f- / sin 9 . cos *j =: o

L'utilité de ces formules dans l'élude du mouvement autour d'un point fixe d'un corps sollicité par des forces instantanées est rendue entièrement manifeste par les résultats obtenus par M. Cayley sur ce sujet ('*).

Un déterminant P dont les éléments conjugués sont assujettis^ à la condition

se nomme déterminant symétrique.

Il suit de là qu'une puissance paire d^un déterminant quelconque est un déterminant symétrique. Et comme dans un déterminant symétrique P les éléments situés dans la jjème colonne sont respectivement égaux à ceux situées dans

( * ) The Cambridge and Dublin Malhematical Journal, tome I , iS^C.

(84) ]a 5'*"" ligue, on aura

c'cstcà-dire le déterminant à éléments réciproques d'un déterminant symétrique est lui-même symétrique. Il en résulte que les valeurs de x^^ Xf^.,.^ Xn^ déduites du système d'équations algébriques linéaires (16, § IV) prendront, da^s le cas de a^ = a,,^, la forme suivante :

flP i dV i dlP

P.r, = M, ' 4- - ttj -7 T-" •-¥■- Un -z y

I c/P dV I ^P

Pa-, = - W, h«j -: f- . . . H- - «n 3 ->

1 da^^i dûi^i 2 dch^n

^ ^ dV i dV dl^ P.r„ =# 1/, h - «a -j h . . . -4- /«„ 3 ?

où - — représente la dérivée relative à a^^, du développement du déterminant symétrique P.

La formule (i4)j lorsque P est un déterminant symétrique, donne

P —-1Ï—. — JH, — — / ^P \

et en supposant - — = o, on aura

dar,r das,s \dar,sj

e'est-à-dire que les deux déterminants symétriques P et

-; — seront de signes contraires.

dar,r das,s

On doit encore ranger dans la classe des déterminants

(85) symétriques ceux de la forme

/}| l?} . . . On

qui jouissent de la propriété'exprimée par l'équation

La propriété caractéristique de ces déterminants appartient exchisivement à la théorie des im^ariants^

^application, — En désignant par s^ la somme des puissances r*^"»" des racines de l'équation

on a les relations connues

^« ^0 -f- ^«-1 ^1 4- . . . H- fl| 5„ , -h Sn = O , ^n ^1 -h ^n-l *2 -f- . . . -f- «I ^« -h ^/i -+. I = O ,

d'où Ion déduit, en éliminant les coefficients ai > as , . . . a„ entre ces éqitatjions et V (x) = o,

Si ^2 • t > <fn -^ I

Observons que, si aux éléments de la seconde colonne jde ce déterminant on ajoute respectivement ceux de la première multipliés par- — x, aux éléments de la troisième colonne ceux de la seconde multipliés par — x, et ainsi

de «uite , la valeur du déterminant n'est pas altérée et que, par conséquent,

Si Si

Si X

<»2 "~^ j| X • • • Sf^ ""^ 0|| I X

'n ^«—1 «^ -^ii-f-i — "^n •* • • • ' <f i n— i ^2ii— i X

Représentons ce déterminant par

et par V^ le déterminant

Cela posé , on a le suivant. Théorème. — Les termes de la série

Vu, Vn—i , \n~7y » • ' y Vrj«.«j V|, I

jouissent de la propriété caractéristique des résidus de M. Sturm, c'est-à-dire, si une valeur de x annule la fonction V^, les fonctions Vr+i? V^-i pour cette même valeur de X sont de signes contraires.

En effet , comme

da

dar,r dOr+\,

on aura, par Téquation (14)9

da,,r

(87) et, conséquemment , pour toute valeur de x vérifiant l'équation V;. = o , il viendra

▼r-n Tr— I — — l ~j I »

c'est-à-dire que V,.|.i et V,.i seront de signes contraires.

§ IX. — Des déterminants des racines des équations algébriques, et des déterminants des intégrales particidières des équations différentielles linéaires.

Soit

^c^-f- A«, -c"-* -+- . . . 4- A, X 4- Ao == o

une équation algébrique du n*^'"* degré ayant pour racines ^19 ^i y -mé ^H y on SL identiquement

a" H- A„., a"~ H-...-f- Al a,-f- Atf = 0,

a" -f- Art, a^' -f-..'4- A, ai-l- Ao = o,

a" 4- Art- 1 a" -f-'^H-A, art-+-Aa = 0.

Multipliant ces équations respectivement par les indéterminées ai , as , . . . , a„ , ajoutant les résultats et posant

ûx + «2 . 4- ... -H «n = O ,

fli a, 4- ^2 «2 4--..4- ^n a» = o, rt, a^ 4- «2 «^ 4- • . • -4- û» «^ == « >

«I a" ' 4-/»2 a" ' 4r . . "+• «n «rt =o,

il en résulte évidemment

Ayant fait actuelleinent

on aura par les équations (88)

z dà

z dà

et, par suite, en substituant,

. . .-f- çe^ ^—j : I = j-2aia2...an«r>

la caractéristique S représentant la somme des combinaisons n — r à n — r des racines «i , a,., . . . , a„.

Si Ton suppose r = ti — i , et qu'on représente par F [x ) l'expression

les équations (88) sont satisfaites en prenant

Gi

? "'^srT—v' • • • ' "»= ^

d'où résulte

F' (a,) Arfap'' F' (a,) A €/«;[-'

r (a,) A rfa;;

Observons qtlc

/fA

Pac conséqueut, en désignant ce déterminant par A^ et par Fi [x) l'expression

(« — a,) (^c — aa) .'. . (j: — a„),

nous aurons

Pareillement, en posant

rfA,

et

F,(j:) = (j; — a3)...(a?-— an-), F3 (x) =(x— a4) ... (a;-- a„),..,

nous obtiendrons

I fia.

1 rfAa

F;(a3) A,f/a5-' F;(aO A3 ria"-4'

F„i(an— i) A;,5

et ces équations multipliées membre à membre donnent

A = F'(^.)F;(aO F; («3).. .FU (««-.),

c'est- à -dire

à — (a, — a,) (a, — aj)... (a,— «„) («a— «3) .. (a, — a«) (a,— a4)... (a„, — «„),

importante relation que l'on doit à Vandermonde.

On peut encore arriver à ce dernier résultat, en s' appuyant sur les seules propriétés des déterminants. En effet, en faisant subir au déterminant A la transforviation de l'application 3° du § V, on a

ou , en divisant la première colonne par «j — as , la seconde par a, — a, , etc. ,

, +aj aa4-...H-aj •••*«-! "+"°'«-i *»"*'"•"*''«

EfTcctuant de nouveau sur ce dernier déterminant Topération mentionnée, c'est-à-dire en divisant la première colonne par a, — «3, la seconde par a, — a*, etc., on obtient

A= (a,— a,)... (a„,— a„)(at— a3)...(a„,— a„)

ûti "t^oC'i'T'Ota •••.....••

a" ^4-a" 'a3H-...-+-aî (a'p* -!-...)+••

et, en répétant la même opération (n — i) fois, on parviendra à la valeur de A trouvée ci^dessus.

(9' ) De ce qui procède , on déduit fadleiBent que les valeurs de Xi , x^y . , .yXn qu'on tirerait des équations

^i-ha.

J7,| =iz A" ,

.Ta H~ . . . 4- a^

peuvent se mettre sous la forme

( «2 — ^' ) («3 — / ) . . . ( a« — k) (aj— a,) (aa — a, ). . . ( a„ —a,)

(a, — X- ) (aa — /•)...( a„ — h)

(a, — a-i) (aa — a,) . . . ( a„ — aj)

__ («I— ^ ) (aj— ^) ... (a„, — - X-)

(iSt, — a«) (aj — a^) .. . (a„, — a„)

Désignons par 5^ la somme des puissances r des racines de l'équalion proposée 5 en effectuant le carré du déterminant A , on obtient

^« — I Sfi , , , S2 n—7

et comme, par l'équation (62), on a si l'on fait attention que

(jt~m)A —

a, aj,

OT--»i m— I /n— 1

J| ^2 . . . Sm • ••••',• • •^m — I '^/n • • • «^2 m— 2

il viendra

Lx(a.-

(a, — a,) (a, — aj. . .

am){(^2 — «3)- • . {^m—i — «m),

jépplications. m

1^. Un déterminant dans lequel les éléments constituant une ligne quelconque sont des intégrales définies prises entre les mêmes limites, ces limites changeant d'une ligne à l'autre, peut se réduire à une intégrale multiple. Dans certains cas, cette transformation, ou la transformation inverse quand elle est exécutable, peut être utile dans la reclierche de la valeur du déterminant ou dans celle de l'intégrale multiple. Pour montrer de quelle manière on peut effectuer cette transformation , considérons le déterminant

(Ix^

JCn)

dVy

^.rj

et observons que tous les termes de son développement seront des intégrales définies multiples de l'ordre /i, et que conséquemment ce déterminant pourra se mettre sous la forme

I dr, I d.ri... I dx^

fn(x«)

(9^) c'est-à-dire que le déterminant en question sera équivalent à Tintégrale multiple

Jr*^t /»tfg vioo ^— X,— X,. . . — x„

Eu s'appuyant sur cette transformation et sur un tbéorème concernant les intégrales particulières des équations différentielles linéaires (théorème dû à M. Liouvîlle, et qui sera démontré dans la suite), M. Tissot (*) est parvenu tout récemment à généraliser quelques résultats obtenus par Abel et par M. W. Roberts (**). Les déterminants des intégrales définies avaient déjà été considérés par M. Catalan (***).

a**. La fonction homogène de degré impair à deux variables