Pr^r ("-'^Qo.r
et si les coefficients des Xi^x^,.. .^ dans les équations (68) étaient respectivement égaux à ceux des z/i , z/t v * • ? dsius {6g) j on aurait
^ Vni. — Des déterminants gauches et des déterminants
symétriques.
Un déterminant P dont les éléments satisfont à l'équation
se nomme déterminant gauche. Et si en même temps ces éléments satisfont à cette autre condition
ar,r = O ,
le déterminant gauche est dit symélrique^
La considération des déterminants gauches, symétriques doit précéder celle des déterminants simplement gauches, par la raison que ces derniers peuvent s'exprimer au moyen des premiers. Pour démontrer cette propriété, observons qu'en général un déterminant P quelconque peut être ex-
primé au moyen de déterminants dans lesquels les éléments principaux sont nuls. Effectivement, en désignant par Po le déterminant dans lequel on suppose égaux à zéro tous les éléments principaux, et par (^'"^P/j,)o un déterminant mineur principal du m'^"*' ordre du déterminant P, dans lequel déterminant mineur on suppose aussi nuls les éléments principaux, on a évidemment
Exemple*
o 72 pa o
-h pj
op,
«1 Pi 73
Actuellement si le déterminant P est gauche, il est clair que les déterminants mineurs principaux {^"*^P/^;)o sont gauches symétriques , ce qui met en évidence la propriété énoncée.
Les déterminants gauches symétriques se distinguent de toute autre espèce de déterminants par les deux propriétés suivantes qui leur sont particulièpes.
1°. Tout déterminant symétrique gauche d'ordre impair est égal à zéro. En effet , observons que le développement du déterminant P supposé gauche symétrique et d'ordre impair contiendra les deux termes
flr^ ^\,s
o ûfj,» • • • ^2,J— 1
Maintenant si Ton multiplie les éléments de chaque colonne de ce dernier déterminant par — i , qu'on observe que ces mêmes colonues sont en nombre impair puisque n est impair, et qu'on ait égard à la relation a^^, -h a,^r = o, ce second terme pourra s'écrire
o a^^i . . . Or—x^l ^r-+-l,5
On, 7
'?,n ^3,n • • • Or—\,n ^r+X.i
et comme ce dernier déterminant est identique au déterminant du premier terme, et que «r,! ^i,* = «i,r ûx,n ces deux termes se détruisent mutuellement. Par conséquent, il ne restera dans le développement dont il s'agit que les termes de la forme
± Ox,r ar,x
^r— 1,2 Or—l,3* • • O flfr— I,r+|« • • Or—X,n
^rH-t,t ^r+i^s • • • ^r+l,r— i O ... tfr-f.|,n
Mais ce dernier déterminant est symétrique gauche et d'ordre impair (n — a) -, par conséquent, tout déterminant symétrique gauche et d'ordre impair sera nul quand il eu
sera de même du déterminaut symétrique gauche du troisième ordre. Or le développement de ce dernier déterminant étant
la proposition est vraie pour le cas général.
2®. Un déterminant gauche symétrique d'ordre pair est un carré. En effet , le développement du déterminant P contiendra les termes
«r+1,2 «r+l,S« • • «r4-l,r— .f O ... «r+i,ii
«11,2 «n,S • • • «ii,r—i «ii,r+i • • • O
O flj,3 . . . flj,,t «j,5+i . . . «j,n
O «j^j . . . aj^r— I «2,r4-i • • • «2,/i
«*-+-l,2 «,4-1,3... <ï,4.i,r— 1 «iH.i,r-+-l . . . «,+1,11
«11,2 ««,3 • • • «n,r— 1 «ii,r^^i • • • O
Les coefficients de a'^, a'^, dz aaj,^ a»,, peuvent se représenter respectivement par
da^^r dar,\ da^^, da,^^
das^r dos^x
(69) Maintenant, par la formule (i4) ) on a
d'9 dP €/P d'F dP dV
d^V dP d?
da^^r das^i da^^r da^^^
dP
à cause que -^ — = o, comme étant un déterminant gauche
symétrique d'ordre impair. Ces équations , en faisant attention à celle-ci :
rfP dP
dar,s dot^r
qui a évidemment lieu pour un déterminant quelconque sy« métrique gauche d'ordre pair^ donnent la suivante :
/ J»P y df»P d^V
Xda^^r das,J dat.r dcr.y da^^, dus^x
qui met précisément en évidence la propriété que possède le déterminant P d'être un carré.
Par là , le développement du déterminant P pourra être présenté sous la forme
Pr=
ou plus généralement
expression dans laquelle il faut faire , après les différentialions, «1,1 = «î,, ==... = o. Il est bon de remarquer que
le déterminant • ,
trique gauche et d'ordre pair n — 2, Exemple. — Supposons
est un carré, comme^ étant symé-
o <ï,,2 ûi,3 ^M o aj,3 «2,4
on aura
fl3,i «4,2
c'est-à-dire
P = («, 3 /73^< — «,^3 ûr,^< -f. eïi,« «2,3)*.
En désignant par H la racine carrée du déterminant P, il est important de démontrer que cette quantité jouit d'une propriété analogue à l'une des propriétés principales des déterminants. En différentiant Téquation P = IP par rapport à Qr^sy il vient
dl? „ ^H
dar,s
dar,i
où Ton n'a pas mis dans le second membre le coefficient 2, à cause que dans le premier la dérivée de P par rapport à a^^s représente le déterminant du (» — ij»^"»« ordre que l'on déduit de P en supprimant la 5*^*"'' colonne et la r**"*' ligne, c'est-à-dire en n'ayant pas égard à ce que «p,, = — a,y^ tandis qu'au contraire cette relation est prise en considération quand on différentie l'expression algébrique de H. En élevant au carré l'équation précédente , on a
et comme
il en résiste
Cette valeur substituée dans (77) donne et, par suite,
équation qui exprime une propriété de la fonction H analogue à une propriété connue des déterminants.
Mais la propriété caractéristique de cette fonction H réside dans le changement de signe qu'elle subit lorsqu'on permute les deux indices. Permutons en effet dans H les deux indices r, 5\ comme dans les termes de cette fonction qui contiennent l'élément a^^s ne figurent pas d'autres éléments affectés de ces mêmes indices, si l'on désigne par Hj ce que devient H après la permutation mentionnée , on aura
Or quand on effectue cette permutation dans le déterminant P, il ne change pas de valeur et se ramène aisément à sa forme primitive; par conséquent, d'après l'équation (78), on aura
= H, = — Jtl, 5
et, par suite,
Il est évident que si Ton permutait deux groupes d'indices, le signe et la valeur de H resteraient les mêmes.
jipplication .
Désignons par q^^ q^j. . . .Çn, n variables indépendantes en fonction desquelles sont exprimées les coordonnées des différents points d'un système en mouvement, par T la demi-somme des forces vives et par ^^ , ^5,,. . ., ^„ les quantités
dT clT dT
dq\ dq\ dq\
On sait que les formules pour la variation des constantes arbitraires, quand on a égard aux forces perturbatrices, contiennent des expressions analogues à Tune ou à Tautre des deux suivantes :
L o «i r \^^^, ^ ^^^ doi}^
[doi da, dai das\ \dpr dqr dçr dpr/
où r doit recevoir les valeurs i, 2,..., 2fi, et où ^i, «j,..., a^n sont 2 7ï constantes arbitraires introduites par l'intégration des formules du mouvement , en y supposant nulles les forces perturbatrices. M. Cauchy a démontré {*) que ces expressions sont liées par an groupes d'équations de la forme du suivant :
^r,l ^1,1 -{' ^r,,7 C\,t "^ •. • • ~f~ û'r,2n C\,in ^^— O , Or,\ ^2,1 ~l~ ûr,2 <^2,a *4~ • • • ~H ^/^an <^2,2n = O,
^r,i <^2»»,i "1" Or,7 ^2n,3 "H • • • "r" ^r/in ^2n,7n — ^9
(*) Journal de Liouville, lomc l{. Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences, juillet i833.
(73) OÙ l'on fait, pour abr^er,
Les expressions C/,, , a,-,, vérifient évidemment les relations
et , conséquemment , les deux déterminants
ûj,i ^ïa,» • • • ^3,aii
^211,1 ^2n,2 •• • ^2ll,lll
Cin,\ ^2ii,i • • • ^2«,2i
sont des déterminants gauches symétriques d'ordre pair.
Observons que, d'après (79), il existe entre P et Q l'a relation toute pareille
PQ=i,
et que, de ces mêmes équations (79)9 on déduit
I rfQ
ou bien en faisant Q = K* et observant que l'équation (78), donne
dCr,t^
on peut écrire
I éfK
équation qui donnera tous les (t?,., as) en fonction des
L'équation (76), à cause des deux propriétés démontrées pour les déterminants gauches symétriques , acquiert, quand on suppose P un déterminant gauche quelconque, une des deux formes :
pour n pair,
pour n impair,
Si les éléments principaux sont tous égaux à Tunilé , ces deux dernières formules deviennent
et comme les déterminants gauches symétriques d'ordre pair Po, (^*^ P<,<)oî (^*^ Pi,«) ? • • • i sont des carrés, le déterminant P sera égal, tant dans le cas de n pair que dans celui de n impair, à une somme de carrés..
Exemple. — Pour n = 4 9
P = (ûi,j <Ï3,4 — «1,3 «a,« -h «1,4 «»,3 )'
et pour »= 3, Considérons les deux groupes d'équations
«1,1 «^i "+" «1,2 ^2 -f- • • • "f" «i,n X;, = tt , «2,1 J^i -h «2,2 X, H- ... -h «2,» X« = «2 >
«n,i ^1 -+- «»i,2 Xa -f- . . . + On^n ^n = ^
où Ton suppose
fir,r^=^ l ^r,i-+- «i,r = O.
(75J En multipliant los équations du premier système respectivement par
et ajoutant les résultats , on aura
OÙ l'on a fait
Désignons par P le déterminant gauche formé avec les éléments a,.,,, et, ayant fait a^^, =*- — ? supposons que Ton ait
il viendra, d'après (82 ) ,
et, par suite, l'équation (8i) se transformera dans
^i,r ^1 4- «2,r ^a -4- ... -4- «n,r «a:» =^ Cr,l «i -f- Cr,2 «j -f" • • • "f" C,.^» l^n'
On aura donc, par l'inspection des équations (80) ,
p, =c,,, M, -4-c,,, Mj-h. . .4-c,,„ tt;,,
«'n = e„^t «I •+- <^ji,2 M, -h ... -H C„^ Uff
En opérant sur le second groupe des équations (80), comme on vient de le faire pour le premier, on obtiendra
Du rapprochement de ces deux derniers groupes , il résulte que les coeflScients c^,, sont liés par les —
équations
et , comme le nombre de ces coefficients est n*, un nombre — ' d'entre eux resteront arbitraires, et l'on pourra
déterminer les — ^ *^ autres en fonction de ceux-là : ou
encore on pourra déterminer tous les n^ coefficients eu
fonction de — ^ quantités arbitraires. Les valeurs des
coefficients c^,, fournies par (83) , satisfont précisément à ces conditions, puisqu'elles vérifient évidemment les équations (84) ; et les quantités a,.,,, en fonction desquelles
ces coefficients sont donnés, sont en nombre — ^ ••
Exemple. — Soit
It — \ 1 on aura les neuf équations
IAa,=i-+-X'— -p'— v% /<^,= 2 (>p — v), Ac,= 2 (XvH-pt),
A/i,= 2{Xpi -h v), //^,= i-h pi»— V— v% hc^= 2 (piv— >),
Aû3= 2 ( XV — f*) y hbi=Z 2 (fXV 4- X ) , AC3= 1 4- V»— X'— {i',
et les quantités ^1 , a^ , . . . , liées par les six équations
( 77 ) pourront représenter les neuf cosinus des angles que deux systèmes d'axes rectangulaires comprennent entre eux. Dans ce cas, les quantités arbitraires X, |:x, v sont susceptibles de recevoir une interprétation géométrique , comme l'a fait voir M. Rodrigues (*).
Il est bon d'observer que dans le cas où deux axes de l'un des systèmes ne feraient pas entre eux un angle droit, c'est-à-dire dans le cas où
on pourrait déterminer les valeurs des neuf cosinus en fonction des trois quatitités X, |x, v et de o); car il est permis de conserver à six de ces cosinus, par exemple à ^i, &|, Ci, az, is > ^8 leurs valeurs précédentes ; et les valeurs des trois cosinus as, 6s, c, seront données en fonction de X, fx, V, cd au moyen des équations connues
a, (i — &)*) =s biCi — bi c,, bi ^^— «») ±= ?j4i3 — C3 «j, c, (i — »*) T= a^b^^ûib^^ al-^ bl-+-cl=2i,
applications.
i\ Théorème. — Le déterminant
^n,2 • • • Cn^n"'' '
est égal à zéro pour n impair, et égal à 2" ^^ pour n pair. En effet, en substituant dans H pour Ci,i, Cj^s? . . . ,
^*) Journal de Liocville, tome V. Les formules trouvées par M. Rodrigues ne diffèrent que par la forme de celles données par Ëuler et par Lcxell dans ]« tome XX des Novi Commentarii Academiœ P'etràpolitanœ, 1775.
leurs valeurs (83), il vient
«1,2 «2,2 — P. . . an,'i
et en multipliant ce déterminant par le déterminant P, on obtient aisément
O «,,5 fl|,3 . . . «l,n ^h,\ O ^2^3 . . . «fj^n
Maintenant si n est impair, le déterminant du second membre étant gaucbe symétrique et d^ordre impair sera égal à zéro et Ton aura H = o , et si /i est pair on aura
Dans le cas de n = 3 , ce théorème renferme la démonstration d'une propriété énoncée par Euler et qui a lieu dans le mouvement d'un corps rigide {*). Cette propriété consiste en ce qu'il est toujours possible d'assigner une droite passant par un point arbitraire du corps (le centre) , mobile avec lui et telle, qu'au bout d'un temps fini quelconque elle se trouve parallèle à sa direction initiale. En désignant par Xj y^ z les coordonnées d'un point du corps par rapport â trois axes fixement attachés à ce corps, les cosinus des angles que la droite passant par ce point et par le centre fait à l'origine du mouvement avec trois axes fixes dans l'espace coïncidant à ce même instant avec les axes mobiles,
(*) Theoria motus corporum n'gidorum, t'/^o. Cette propriété a été démontrée par Piola, au moyen des formules de Monge, dans un Mémoire publié dans les Actes de la Société Italienne des Sciences, eSSq.
(79) ces cosinus , dis-je /ont pour expression
V j?' -f- 7* -H 2* V-^' + J^-hz' y'x'-hj-'-f-z'
et les cosinus des angles que la même droite fera avec ces axes fixes au bout d'un temps fini quelconque seront
)fx'
Ai , as , . . • , désignant les neuf cosinus des angles que, etc. Pour le parallélisme des deux directions de la droite dans ses deux positions , il faudra donc que Ton ait identiquement
jr=:aiX -{- b^X -h CjZ, z =zazx -y b^y + CzZ^
et, par suite,
tf, — 1 bi Ci at bi — 1 Cî a-K bu Ca — I
ce qui a effectivement lieu d'après le théorème démontré. Il n'est pas inutile de faire voir comment on peut arriver directement à l'interprétation géométrique des indéterminées X, /ix, V dont on a parlé un peu plus haut. A cet effet, remarquons que les équations (85) donnent
>a, 4- iibi 4- vc, = >, ^ ^2 4- f* ^2 4- vCj = jx ,
X«3 4- jx^3 4- VC3 =r V.
On pourra donc poser
). = A- cos a , fx = ^ ces p , V = À- ces 7 ,
k étant une indéterminée, et a, P, y les angles que la droite qui reste parallèle à elle-même dans les deux positions du corps fait avec trois axes liés invariablement à ce corps. Si nous désignons par 6 T angle dièdre compris d'un côté entre le plan passant par celte droite et un des axes fixés dans le corps dans la position initiale, et d'un autre côté entre le plan déterminé par les mêmes droites quand le corps occupe sa seconde position , angle qui doit rester invariable quel que soit l'axe que l'on considère, nous aurons par une formule connue
Ox = sin* a ces ô -H ces' a ,
bi = sin* p ces ô -H ces' p , C3 = sin*7 ces 9 + cos*7 ; d'où
«i"4-^2 + ^3=i-+- 2 ces 9 ,
et, d'après (85),
^' -h f*' 4- V» =: tang'^ e.
La quantité k étant ainsi déterminée, on a ensuite
X = tang-3-6cosa, fi = tang y G ces p , v =r tang|ôcos7.
Observons que le théorème mécanique d'Euler revient à cet autre purement géométrique : Étant donnés deux sjs^ tèmes d'axes rectangulaires ayant la même origincy on peut déterminer une droite passant par cette origine et telle, quune rotation autour de cette droite amène Vun des systèmes à coïncider ay^ec le second. Il est évident que l'angle 6 est la mesure de cette rotation.
^^, Soient représentés par ^i, ii, Cj ; «i, ig) Ct\ a^j b^^ Cj les cosinus des angles que trois axes rectangulaires liés i un corps solide en mouvement font avec trois axes fixes dans l'espace, et désignons par /?, ^, r les composantes de la vitesse angulaire du corps relatives aux axes mobiles. On a,
( 8i ) comme on sait, •■
'y = «I «5 -+- b, b\ -+■ c, Cj, r == a2a\ 4- ^j ^', -f- c,c, ,
et, en sul^ti tuant les valeurs (85) ,
/|/> = 2 ( f*' V — p' — V ) , A^ = 2 ( v' X — vX' — f*' ) ,
d'où
X' = - (/-fx — lyv — ;? — X/w),
(86) { p'=^(/^v— r). —^—fx/,,),
en faisant, pour aèréger,
X/> 4- ^ç -H vr = /w.
Ces dernières équations, respectivement multipliées par X, f/., V et ajoutées, donnent sans difficulté
A' -h mh = o ,
puis, multipliées par/?, ^, r et ajoutées,
«»-+- /w' = — 2(X'/? 4-fA'^ 4- v'r),
co désignant la vitesse angulaire du corps.
Lorsque le corps tourne autour d'un point fixe et qu'on prend pour les axes mobiles les axes principaux du corps , en désignant par A , B, C les moments principaux d'inertie et par T la demi-somme des forces vives , on a
ï = -(A/;'-hBr/-'-[-C/-'),
et en posant
dT HT dT
"=5X'' ^=dy' "'^^'^
on a
Am = A/? + B^v — Cr/x,
(87) / /, ^ = — A/iv4-B^ -h CrX,
d'où
2 A/? = (^v — «'fA — a — Xff , aB^ = wX — «v — v — po-,
2Cr = a|x — (^^ — «' — v(T, en faisant
or = >« -h pf> 4- vw.
Si maintenant on désigne par U la fonction des forces, on aura, comme Ton sait ,
dl d^ dv
et, par conséquent,
tt' = - ( o (T H- um -H /v — ^/w') H- -~ 9 2 ' aA
f' = - ( /7 (T -4- ('m -4- pw — ra ) -f- -7- ? 2 - ' rt p
fv = — ( ro" 4- (vw -I- «rtt — pif) 4- -— -.
2 ^ ' ' dv
Ces équations, conjointement avec (86), sont les équations différentielles du mouvement d*un corps autoiu* d'un point fixe présentées sous la forme que leur a assignée Hamilton.
Si le corps n'est sollicité que par des forces instantanées , en désignant par Ç, yj, Ç les angles que Taxe du couple ac-
célérateur, Tane du coople d'impulsion et Va%e instantané de rotation font avec la droite dont il a été question à la fin de l'application i^ (droite qae M. Cayley à nommée axe résultant) ] en désignant ea outre par g^ l^ on les moments du couple accélérateur, du couple d'impulsion et la vitesse angulaire du corps et posant
on a
«P = gf tang- Ô.cosÇ, >|/ = / tang-O.cosn,
Il ^
/w = « tang - . cos ç ,
et comme en multipliant les équations {87) respectivement par ^9 i'^î ^ ^'^ ajoutant les résultats, on obtient
on aura encore
