II

J^n ( ^1 > ^-i 1 • • • ) «^n j — ^ Xo t

on tire les valeurs de x^+t » ^r+t ^ • • • ? ^r^ » ^^ qu'on les substitue dans les (n — s) autres équations, on obtient

I fl^^X^ Xi V^« > • • • > -^r » ^r-t-l 1 • • • > Xr+s y ^r+s-t-i > • • » ^n ) ^ ^ ,

^r'^^^ Xr Xr (-^i > • • • j «^r ) J^^r+I > • •.• > Xr+sj ^r-t-/-h| » • • • > «^nj ^^ 0>

D'après la forme des fonctions (fty (f t , . . . , il est évident que

drûtCltf^ f^<fn\ d(fi d(f^ d9n

dXi ày-, dxnj ^Xx <h:i ^(r«

et comme -^ = i , on aura

dXr

{ "9 ) D'un autre colé, ai Ton observe que

(IXr+i €lXr+t

d(fr d<fr^s-i-i dtfn

dtfi dfi (tXr^g (IXf^f

dXr+s dXr-^s dx,.^s

on obtieut

/^rfy. d^, d^A

dvx d(ft

dff dffx

dxi dxp

dxr+s+i dx„

dfr+l dffr+i dXr+x dXr^2

d<fr+7 d(fr+3 dXr+i d.Tr+2

d<fr+t dXr+s

d^r+2 dXr+,

dtfr d(fr

dXx dvr

di^,.^,^X d(fr+s-^t

d<fr d(ûr dr^^s+x dxa

d<fr-i-s-i-t d<fr+s-^l "•^r-M+l dX„

dxx dxr

d<fr^, d<fr+, ^'^r+i ^^r+7

dVr+s

d^n d(fn

dffn d<fn

dxx dvr

^^r+s+i dx„

Maintenant^ diaprés les«quations (119)^ donc, en se rappelant Téquation (102), on aura la suivante:

X 2 ; ± r'^. {Xr^x) . . . r;^, (Xr^s) \ ,

où Ton a mis entre parenthèses dans le premier déterminant du second membre les quantités y\ (-^^i)? ^"'2 (^î)^' • • pour faire voir que les yi, y, , . . . , y,. , Xr+^+15 • • • > f « soni

considérés comme des fonctions de Xi, Xi, . . . , jc^ J^r+i v • «^ /i+o ^r+T+1 V5 ^«' P^r un procédé analogue, on obtiendra

Si dans cette dernière équation, on fait 5 = i , il vient

Supposons actuellement que de la première des équations (ii8), on tire la valeur de Xi en fonction de ^1) ^89 • • • ? ^nt et qu'on la substitue dans les autres ; de la seconde, la valeur de Xt en fonction de x^^ Xi,, . . . , Xn^ et qu'on la porte dans les suivantes, et ainsi de suite. Ces équa* tions prendront la forme

f 2 ^^^^ X^ "" Jt (^ i »^2 > • • • > ^n) ^^^ O ,

(122) <<P3=73— rav/o/i,. .., ^„) = 0,

f n — Xn Xn \X \ '>Xi ? • • • J Xn~-\> ^n) O,

et comme on a évidemment

on aura encore, diaprés l'équation (102),

(.24) P = [.r'.W][/,W]---[/,Wl,

les parenthèses sont destinées toujours à mettre en évidence la composition desj^i, j^j, . . . , j^„.

Application,

Désignons par A^^^ le déterminant

2 f ±y, (or,) y\ [x^ ...:/^ {x^ /^^^ (x^^\

Si dans la fonction y,^^, on introduit les 71,72,.. .y,^ à la place des Xi, Xs, . . . , x„^^ on a par la formule (121)

et , par conséquent ,

2(±A,,, Aj,,... A,«,„«) = \^\±.y\x^.

•/«Mj"-"

et en ayant égard à (120)

2 (it A|,i A},]... A.n-~m,n—m) = P

Supposons on a dans ce cas

Ar,a —

i,nn-f

s,in4-^

tn,\

m,2 • • • ^OT,m ^m,m+s

^m+r,i û[|iH-r,2' • • ^m+r,m ^m+r^m+s

et, par suite.

2 (-1— Al,| A2,2 . . . An__;;j^n— w)

^1,1 ^1,2- • . ^ijin ^i,\ ^2,2 • . • ^i.m

^in,\ ^m,2 * ' * O.

«»i,i «/J^7. • • «rt,n

( 'Îi2 )

La propriété qu'exprime cette formule est due à M. Sylvester (*). Si dans cette même formule, on fait m=zn — 2, on obtient une équation qui est un cas particulier de l'équation (14) du § m.

Si les fonctions y 1, y», . . . ^ j„ ne sont pas indépendantes entre elles , mais sont liées par exemple par une équation

il est visible que le déterminant P sera égal à zéro. Cela résulte immédiatement de ce que Ton a dans ce cas n équations analogues à

Au moyen de Téqualion (121) , on peut démontrer la proposition inverse, à savoir que si le déterminant P est égal à zéro, les fonctions y^^y^^, . . ,j^„ ne sont pas indépendantes entre elles. Nous supposerons que la propriété a lieu pour le déterminant du [n — i)**»»'* ordre a^,^, et nous prouverons que dans cette hypothèse elle a nécessairement lieu pour le déterminant du /i**'"* ordre P5 de façon que, lorsque cette propriété sera démontrée pour le déterminant du second ordre, elle le sera par là même pour le cas général. Observons que si P = o, on devra avoir d'après (121) ou \^Y^ (^r)] = O5 ou cCr^r = O, Daus le second cas, d'après

l'hypothèse admise les )^i, ^^j, . . . , /r-u J^r+i? • • • > /n ne seraient pas indépendants entre eux, ce qui ne peut avoir lieu si l'on se reporte à la manière dont a été trouvée la même équation (121); donc il faudra que l'on ait

(*) Vhilosophical Magazine y iS5i.

( '23) c'est-à-dire quey^ sera exprimable au moyen des fonctions Ji > /t , . . . ? /r-i , fr+i f...j Jnf ct conséqucmmcnt les fonctions Ji, y^f ' "^ Jn ne seront pas indépendantes entre elles.

Actuellement le déterminant du second ordre

est égal, d'après (121), à

et comme la fonction jf contiendra en général la variable Xj, si le déterminant est nul, il faudra que [y, [xi )J le soit aussi, et, par conséquent, les fonclionsyi,yj ne seront pas indépendantes entre elles.

La formule (102) donne la valeur du déterminant P, lorsque entre les n variables x et les n fonctions j)^, il existe n équations (f =z o. Supposons présentement que les fonctions y et les équations y = o soient en nombre plus grand que les variables x^ et cherchons à déterminer la valeur du déterminant P. Soient

ç, = o , ^j = o, . . , fn+r = o ,

n 4- /• équations qui ont lieu entre les n variables x et les fonctions ji, j,, . . . , j^+r de ces variables. En tirant des équations Çn+i = o, op^, = o, . . . , ç„^ = o , les valeurs dejn^i^yn^ij. . ., J^n+r ©t Ics substituant dans les n premières équations, on a

(fi [Xi , .r^ , . . . , j;„ , ^,, /2 5 • • • ) Jn) = O ,

cp2 (.r, , Xj , . . . , j:„ , /i j J> 2 j • • • j Jn) =^ O >

îpn V^t» -ï'i j • • • , '^'/j , JTij .) 'j ) • • • > >'«) = ,

Ces n équations donnent, d'après la formule (102) ,

où les dérivées sont mises entre parenthèses pour rappeler la composition des fj, f,,..., (f^. Remarquons maintenant que

^[± (!bi\ l^\ ... l'h^W = 2 1±^ ^... ^\

et que

' \ dXx dXa dXn+i àjrn+rl

en observant que

(.^\ = (^\ = ... = {±ïiy = ... = (-iî2-\ ==0.

D'ailleurs on a évidemment

donc r équation (i25) deviendra

\ dy, dy-, dyn+r)

/,d(fi J(p2 d(fn d<Dn+x d<fn+r

\ dxt dx2 dxn dyn-k-x dy^j^^,

ce qui fait connaître la valeur de P.

( '25) Si les quantités j^i,y2, . . . , ^„ étaient des fonctions composées des variables Xi^ Xa,..,, :r„, c'est-à-dire si elles étaient des fonctions d'autres fonctions ^i, ^s, . . ., (p„ des variables Xj, Xi,. . .. x^^ l'équation (102) donnerait évidemment

\ ^fi

et si les fonctions composantes f étaient en nombre plus grand que j^i, j^2>«««5 J^n» par exemple si elles étaient en nombre m > /i, on aurait, d'après Téquation (61) du § VII,

équation dans laquelle la première caractéristique Z se rap» porte à la somme de tous les produits analogues à celui entre crochets, et que l'on obtient en mettant à la place des indices r^ , Tj , . . . . r„ , n quelconques des nombres

Supposons qu'entre les variables Xi, Xj,..., .r„, Ton donne n équations

OÙ les a sont des constantes , et que par des transformations faciles à apercevoir, on réduise ces mêmes équations à la forme

f I (^l> -^2? ' ' • 9 ^ny «!> «2, . • • > «n) = «i j Cp2 \^ij ^2) • • • 5 •■'^nj ^i> *2) • • • ) ^n) ^^^ Ûf2>

^n y^ïi '^2* • • • > '^«J ^IJ ^2j • • • ) ^/ij — ^n»

Les «1, «2,. . . , a„ pourront être considérés comme des fonc-

lions implicites , el par la formule ^102) on aura

-[±fê-) (a-)- ■•(£-)]

Par conséquent le déterminant fonctionnel P ne changera pas de valeur dans cette transformation toutes les fois que Ton aura