fl
ai a2 ... otn+i
OL, a, ... a ^,
d.otT
et ces valeurs, substituées dans la (n 4- 2)'''"'' équation donneront
an+% — ^rt+i 2a, 4- «flXa, aj — . . . ±/ï, a, a^. . . a„4., = o,
en se rappelant que
f/.a! ^ rf.a! "^'d.u.'
=lt AZai aa...a„,4.i.
Pareillement; en éliminant Ci»,, Ctâ^s)***? ^»i+i«n+i des 2**"*% S'^*"*, . . . , (7î 4- 3)'^'"'' de ces équations, on aura
€^114.3 •— ^n+a 2 tti 4- ^M+i 2 a, aj — . . . "t û'aa, a^. . . a„4 i = O.
Ett^ continuant à opérer de la môme manière, on obtien-
( 95 ) dra évidemment les /z -h i équations suivantes :
a, +5 — ^«+, w, -h ciu nti — . . ifctf, w„+, = o ,
OU
«înH-î "^ ^m-i /W| 4- ^Jn Wj — • • • i ^n-i-i Wi+i = O >
/w, =3- 2rt| , /Wj = 2 ai a-i , . • , w^+i — ai aj . » . «n+i . '
Observons que les «i , «g , . . . , «„4.i seront les racines de l'équation
a:»+< — x^ /;i, + ^''""' "'2 — . . . i w«4.i = o , ou, si Ton veut, de l'équation
rt'
que l'on obtient en éliminapt les m,, /Hj,. . . ,//7„+i dé la précédente et de (91). Parla résolution de cette dernière équation, on aura les valeurs de âj , «j , . . . , a^+i 5 par suite les équations (90) feront connaître Ci, c,, ... .,c„^i, d'où Ton déduira finalement les valeurs requises de pi ,
P«? • • • fPn+i') ^1) ^î9 • • • > (fn+i- Remarquons que l'équation (92), moyennant une transformation dont on a déjà fait usage, peut se réduire à
ûi 47 — rt;
^n+l -^ — ^/»+2 ^'/i+2 «^ ^n+3 • • • ^2n+i -^ — ^an+2
Considérons l'équation différentielle linéaire du n'^""" ordre /(») -h A^, /:"-0 + . . . H- A, y H- Aor = o ,
dans laquelle A„i , A„2,^. . • 5 A© sont des fonctions de la
variable par rapport à laquelle sont prises les dérivées. Soient jTi^ yf^"'9jn ^ intégrales particulières de cette équation. En posant
ûr,j, H-^îj* H-...-hûr„j„ =0, Oi/, -h a,y, 4-. . . -h anf^ = o,-
on aura
ou bien, en tirant des équations précédentes les valeurs de A], as, ... , a„ et les substituant dans cette dornière,
où Ton a fait
En différentiant ce déterminant, on a
dà
dA
(93) A'=rrT7^-^^C7Ï^)-^--- + .rrTl^^
et, par suite,
(97 ) d'où
Cette formule est due à M. Liouville.
Au moyen de F équation (pS) , on obtient facilement les suivantes :
__ / du y dà / cf A Y
d^ / rfA ^ '
jHi__^*a— ^
d'où résultent ces autres équations :
rfr; '/ \rfr;
dans la dernière desquelles r peut prendre les val^irs 3 ^ 4 , . . . 9 /i* U suit de là que dans Thypothèse de A = o , on
(98) a n — I équaiions qui fournissent les proportions
^A \' l flU
d^ (là. </A
et, par suite,
dà. fia dà
. I ût/i j
^1 9 ^«9 • • • 9 ^1» étant des constantes. Ces valeurs^ substituées dans Téquation identique
dà dà d\ __
donnent
aij, -h a, j, 4- ... 4- (f-nyn = O.
L'équation (93) conduit encore aux suivantes : / dà y rfA dà'
En diiTérentiant la pénultième une fois, Tantépénultième deux fois , et ainsi de suite, puis ajoutant les résultats, il vient
Applications, 1^, L'équation
(99) peut s'écrire sous la forme
OU bien , en posant
Observons que , d'après les relations qui régnent entre les coefficients d'une équation différentielle linéaire et les intégrales particulières de cette même équation , les expressions ^1 , j'j, . . . ,y„i sont des intégrales particulières de l'équation
/;-'^ 4- B^-^y;-"^ -4- . . . ^ B.rl -h Bo7„= o,
et que conséquemment , en vertu d'une propriété connue des équations différentielles linéaires , l'intégrale complète de l'équation (94) sera
rn = Jl «1 -+- r» «t **" • • • -^ Xn-i 0,1-1 ,
où
Ainsi , connaissant n — i intégrales particulières ne équation différentielle linéaire du ti*^'"* ordre, on pourra déterminer la n***"* au moyen des premières. Cet important théorème est dû à M. Malmsten (*).
2**. En désignant par x, y^ z les coordonnées d'un point
(^) Crelle, tournai fur die Mathemaiîk» Band 3g.
d'une ligDe à double courbure, par r, p les rayons de courbure et de torsion, et faisant, pour abréger.
on a
r \ ( . dùk
les dérivées étant prises par rapport à Tare. Pour déterrainer la courbe pour laquelle le rapport - est constant, on
dérive cette dernière équation , ce qui donne
dà
dx
dy dà
dz'")
Mais des équations
x'x"-hy'y-hz'z"=zo, oi'x" -h y y'" 4- 8'z'" = — /w%
on déduit
iX' = — m (
dà ^ '" d7" "*"
^y'= — m im
tL7l=:-^m r
dx'^y
rfA . , f/A\
et si Ton multiplie ces dernières respectivement par x', j^ z\ et qu'on ajoute les produits, il vient, en ayant égard à
et , par suite ,
( loi ) ax' •+- by-^- cz' = A,
a y b^ Cjk désigns^Dt quatre constantes arbitraires. La ligne cherchée sera donc une hélice tracée sur un cylindre dont les génératrices sont parallèles à une droite donnée (*)
§ X. — Des déterminants fonctionnels.
Soient j^i, /î j . • . > y«> fi fonctions indépendantes entre elles de n variables arj, oTj, . . . ,a:„*, en formant les dérivées partielles du premier ordre de ces fonctions par rapport k chacune des variables indépend an les, on obtient «* quan-
lités analogues à -— ==:y[. [Xs)- I-e déterminant
jU-^») y, (^2)... 7,(^,1)
se nomme déterminantybwcf /bn/ie/, ou déterminant des cfe'riv^ées partielles du premier ordre des fonctions j^i , J^2, . . . -yn par rapport ^x variables Xi, Xj, . . , , x^.
L'ordre du déterminant fonctionnel est égal au nombre des fonctions , et il ne devient moindre que lorsque quelques-unes des fonctions coïncident avec certaines des variables indépendantes. Par exemple, si l'on avait
le déterminant se réduirait à
2[±y, (x.)y(xo...J;K)]:
il serait conséquemment de Tordre r.
( *) MoNGE, Application de l'Analyse à la Géométrie, 5* édit , Nete I.
Si l'on déduit des équations
Yi (Xj j J^:t» • • • > ^n) ^^ Xi » Xi\^ï > «^j» • • • > ^n) ^^^ X^y • • * >
Xn \^t t '^^i • ' • 9 •^n/ ^^^ JK*n j!
les valeurs de Xi, Xi,..., a:„ et que l'on conçoive ces valeurs substituées dans les mêmes équations, on obtient par la différentiatlon
et si , dans la valeur trouvée pour Xr , on met pour J^i > /î > • • ' y yn leurs valeurs , on aura les équations
D'après cela , si Ton représente par Q le déterminant
s[±a:'.{r.)-^',Cr.)- ••<(/»)].
on aura par la règle de mmltiplication des déterminants
Si dans la seconde des équations (96) on fait on obtient ft 'équations desquelles on déduit .
et semblablement de (97) on déduit
M «o3 ) par conséquent
En représentant par S le déterminant à éléments réciproques du déterminant P , et observant que pour * = o , r = s^ r-|-c=w-4-i, l'équation (48 ) donne
c*est-à-dire
On aura , d'après l'équation (99) ,
ï [ ± y, (jor) y,^, ( .r,^., ) . . . 7I (-^i.)]
et semblablement
En différentiant le déterminant Q par rapport à jr,, on a
ou bien, d'après l'équation (98), ou encore
et comme PQ = i , on aura
djs dx.
Mais
donc, en substituant, on obtiendra
ce qui , en vertu de (99) , peut s'écrire
Remarquons que, d'après cette dernière équation, l'ex-* pression de P, savoir
P = a,., x[ (^. ) -^ a.,» /, (^2) ■+■ • • .-î- <^s,nX's K)
pourra se mettre sous la forme
Supposons qu'entre les variables Xi , Xs, . . . , x» et les fonctions y^ , y,/. . . , j^„ , il existe les équations
Si Ton déduit de ces équations le$ valeui^s de J'n/t» . . .,y„, et qu'on les substitue dans ces mêmes équations, elles seront identiquement satisfaites, et Von aura, en conséquence.
Il en résultera par la règle de multiplication
^application.
Soient Ai j At,. . . , A„, n fonctions des variables x-^ , Xt, . . . , Xn^ et considérons l'é^piation aux différences partielles linéaires et du premier ordre
(io3) A./; (.r.) 4- A, j; {x,) 4- . . . -f- Kf, W = o.
Supposons que y, , ^x« v • 5 /r-i ^ JTr+i v • 7 J^n représentent n — I solutions indépendantes entre elles de cette même équation ; on aursi par la substitution n — i équations identiques , d'où l'on déduira les proportions
Al • Aj , • . . , An ^r, l • ^r,7 • • • • • 3tr,n»
En nommant M la valeur commune à tous ces rapports, on aura évidemment
P = M[A,j;(.r,) 4- A,y, (.r,) 4-.- .4- A„rr(.r„), et d'après l'équation (lôi) on aura
La quantité M qui jouit des deux propriétés exprimées par les deux dernières équations a été nommée par Jacobi (*) le multiplicateur de l'équation aux différences partielles (to3) ou du s^ystème aux différentielles ordinaires
\ • OvJ y X^,X^,»m,^ n ~~~ A|,Aj, . * • ^ Pi-n •
Supposons maintenant que
B,=: A,/,(.r,) -h Aï/, (.^j ) 4- . . .4- A„/,(.r„), , ^^ ,B2= A,/,{.r,) 4- A2/,(.rj)4-. . .4- A^/', (.r„),
(io5)
(*) Mathcmatisçhc ff^crke. Band I.
( «06) OÙ Bi , Bi V • 9 B„ sont des fonctionsMe /i >/«,.. .j/n . En différentiant ces équations respectivement par rapport à ji , yt^» " • yyn^ ajoutant les résultats et se rappelant que
^ dyr ^ P dxs
il vient
, rfp , rfp ^ //P\
Al -; h Aa -; h . • . -h A„ 3— )
dkx dki dkn
et comme PQ = i , il en résulte On aura encore
Or, par (106) , on a^ quel que soit M ,
djx «Tj «Tn
par conséquent, en ajoutant à cette dernière équation la précédente multipliée par M , il viendra
rf.MQB. dMQB, rf.MQB„
lion) {
^ /d.MA, e/.MA, rf.MA„\
\ r/Xi djr-i dx„ /
( *o7 ) Observons que, à cause de
on déduit du système (io5) le système équivalent
/,:/',:. •:j', = B.:Ba:...:B„.
Si
sont [n — a) intégrales du système (io5), les quantités Bi, Bj,.»'^ B„8 seront identiquement nulles et l'équation (107) deviendra
Supposons que le multiplicateur M soit déterminé de manière à ce que
on aura^ pour cette valeur de M ,
c'est-à-dire MQ sera, comme on sait, le facteur propre à rendre intégrable l'équation
et, par suite.
MQ(B„ 7;, — B«, j'J = const.
sera la dernière intégrale des équations (io5).
Il résulte de là que, étant données n — a intégrales des n — I équations (io5), et connaissant une valeur de M qui
( 'o8) vérifie l'équation (108), la dernière intégrale desdites équations dépend simplement d'une quadrature. Cette propriété, découverte par Jacobi , a été nommée par le même auteur principe du dernier multiplicateur.
Voyons maintenant comment on pourra déterminer la valeur de M dans le cas du système des équations de la dynamique.
En représentant par T la demi-somme des forces vives, par U la fonction des forces, ces équations peuvent, comme on sait, se mettre sous la forme
dqr d.{T'-\}) dpr </.(T~-U)
dt dpr ^ dt dqr ''
OÙ il faut faire
En posant
ces équations reviennent à
Par conséquent l'équation analogue à (108), au moyen de laquelle se trouve déterminé le multiplicateur M çorresipondant à ce système d'équations , sera
r/M , ^.MP, , ^ ^.MP„ rf.MQ,
dt dfji dqn dp
dMQ:^ ^d.MQn dpi dpa
équation qui , à cause de la relation évidente
d 9r dQr
dqr dp,.
( 109 ) se transforme dans la suivante :
Cette équation étant satisfaite quand on suppose M constante, ou, pour plus de simplicité, M égal à i, il en résulte que le multiplicateur correspondant aux équations de la dynamique, mises sous la forme ci -dessus, est égal à l'unité.
En multipliant les équations
respectivement par
on obtiendra, d'après (97),
ur = Px <(/,) -h «'^^(rO -+-... -h <>„< (r„);
et pareillement , en multipliant les équations
par x\ {yr)y x\ (jr), • • • , ^'. (rr)^ on aura, d'après (pf)),
( lîo)
Posons
(ïog)
^'î(rr) j?',Cr*) -+-•••
En faisant dans cette dernière équation 5= 1,2, 3, .«.,72, on obtiendra n équations , d'où Ton déduira , d'après ce qui a été démontré plus haut ,
x\ {xr) = Er,.y,(j^.) 4- E.,,y,(x.) +. . .4- E.,.r; W,
*i (jr) = Er,i y, W 4- E,.,y, (ar,) 4- . . . -4- Er,„y„ (x,) ,
< (rr) = Er,. y, (*„) + E.,, y, (x„) -4- . . . + E,,,y„ (x«).
Multipliant ces équations respectivement par j^^(xi),
yrl^t)»- • -î/r (•^»)5 OU par/, (a:i),y, (x,),. • .,/, (^n),
et ayant égard à (96), (109), on obtiendra les deux suivantes :
Er,i Ar,i H- Er,a Ar,j + • • . + Er,ii Ar,n = 1, Er,i A,,i -I- Er,j A,,3 -+-,..+ Er,„ A,,„ = O,
d'où, en posant
Ai,j. • • Ai,»
Aj,j . . . Aj^ii
An,i
An,j • . • A/|,||
Ei,j. . . Ei,„
Ei,a . . . J^7,n
Ln,2 • • • '^n,n
on déduit
(iio) KH=:I, A,,,= -— -, E,,,= ~-
Application.
Soît F une fonction des fonctions J^u J^s,- . • 5 J^i, indépendantes entre elles, et soit posé, pour abréger,
on aura évidemment
X. = Y, x\ [X,) + Y, y, (x.) -h . . . + Y„y^ (x,), X,= Y,y,(x,) + Y,y, (x,) -h.. .+ Yn^;, (ar,),
x„= Y,y,(x„) + Y,y,(x„) -h. . -H Y„ /;. (xj.
En multipliant ces équations respectivement parj^|.(jr:i), y^ (xj), . . . , j<"^ {Xn) 9 et ajoutant les résultats, on obtient
(m) x,y^(x»)4-x,y(x,)-i-...-hX«y,(x„)=:L.,
où, à cause des équations (109) ,
Lr = Yi Ar,i -H Yj Ar,7 "h . . . *+• Yfl Ar,ny
ce qu'on peut encore écrire, en vertu de (110), (112) HL. = Y.- + Y,— -4-...H.
dEr,i dEr,2 dEr^n
Si dans Féquation (m), on fait r= i, a,. . ., n, on obtient ti équations d'où Ton tire
Xj = L, Xj (7,) 4- Lj X, (/j) -h ... 4- L„ x\ {Xn)y (n3)
et l'on déduii aisément de réquatioii (ii9.)
L( Er,i -h Lj Er,t -f- . . • -h L„ Er,ii == Yr.
En difTérentiant les équations (ii3) par rapport à Xi, x%^. , ,jXn respectivement et faisant la somme des résultats, on obtient
dXr dfi dxt djr^ dXr
-h Lt 2r -j h . • • 4- -Lu 2r ■ ■ »
OU bien, en vertu de (loo),
dXt dy^ * * d[)^„
équation que Toi^ peut encore , à cause de PQ = i , écrire sous la forme
dXr \dy, dXi dy^j
(t d? ^ d? rfP\
^p et comme, en multipliant les équations (ii3) par —9
CUCi
-r— > • • • > -r-1 et ajoutant les résultats, on a
^ dp ^ d9 ^ dP ^ dP dV dV
or, <m:2 ^« dy^ dy^ dy^
il vient, en substituant,
V^Ji dy^ •" rf^„y
e/.XiP ^.X^P rf.X„P
( >«3) Au moyen de Féquation (i i4), on obtient une transformation générale de Téquation aux différences partielles du second ordre à n -|- i variables ,
laquelle transformation dans le cas de /^ = 3 correspond à celle qu'a trouvée Jacobi au moyen du calcul des variations (*) et comprend par suite comme cas particuliers celle que l'on doit à Laplace, à M. Lamé et à M. Cauchy (**) . Si Ton suppose E,.^, = o, on a
Q= y (E,,i E2,j. . .E«,„, HLr = Yr -jz; — y elf par suite,
T ^ V(^«,l ^2,2" •¥,r—t,r—i Er4.|,r-|-|.. .E„,„^F
LirKl — 7= -}
Soient
j:, = Xi cos/2, Xi = y, sin fi cos j3 , JCz = Xi sin j2 sin J3 008^-4,.., ^n-i = ri sin 7 j sin 73... sin^„«, cosr», x„ = j, sin/2sinj3... sinx^.;
on trouve aisément
Er., = o
et
£.,, = 1, E,.2 = jk;, E3.3=j;sin'j2, E4,, = rjsin^j2sin^n,..-,
En,n = y] sin» j, sin^ y,. . . sin' j„, ,
(*) Maihematische Werke. Band. II.
(**) Journal de VÉcole Poljr technique, XXIII® Cahier. ^ Exercices d'Ànaljrse et de Physique mathématique, tome II.
et, par suite.
L, Q = /" ' sin"-' j2 sin"-^ 73 • • si» /„, — 1
L2 Q = y sin"-'=' y 2 sin"-* ^-a . . . sin j«, -7- 5 La Q = /~^ sin"-* ^2 sin"-^ ^j • • • s»" r»-i T" '
«Ta
L, Q =>•" sin»-*72 sin«-*>-3. . . sin"-'^'>-r-, sin»-« j,. . . sin j^„^, — •
Pour le cas de n = 3 , on obtient
d ^ — ^J f/xj ^j:J ^ ^,
ce qui est précisément' la transformation connue de Laplace.
De la seconde des équations (109), on déduit par la différentiation
^ "^-^'^ djr^ :t\dxn.^ dyr dy, )
et celle-ci où Ton fait
fournit
(ll6)( ^fm
= M, y, (x. ) -f. M,/, (x, ) 4- . . . + M„^'„ (x,), = M, y, (x,) 4- M,/, (x,) -f- . . . -h MnX'^ (x,),
Considérons maintenant Je déterminant
■^n ^u,i -^«,2 • • ^n,n O Jv.) A.} • • • JV-n
dans lequel X,,r = X^.,, = -r-^ ? et observons qu'on peut l'obtenir en faisant le produit des deux déterminants
•• y'rX^n) O O I
dlHr
dans le premier desquels on a posé a^^, = —r^* En multipliant le premier de ces déterminants par le déterminant
( "6) et posant
on obtient
h\,\ A|,2 . . . /li,n * I '•1,1 '•2,2 • • • '•a,'» ^2
et comme , diaprés les opérations exécutées , on a évidemment S = VQ*, il en résulte
H Remarquons qu'en différentiant l'équation
par rapport à jr» on a, d'après les équations (m), (116) et (117),
^ \ dfr djr, dy^J
d'où
"r,s — If,* ^mi^m \ — 7 1 j 1 | J
2 V dfr dfs dy^J
et par conséquent le déterminant V se trouve uniquement exprimé par les fonctions Yi , Yj ,..., E^^, et leurs dérivées. Si dans l'expression
2 \ dfr
dE
dyj
dfs dy,
on substitue pour L„ sa valeur (112), il vient
iîYT ' /<=^E,,„ rfE,.„ ^E, A rfH
H ^' ' ' ■"" 2 V rfr, rfr. '<r» y rf e„., '
( ««7 ) et comme, d'après (109), (ii5), le déterminant
QX
1 /rfE.., rfE,., d%,r\ dH "2\ dxr dy, dx„,)dE„,i
résulte du produit •
dXr
en représentant ce dernier déterminant par '''N^,r on aura Dans le cas où Yj = Y, =: . . . = Y„i = 0, Y„ = i , on a
*2,l "2,2 • • • *2,lt— I
et en posant ^'*^N,,^ = Ar,,, = Ar,* ? îl en résulte
Pour « = 3 cette expression reproduit la formule connue de Gauss pour la courbure d'une surface (*).
(*) Nouveaux MémoUo de la Société royale des Sciences de Coiting,ue ^ tome VI.
( "8) De réquation (toa ), on déduit deux formules d'un grand usage dans la théorie des déterminants fonctionnels. [Si de s quelconques des équations
