N=:QR

on obtiendra semblablement à (61)

et, par suite, eu tirant de la même équation (61) les valeurs de

et les substituant dans l'équation précédente, on aura

ce qui est la relation que nous avions en vue de trouver.

(59) Si dans cette équation on pose f^ = 5 et ensuite 5 = 1, 2,..., li, on obtient

équation qui, en posant

Q» = M, se transforme en

On pouvait arriver directement à ce dernier résultat en observant que PM = N.

Si la substitution qui transforme U en V était orthogonale, on aurait évidemment

('»)M,,r = i, <'»)M,,,= o, et, par suite,

formule connue.

3^. Supposons que dans les deux fonctions quadratiques U, V Ton ait

ar,s = ^s,r = yr,i fsA "h 7r,2 7,,a +•..-+- 7r,ii ts,n , Ar,, = A,,r = 7i,r 7i.* "+- l^.r 7m + • • .-f" 7«,r 7'»,';

dans ce cas, les deux fonctions sont équivalentes, c'est-àdire peuvent se réduire à une même fonction par le moyen d'une substitution linéaire. En eflfet, soit H le déterminant

7«>« ln,t

In.n

d'après (67), on aura

c'est-à-dire les déterminants P, N que Ton obtient en effectuant le carré du déterminant H par lignes pu par colonnes seront égaux en valeur absolue, mais de formes différentes. L'égalité des deux fonctions U, V sera démontrée lorsqu'on aura mis en évidence celle des coefficients des mêmes puissances de X dans les deux équations du n degré

A|^i — A Ai^a ... A|^u

Aj^i Aj,2 — A... A),/!

leme

Aii,a •.• A||,n ^

Or le coefficient de X"* dans la première équation est formé par la somme des déterminants mineurs principaux du jjii^me ordre du déterminant P, et le coefficient de X"* dans la seconde, équation n^est autre que la somme des déterminants mineurs principaux du m**'"* ordre du déterminant N . Et comme d'ailleurs

il en résultera

c'est-à-dire que les coefficients de X*" dans les deux équations en question seront identiques.

Exemple, — Les ellipsoïdes représentés par les deux équations

sont égaux entre eux (*).

(*) Nouvelles Annales de Uaihématiqnes rédigées par M. Terqubm. Juillet i853.

(6i ) 4^. Le système d^équations algébriques linéaires

ino\ j «3,1 ^i "1" «2,a J?2 -f- . . . -f- «2,, J?^ = Ui y

(bb)

dans lequel n^ s , est nommé système surabondant , par la raison qu'il est composé d'un nombre d'équations supérieur à celui strictement nécessaire pour la détermination des inconnues.

. Supposons que les quantités i/i , Uf^,.,yUn soient liées par les s équations

^1,1 W| "4" ^2,1 ^1 "4" • • • ■+• ^«,1 Wn = P( ) //» , ' ^1,2 Wi + Ci^j W^ -f- . . . -f- C|,^2 Un = t'a,

l C,,, W, -t- C,,, W, + . . . -t- C„,, Un =r t',.

En substituant dans ces dernières équations pour Uiy i/tv**? Un leurs valeurs données par (68) , on obtiendra

^1,1 ^l + ^2,1 Xj + . . . + hs,i J7, = t», ,

où

(71) ^l,r<^i,i -t- «2,r^2,* -t-. . .-4- On,rCn,s= àr,s'

Des équations ( 70 ) on déduit

^H dH dE

dn,,i dn^^i dhy,s

dE dE dE

JH dE dE

«A,,, aA,,2 a/1,,.

(6a) H représentant le déterminant

et si dans ces dernières on met à la place de p'i , t», , . . . , p», leurs valeurs données par {69) , on ob.tient

Hx, = X',,, «, -f- A^,,2 a, -h... -h A-,,„w„,

dE dR

ffr.i = Ci^x -ji h C,-.j

dhr,t

dhr,:

dhr,,

Maintenant si l'on observe que par (71) on a

il en résulte

dhr,s

dOi^r

dYi

daj

et en substituant,

€/H dn dïi

rfH

dR dR dR

nx, = tt, h Ui -, h . . . ■+• Un

da^,s da^.s

dan,s

Le déterminant H est un déterminant mineur principal

de l'ordre (n — 5 )««»»« du déterminant R (équat. a8) 5 par conséquent , en le représentant , conformément aux conventions du § Vn, par le symbole ^""'^R^^^, on aura, semblablement à (61) ,

Par là, les équations {7a) prendront la forme

or, 2, ("-')Pa,r ^"-^)Qa,r = «, 2r ("-*>Qu,r

d ("-*)Pa,,

-f. Un 2r f"-'>Q«,r — "^^ ^%

d ("-^)Pa,r

da^^s

d ^'^^Pa.r

Observons que le déterminant ^"~'^Pu,r contient seule-* ment un nombre s* des éléments qui constituent le déterminant P, et que les premiers indices de ces éléments ne peuvent se trouver parmi ceux de la combinaison u. En représentant par

^r,,i ^r^,f • • ^«"^ti

le déterminant ^"""'^P„,r9 les équations (yS) se transforment

X, 2. (»-0P„,, (»-')Q„,, = Ir ("-^^Qu^r

X, 2, («-*)Pu,r ("-'>Qu,r = 2, («-*)Q„,.

ttf

X, 2, C^^Pu,. (''-*)Q„,r = 2, («-*)Q„,r

d C^^^Pu.r d ("-^)P»,r

Tj , Tj , . . . , r, étant des nombres différents entre eux et appartenant à la série r , 2 , . . . , n.

Si maintenant on prend s des équations (68) , par exemple celles où les Mi, Mj,."? ^n ont les indices r, , rg,..., r,, pour en déduire les valeurs de x^^ a:^,..,, a:,, on a

{x,)C«-^)Pu,r=ar,

dOr I

(75) { ' '^«r,,, ' dOr^^^

les 07] , 0^2 ,. . . , étant placées entre parenthèses pour rappeler qu'elles sont déduites d'un système surabondant. Du rap-

(65) prochement des équations (74), {7^) y îl résulte

^ ___2, («-')P„,, ("-OQ„,,(jr,)