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Théorème. — L'équation

a, pour le cas de ti 'impair, une de ses racines égale à i, et les 71 — I autres imaginaires et réciproques deux à deux; et pour n pair toutes les racines sont imaginaires et deux à deux réciproques.

En effet , en substituant dans le premier membre de celte équation les valeurs (83) de c,,i, c,^j,..., il vient

0tj,2 2t2,2 t . . , (X,n

ou

et si l'on multiplie cette dernière par P et qu'on pose

il en résulte

— ' 9 d OU a: = ^

Développant celte équation au moyen des formules de la

page 74 î on aura pour n impair pour n pair

zn ^ z^-'li ((«-=) P/,,*)o + Z"-^2/((«-*P,.,f)o 4-. . . -h Z' 2/((»)P,,,-)« -h Pa = O.

Dans le preniier cas, l'une des racines de l'équalion (a ) sera nulle, et les autres, égales deux à deux et de signes contraires, seront données par l'équation

( ^ ) ^-. ^ yn-i 2.((«-2) p. .)^ ^ . . . ~h j- 2((-^) P,,,)o 4- 2,((0 p,.,,), = o,

où

/ = 2' et m =

Or les coefficients de cette équation étant essentiellement positifs, comme déterminants gauches symétriques d'ordre impair, ses racines seront toutes négatives : ce qui démontre la première partie du théorème. La seconde se démontre de la même manière.

ÎO

En représen tant par — j r une quelconque des racines de Téqualion (i) et écrivant /pour V~l, on a ^

— / y/j, : ' I -^ isixr

ou

en faisant

.r^ = « + '^, jc' == « *— iby

Soit

a±ib == p (ces 9r ± / sin 9r) ,

d'où

^ p2=V-i- ^'= I, tangQr = -= ^^^'

^ 1 — rr

et, par suite,

Vrr = tang -- Br ;

on aura

2; ((' ) P/,f )o = tang^ - Ô. tang' i 0, . . . lang' - ô^^,

2/ (C»-') P,.,,.)o = 2, 2, al , = tang' ^ ô, -4- tang' ^ ô^ 4- . . .

-4- tang' - G„. ^

Pour ^i = 3, l'équation (h) donne, en ayant égard à (85).

et l'on a

À' -h /?' -h v' = tang' - G ,

ou

casa tang- Ô, /j = ces p tang- 0, v = cosy tang-Or

en supposant

cos'a -f- cos'p •+- cos'7 = i.

Pour «=55 on aura

= tang'-é, 4- tang'-e,.

NOTE DE L'AUTEUR