L.^bc'^b'c), \l^{ca'-c'a), L.^ {ab' -^ a' b

et conséquemment en désignant par g Tangle compris entre la tangente et la génératrice, ou, si Ton veut, entre la tangente et sa tangente conjuguée, on aura

a^ by r, abc a' b' c'

( '49 ) Or, en ayarii égard aux cquations (i)'et (a) ,

ax h, c,

I O — ç GOSW

— f'cosw O ^"

r= Ç'' — <p'» cos' w ;

doue

Ç cosf = rt:(>p — w'), çsiiïe==±f COSW, tangerr^ j.

Corollaire I, — ^Si la courbe considérée est une ligne de courbure de la surface,. on a e =: -? et, par suite,

s' 4*' — w'=o, Ç' =±«p'cosw =± ~-î

R désignant le rayon principal de courbure qui correspond

ds à celte ligne, et s' étant 'mis pour — • La première de ces

équations est la traduction analytique d'un théorème de Lancret démontré géométriquement par M. Lio.uville. On en déduit deux théorèmes de Jacobi et de Joachimsthal.

En combinant ces équations avec les équations (3), on obtient

propriété des lignes de courbure mise en lumière par M. Bonnet.

Corollaire II. — S'il s'agit d'une ligue géodésique, on a Cii)==o et, par suite,

Ç'» = (p'» -f. ,[;'% C0SS=-T^=:^=> sin 6 = ^

résultat connu.

Corollaire III. — Si la surface est un ellipsoïde repré-

( .50 } sente par Téquation

~ ~^ ôâ "^ 7 ^^^ *> a- p^ Y

en désignant par p la longueur de la perpendiculaire abaissée de l'origine sur leplan tangent , on a

d'où

Les deux premières équations (a) deviendront ici

Or, en appelant d le demi-diamètre de l'ellipsoïde parallèle à la tangente à la courbe arbitrairement tracée sur cette surface, on a

donc

d'où résulte

Quand on suppose w = const., cette dernière équation donne

pd z=z Ae^^

{ «5. ) A désîgnant.une constante. Pour ^' = o, c'est-à-dire pour une ligne plane quelconque ,

pd = A ces w .

Enfin pour ip' — co' = o ou pour ca == o, c'est-à-dire s'il s'agit d'une ligne de courbure ou d'une ligne géodésique de l'ellipsoïde , on a

pd = const. ,

résultat obtenu par M. Joachimsthal.

NOTE DE L'AUTEUR

SUR