FH ,. IM ^« IK
et, par suite, en différentiant par rapport àj,.
2 /'(«,) rt, —yr
( 128) d'où
et
4 / («i)(«.— rr)(«i— r*)
4 / (a„) («„ — ^r) (a, — r.) Maintenant, si Ton se rappelle les formules
/'(«n) («»— rr)V
on a
E -G r -i^'Crr)
2 /(rr)
et, par conséquent,
./ ^\//(jr.)/(rO--./(r«)*
Au moyen de cette formule, M. Catalan est parvenu à
( i29 ) étendre aux transcendantes abéliennes quelques-unes des propriétés appartenant aux fonctions elliptiques (*).
§ XI. — Des déterminants de Hesse,
Soit u une fonction entière homogène des n variables ^15 a?j,..., Xn- On désigne par «i, «s,.--) "n les dérivées premières de u par rapport à chacune de ces variables, et par M,j,, iiijj,." "^s dérivées secondes, en sorte que
«r,5 = Us,,
Le déterminant
Un,\ Un,i • • • Un,n
est appelé Vhessien de la fonction m, ou le déterminant de Hesse, à cause de l'important usage qu'en a fait M. Hesse dans différentes recherches géométriques. Ce déterminant a été représenté par quelques géomètres par le symbole H„. Il est évident que si la fonction u est du m'^'"* degré, le déterminant v^ sera une fonction homogène du degré n[m — 2).
Supposons que les variables Xi, a:j,..., x^ soient liées à n autres variables J^l^ j^s v? JTn P^'' ^ équations linéaires analogues à
Si l'on substitue ces valeurs dans la fonction u et que l'on
(*) Mémoires couronDés par rAcadémie de Bruxelles , i8'|i
( «30) pose
on aura
En effet, en différeii liant la fonction u par rapport à jry il vient
du
el en différentiant cette dernière équation par rapport kj, et par rapport à a:,, on obtient
d^u dux du2 dun
dyrdys dys dy^ dy,
dfrdx.
D'après ces relations, et en s' appuyant sur la règle connue de multiplication des déterminants, on trouve aisément les deux équations
\ dx^dy, dx^dy^ dx„dy„J ' *
/ . d'il d'u d'u \
\ dxx dy, dx2 dy-, dx^ rf/„ /
dont la comparaison donne immédiatement
Si la substitution était orthogonale, c'est-à-dire si les coefficients Qr^s satisfaisaient aux deux équations
on aurait
P = I , et par suite K = p.
Dans le cas d*une substitution quelconque, si la fonction dans laquelle u se transforme par cette substitution est indépendante de Tune quelconque des variables ri, yu^^^t^n^ le déterminant if sera identiquement nul; car si la variable manquante était, par exemple yr > ^^ aurait
^Ji dxr dy^ dyr ày^ dyr
ce qui donnerait
K = o, et par suite aussi v = o.
Réciproquement, si le déterminant v est identiquement nul, on pourra, par une substitution linéaire, transformer la fonction u dans une fonction homogène de [n — i) variables y i,j^t,..., y„i. En effet, v^ étant égal à zéro, on aura, d'après Téquation (i4) 9
di^ dp ^ ( dv y
dar,r du s,, ~~ \dUr,,) '
et par suite les éléments réciproques du déterminant v ad-* mettront un facteur conmiun M du degré [n — i) [m — 2)5 en sorte que, en désignant par a^, a, deux constantes, on aura
dUr,r dUr,,
Maintenant u étant une fonction homogène du degré m, on a, conune on sait,
I X I t^t,xXx + Ui^t^i -h. . -h W2,«x« == (m — 1)11,, (129) / \ f 1
d^où l'on déduit, en général,
dv dv dç
Ux h l/j -; h . . 4- '/» ~ — 9
m — I «Mi.r du-i^r du
et quand on supposera
on aura, d'après (ia6),
ai tt, -(- ttï «2 -♦-... + a„ Un = o.
Faisons, dans la fonction u ,
ar, = z, -h ^a, , ^2 = Z2 + ^«2, . • . , x„ = z„ -i- >a,, OÙ
et où X désigne une constante indéterminée. En développant, on obtient
U = w + \w' 4- - fv" -h ... H wi'"\
en supposant que w représente ce que devient u , lorsqu'on y met Zj, -Zj,..., -z„, à la place de Xi, Xf,..., :r„*, et que ii'' représente la valeur de
a, tt, 4- «2 w, -f- . . . -H a„ a„
SOUS la même condition. Comme ensuite
dw' dw' dw'
^ = :j— «1 4- :j— aj-^-. .. H- --— a„,
wW __ — Qj^ ! ^ â2 4- . . . 4 ■; a„.
aZx az2 az„
lorsque l'expression «i «i 4- «2 «s 4- . . . 4- a„ i/„ sera identiquement nulle, il en sera de même de w' et par suite aussi de w", w'^', . . . , w^'"\ ce qui réduira le développement précédent à 1/ = w j c'est-à-dire que la fonction u dans le cas
( '33) de i^ identiquement nul peut se réduire à la fonction homogène w des n — I variables j^, , j^j , . . . , j^^i , comme on r avait annoncé.
Cet important théorème, que Ton doit à. M. Hesse (*) ^ a été appliqué par le même auteur à la démonstration des deux propositions suivantes :
1**. Si M = o représente l'équation rendue homogène d'une courbe plane du n'^""^ ordre, la condition nécessaire et suffisante pour que la courbe se réduise à un faisceau de m droites , est que le déterminant i^ soit identiquement nul.
2°. Si £i =: o représente l'équation homogène d'une surface du m*^"** ordre , la condition nécessaire et suffisante pour que cette surface se réduise à un cône est que t^ soit nul identiquement.
Des équations (127) , en faisant - — == U^,o on déduit
ç:rr= (ni — l) (U,,ra, + Uj^^Wa -+- . . . 4-U„,r««)>
d'où, en différentiant successivement par rapport à x, et par rapport à Xr^ les indices r et 5 étant supposés inégaux ,
Vs'-^r= [m — i) [— — tti -h -1 — «2 H-. . . 4- —1 — Un ) ->
Par conséquent , si Ui == iij =...==«„ = o , comme alors t^ = o, on aura 1^,.= o, quel que soit r ; et de l'équation (i4) il résultera
ir ^^'^ "^ "d^ ^'-^ "^ ^ ^"'^ 'HT '
{*) Crelle, Journal/ur die Maihematik, Band XLII. i85t.
équation qui est satisfaite quand on prend
{129) Ur.r=Nar', Ur,,= Nx,x„
N étant un facteur commun à tous les éléments réciproques du déterminant i>. En différentiant de nouveau Féquation (128) par rapport à a:,-, it vient
en faisant attention que l'on a identiquement
à cause de la relation connue
Actuellement si Wi= Mj = . . . = £/„= o, d'après (i3o), on a
ou , en substituant les valeurs (129) ,
OU enfin , d'après une propriété connue des fonctions homogènes ,
<Vi= — {m — \){m — 2)N.w,,j.
Il résulte de là que lorsque les z/| , u, , . . . , /i„ sont égaux à zéro, noQ,-seuleinent Fhessien de la fonction u, mais
( «35 ) encore ïhessien du même hessien, c'esl-à-dire de u^ scmt aussi égaux à zéro. Dans le cas de 71 = 3 , les équations Ui = Ut = Ui = o sont satisfaites, comme on sait, aux points multiples de la ligne représentée par Féquation 11 = o 5 et comme on- doit avoir pour ces mêmes points f' =: o, ils résulteront de l'intersection commune des deux courbes représentées par les équations m = o , f' = o , et seront , en outre, des points multiples de la courbe 1^ = o.
Supposons présentement que 11 = soit une équation algébrique , entière , rationnelle du m'^"*' degré des n — i variables 0:1 , Xj , . . . , x^^i ; et considérons le déterminant
ttj «2,1 ttj^ï» • • '^î,!— I
**«— I **«— 1,1 "«—!,?• • • ^n—\,ti—\
Ui
ttj ...
Si Téquation 11 = est rendue homogène en y mettant
à la place des variables oT] , 0:2 , • • • 9 Jr„.i ,
et multipliant tous les termes par jcj", on aura toujours les équations (127) et
m7b JCm X\
«1 jCi -I- «j Xj . . . -4- a„ x^ = mu ,
au moyen desquelles on pourra transformer le déterminant H de la manière suivante : il est évident que
{m — -l) tt, u,,^ (m — r) th «5,1
[m l) Un^i W«i,i "n— i,l»"« **«— 1,11— I
O tt| Ui, , . Un-^t
et comme en ajoutant respectivement aux éléments de la première colonne ceux de la seconde multipliés par — Xi^
( >36) ceux de la troisième multipliés par — oti, etc., la valeur du déterminant H ne change pas , on a , d'après les équations (127) et (i3i),
Ui%. . , tti.ji—
^n ^H — '^^^ ^\ Ui. . . tf„,
ou bien
Ui
Ul,\ ^3,2 • • • Wj^„|
''11—1,1 ^n—i^7''* ttrt i,n i
^/l— 1,1 ^«— 1,2* • • tt„,^„
Ut.
Un
Observons que le dernier de ces deux déterminants peut
s'écrire
ui
ft-2.1 .
tt|,n
«ii^i.«
(//l — !)«! (/W — 1)^2..- (fn — l) Un
donc en faisant subir à cette expression l'opération ci-des* sus indiquée , on aura
U\,t W|,2« • • '^i,n— I U2,{ Ui^i . . . Ui^n—i
Un—\,\ Un—2^'*» '^M-.i,rt-..i
( '37) De cette équation on conclut que pour les valeurs de Xi, OTt , . . . , qui rendent M = oecH = o,on aura en même temps if = o.
Application,
En désignant par r le rayon de courbure d'une courbe plane représentée par l'équation u = o , on a
Aux points d'inflexion de cette courbe , on a , comme on sait, r = 00 , et par suite H = o , ou bien , par le théorème précédent ,
«1,1 <«l,2 «1,3 tta,l «»,2 «2,3 «3,1 «3,2 «3,3
Celle équation représente une courbe de l'ordre 3 (m — 2) qui coupe la proposée en ses points d'inflexion^ le nombre de ces points sera donc au plus 3m(m — 2)(*).
En désignant par r^^ r^ les rayons principaux de courbure d'une surface w = o , on a
Pour les points de la surface en lesquels un des rayons de courbure est infini, on a H = o, et, par suite,
(*) Crelle, Journal fur die Slalhematik, Band XXVIII. — Salmo», On the higher plane curvcsj page 72.
( >38) Cette équation représente une surface du degré 4 ('^ — ^)y et la ligne d'intersection de cette surface avec la proposée u = o sera une ligne di inflexion ou la ligne des pcùnts paraboliques pour cette dernière surface {*).
Exemples. — G)nsidérons l'équation des courbes du troisième ordre qu'on peut toujours réduire, comme on sait, à la forme
w =r «, j: J H- a, xj -»- «3 x^ H- 6 A j:, jTj j-^ =r o ,
nous aurons
a, JTi /1X3 /iX}
hxi hxi ûi .rj
ce qui revient à
li^ (fl, x\ -{- a^x\-\- 03 ^5) — k.T, x-i X:s
où A = ai ajûs H- aA'. Observons qu'en égalant à zéro l'hessien du premier membre de celte équation , on a
Zh} k^{axx\-^aix\'\'aix\)'\-[k^ — lo'i a^aiCi h*) x^x^x^z^o^
équation qui , en posant
3^U» = > -4- p A% k^ — io8a, fl, «5 A* = 6X A — ftX^, se réduit évidemment à
Les valeurs de X , |x se déduisent aisément des deux équations précédentes et ont pour expression
X =:4A*(A3 — r7i«2^3)% pi = 8A«-h 20flr, «2^3^^ — ^\^\^\'
(*) Gergonne, Annales de MathématiqueSf tome XXI.— The Cambridge and Dublin M aihematicaî Journal, iS^S-iS^Q-
L'équation (i33) étant évidemment satisfaite pour les valeurs de Xi , a:, , x^ qui rendent ii,= o, f' = o , il en résulte cette intéressante propriété que les points d'intersection des deux courbes m = o, u = o sont encore des points d'intersection pour la seconde de ces courbes (*). Cette propriété n'a lieu que pour les lignes du troisième ordre.
Désignons par iv une fonction algébrique entière, rationnelle de degré r des n — i variables z» , ^t v •? -^n-i? et ayant posé
rendons homogène l'équation iv = o en substituant aux
Zi , Zj 5 . . . , -^„i les rapports
on aura
V représentant l'hessien de la fonction w. Supposons que les variables Xi^ Xf^ . . ,, x^ soient liées aux variables Zi, Zt , . • . , Zu par les deux systèmes d'équations
«», = a:, , ^2 = -^2yM **'ii = ^«»
on aura évidemment n* équations que Ton peut déduire des
{*) Crelle, Journal fur die Mathematik. BandXXVIU.
deux suivantes
«'l.* «l,r 4- MCj,, U2,r -h . . . + W„,, M|,^ = O,
en supposant r et 5 = i, 2, . . . , n. Ces équations donneront (i34) V. = i,
et pour les valeurs de Xi , a:, , . . . , 5:1 , Zj , . . . , qui rendent u = o , 1/ == o , il viendra
Xi Zx H- jr^Zj 4- . . . + ^i,«« = O.
L'équation {i34) fait voir qu'à f' = 00 correspond V = o.
application.
Aux points de rebroussement d'une courbe plane m =: o, on a r = o ; donc par (lîa) H = 00 et i^ =: 00 5 donc
Wl,! Wl,? f^t,i
Wi,X W^,7 ^,,3 «^a,! «^3,2 «^3,3
Les variables o^i , J^j, x\^ z^^ 5j, Zg étant liées par Téquation
les ^1 , Zj , ^^8 pourront représenter des coordonnées linéaires ou tangentielles, et T équation V = o appartiendra à une courbe de la classe 3 (r — 2), laquelle coupera les deux courbes m = o, iv = o en leurs points de rebroussement. Par conséquent, une courbe de la r'*"*" classe a en général 3r(r — 2) points de rebroussement (*). Pareillement pour les points d'une surface en lesquels un des rayons principaux de courbure est nul , on a V = o, et comme les
{*) Crëllë, Journal fur die Mathemalik. Band XXXVUI.
vaiiables Zi , z^^ z^^ z^ doivent satisfaire à
ces variables représenteront des coordonnées linéaires ou planaires, en sorte que l'équation V = o appartiendra à une surface de la classe ^[r — a) , dont l'intersection avec u == o ou IV = o est une ligne de rebroussement pom* cette dernière surface.
Observons que lorsque V est identiquement nul, la fonction w, d'après ce qu'on a démontré précédemment, peut, par une substitution linéaire , se réduire à une fonction homogène de 71 — I variables. Cette propriété pour ti = 3 et '2 = 4 donne lieu aux deux théorèmes suivants :
I**. Si Fhessien du premier membre de l'équation w = o d*une courbe plane rapportée à des coordonnées tangentielles est identiquement nul , cette équation représente une série de points situés en ligne droite.
2^. Si l'hessien du premier membre de l'équation IV = o d'une surface rapportée à des coordonnées planaires est nul identiquement, cette équation représente une courbe plane.
En invoquant la théorie des polaires réciproques, on pourrait déduire ces deux théorèmes de ceux de M. Hesse énoncés page i33.
