V -h ('"^Pu,, ("-'")P-.«,-r = O

Si dans ces équations on attribue à ret5 les valeurs i,

(*) Journal de l'École Polj^techniifue, XVII* Cahier.

2, 3,..., n, ou obtient u' équations, au moyen desquelles, et par l'application de la règle de multiplication des déterminants , on arrive aisément à

('")S„ («-'»)Sa=P«.

La formule (43) se déduit de celle-ci en faisant m = i.

Remarquons que, d'après les conventions qui ont été faites relativement aux symboles des déterminants mineurs, l'équation (36) prend la forme

et de même (38) peut s'écrire

où i = — ^ ~ ^ et généralement la différentiation exécutée m fois de suite sur T équation

PQ = R conduit évidemment à

Si dans cette équation on suppose 5 = 1,2, 3,..., m, on obtient u équations qui , respectivement multipliées par

et ajoutées en ayant égard à celles-ci :

(55) donnent la suivante :

L'^uation (33) se déduit de cette dernière en faisant ni = i. Si Ton suppose que r est égal à 5 et que les éléments correspondants des déterminants P et Q sont identiques, on aura

(62) ((")P,,,)'-+- (('-^Pr^tr -h . . .H- ((-)P,,.)'= (*^Rr,..

En désignant par ^"*^T„, ^""^V, les déterminants dérivés des déterminants Q, R, on aura, d'après l'équation (61) ,

<'")S„ (")T« ==(-«)¥„, et aussi

Au moyen des équations (Sg) , (60) , on pourra obtenir une équation qui comprendra , comme cas particulier, Téquation (39). En suivant le procédé de calcul employé pour arriver à cette dernière équation, on trouvera facilement

(63) PQ = H,,. K,,. -h fl,., K,,, -h ... H- H,,« K,,«,

où

La formule de décomposition (63) est due à M. Sylvester (♦).

applications.

1°. Soit représentée par

{*) Phi tosophical Magasine, i85l.

(56) uot fonction quadratique k n variables. En transformant cette fonction dans la suivante :

V = 2r 2, Ar^s Zr Z, ,

au moyen de la substitution linéaire

^l =^^ ^1,1 Zx -f- Cj^i Zi -f- . . . -4- Cji^i z„ ,

on a, comme on sait,

(64) Ar,,= A,,r = ^«,1 ^i,r H" ^/,J ^2,r H" • • • 4" C*,n Aii,r,

Ai,r» Aj,r,.-«9 étant données par les équations (27).

Supposons que la fonction U se soit transformée dans V par une substitution orthogonale , c'est-à-dire par une substitution dont les coefficients c^,, vérifient les équations

c .-hc .

ce qui entraîne

On sait que dans ce cas la fonction Y peut se réduire à la forme

et que les coefficients A^ sont les racines de l'équation du jjihmt degré

• • • ^tifti —"" ^

(57) Celle éqiialion rencontrée pour la première fois par Laplace dans ses recherches sur les inégalités séculaires des planètes (*) , et qui a donné naissance aux premiers travaux du même auteur sur les déterminants, admet n racines réelles, comme l'ont démontré Borchardt et Jacobi (**). En se rappelant la manière dont cette propriété a été établie pour les équations du troisième degré de même forme (§ V) , il est clair qu'en posant

et, par suite,

kn,\

Je /• 13

nous aurons démontré la réalité des racines de l'équation (65) quand nous aurons prouvé que tous les coefBciei\ts des diverses puissances de X dans l'équation suivante sont positifs :

Or le coefficient de i*"* résulte évidemment de la somme des déterminants mineurs principaux du m'^"" ordre du déterminant

En représentant donc par^^'^^R,.,;. un quelconque de ces

(*) Histoire de l'Académie des Sciences, année 1772.

C**) Journal de Liouville, t. XII.— Jacobi, Matematische Werke, Band i.

(58) déterminants mineurs principaux, par P le déterminant f (o)y et observant qu'entre les déterminants ^""^Rrjr et les déterminants mineurs du déterminant P r^ne Péquation (62), il s'ensuit que le coefficient de H«. est ^al à la somme des carrés de tous les déterminants mineurs du ^ième qj^j.^ ^^ déterminant P. Les coefficients de (66) sont donc positifs , et, par suite, réelles les racines de Féquation (65).

2°. En conservant les notations de Fapplication i**, désignons par N le déterminant

A.|,l A|,2 • • • A\^n Aj^i Ajjj . • . Aj,n

A|i,i Afl^j. . . Aii^n

Quelle que soit la substitution linéaire qui transforme la fonction U dans la fonction V, il existe entre les déterminants* mineurs du déterminant P et les déterminants mineurs du déterminant N une relation importante que nous allons actuellement établir. Observons pour cela que, ayant par (64)