. ..-+-a^-.i,t «i^-i),

«l,sW, -t-. . .-|-ar-i,î«r-i-+-a.',a«r-h. ..-+-an,3Wn = PX,— (ar,j>rM' • . .-4- ar-1,8 «f-l),

= Px,, — ( ar,,^i Ur-h. . .-i- a,i,,-i «»-i ) ,

= PX„ — {(lr,u ttr -+-... H- «f-l^u «r-i) »

«1,11 «1 H- ... -H ar,,„ «r-l + «y.n «r+ .

. -h ««.n ttn

En tirant de ces équations la valeur de u^ , on obtiendra sans difficulté

Sr,u «r -+- Sr+,,B «r+l "h . • • "h S^,„ W, = P (46) / ^S,,„^ ^ ^S.,u ^ dS,,u^ ^.^M

OU l'on a fait

Observons que les valeurs x^ déduites A^ équations (4^), (46) doivent nécessairement coïncider, puisque au moyen des équations (i 6) on ne peut exprimer que d'une seule manière la valeur de x^ en fonction des quantités a:i,...,a:,,i,j:„+i,..., Xn\ i/r, «r+iv -m "^ en nombres. D'après cela , en égalant les [coefficients de m^^.^ (a^étant un quelconque des nombres de la série o, i . . . i) dans les deux valeurs de Xn dont il s'agit, on obtiendra l'équation

On en déduit, en supposait «=/,..

et comme

on aura

et, par suite,

Si dans cette formule on fait r = j =; i, on trouve celle qu'ont fait connaître MM. Jacobi et Spottisvv"oode.

Il est évident qu'on pourra obtenir une seconde formule analogue à (47) en soumettant à l'opération ci-dessus indiquée zH- I équations consécutives quelconques du groupe (i 7) et n — i équations convenablement choisies psTrmi cell^îs du groupe (16). On arrivera ainsi à la reUtion

(49) pj^^^^ = p„,.s„,.,

d^ns laquelle

^$,r-^\ • .att>-i,rHhl ^m,r+\

et en observant que

on aura

Si dans (48) on pose / = o , et, par suite, j' i= r, w= 5, et qu'on fasse attention que

Pr— l,j— 1=^ I> Sr,j=S,

il en résultera

formule qui comprend comme cas particulier tant l'équation (43) qui s'en déduit en posatit r = 5 == 1, que l'équation (44) <iuî en résulte en supposant c = i .

Pareillement si dans l'équation ( 5o) ou fait 1= o et qu'on observe que

( ) Sj^i^r— I = I» Pi,r ^=^ P>

il vient

formule qui reproduit l'équation (i4) quand t* = Sé j4pptications, I ^ . Soi t représentée pa r

U = 2r ^r,r ^^ •+ 2 2^ ^s ^r,, Xr X^^

(*) Les équations P^,,, = i,S,l,,.,= i résultent, immédiatement de l'inspection des identités

== etc.

{/rr,s== ^syt) une forme quadratique de n variables, Obser-^ vous que le déterminant P est le discriminant de la fonction U, c'est-à-dire le premier membre de Téquation que produit Télimination des variables Xi^ Xt^> * »x„ entre les équations

rfU

c/x, "'' ,*iix^ ' * ' *' {LCn

La forme quadratiqtie à /2 variables

V = Ir ar,r s' + 2 2;. 1, CLr,, Zr Z, ,

dp dans laquelle «r,* = ^ — > se nomme la forme réciproque de

U. On voit sans peine que la fonction V peut se représenter de la manière suivante par un déterminant :

«J,l «2,2» . ««J,» Zi

««,1 «ii,2. • .flii,n «n

et la réciprocité entre les fonctions U et V devient complètement manifeste quand on fait attention qu'en vertu de Téquation (44) 1* fonction U peut se mettre sous la formf

Supposons