QUELQUES QUESTIONS D'ALGÈBRE SUPÉRIEURE
(Extrait des Annales des Sciences Bla thématiques et Physiques publiées à
Rome. Août i854).
1°. Soient f[oc)^ y [x) deux fonctions algébriques, rationnelles , entières et des degrés w, m respectivement ; n"^ m. On représente par ar^ , j^j , . . . , ar^ les racines supposées inégales de 1 équation f(x) = 05 et Ton pose
m z=zn — <?.
Théorème /. — En supposant r<^n et oi) = r — e-f-i on a
(2) «0 Sr 4- ai S,., -f- fi2 Sr-.2 -f- . . . H- «r Sa = è .
Eflfectivement, si Ton représenie par M^ le premier membre de celte équation , et qu'on y substitue les valeurs de S,., S;.i , ... 9 on obtient
Mr= 2J («a ^ -f- «I .^'1 -h . . . H- «r-i ^s + «r) It^n I ;
mais
dot dxs
( «>oir à la fin de cet article) \
(^^ ~:;7r^ = ~ (^'»**^i"*"^''^^ '^-...4-ûr;.,a:,4-a^)
donc
ou
bien
"•=-4'^>fë]]
ou bien encore , en observant que
et si l'on suppose r H- 1 = e + ca , cette équation donne
Dans les applications de cette formule , lorsqu'on trouvera co <^ o 5 il faudra faire M,. = o , comme cela résulte de l'équation (5).
L'hypothèse r = n entraine évidemment M„ = o , et l'on a en même temps
(6) <'oS„+r -4- «1 S„^,,.i 4- . . . 4- <ï«Sr = o.
Dans le cas particulier où (f (x) =^ f (x), le« équations (2) et (6) sont les relations bien connues entre les coefficients et les sommes des puissances àes racines de Téquation f[x)=zo.
On a supposé dans ce qui précède m <^ n -, si Ton avait m = 7î (*), on trouverait, par une légère modification de la méthode ^
(2') «0 Sr -h «1 Sr i -4- «a Sr-2 -h ...-+-«,. So = ^r+i ^ >
ce qui, dans le cas de r = o, reproduit la formule connue
Pour montrer Fanalogie des S^ avec les sommes des'puissances des racines, soit fait, pour abréger, • -
et considérons le déterminant
A] A3 • • • An
I <* Aj «^ • • • An tC
on a évidemment
On—t On • • • ^211— 3
( * ) Ce qui suit jusqu'à 2® est emprunté à un manuscrit de l'auteur, postérieur à la Wote des Annales de M. Tortolini. ( Note du Traducteur,)
mais
et, par suite,
yTC
Sq Si
» I tîj • • ■ 1^1
Sn — I Sn» » • S2H — 3
OÙ 5^ = x^ -H x^ -+- . • . + a:^« Par conséquent, en représentant par A ce dernier déterminant , on aura
Or on sait que
donc
(p(j7,) (p(jr,)- • • <p(^«) = V.
Voici un autre résultat auquel sa singularité donne quelque importance. Considérons le déterminant
A| Aj . • • Afi
A I •S?! Aj <2?2 • • • Ait^n
. n— 2 * n— 2 AiJ7, AjX^ •••
An X
<* j •*'3 • • • '*^il
On a
S| • . • On— 1 -A-i
Sa. . • Sn— I A| X\
Sn 2 Sn — I • • • ^
kxX
A| Al OSi. . . Ai X^
et si l'on fait
= li
on pourra encore écrire
Or on sait que
2 3 ft
donc, en se reportant à la seconde expression de M, on aura
Si l'on multiplie les deux membres de cette équation par A' AJ. . . A*, et qu'on ait égard à Téquation (a), il vient
cl 02 n~2
( .56) OU bien
Acluellement , si les équations /"(x) = o, y(a:) = o ont en commun la seule racine Xi , il en résulte y = o , et Téquatîon précédente divisée par ^(xj) (f(xz)>>. 9 (^n) devient
du
résultat au moins singulier si Ton fait attention que
est fonction des seuls coefficients. Il est bon de remarquer que cette dernière relation ne subsiste plus si les équations ont quelque autre racine commune, parce qu'il devient alors impossible d'effectuer là division par y [x^ 9 (x,) . . . ç (j^„). Les produits analogues à 'y (.r,) <f{xz) ... 9 (x^) peuvent s'obtenir plus généralement de la manière suivante. Ayant fait
Ri=<p(^a) ?(^3).. . <p(-^ii)> Rî = <P (j?i) ? (-^3) . . ^{^n), etc.,
et supposant que les équations f{x) = 0, 9 (a:) = o admettent la seule racine commune x^ , le résultat de l'élimination de X entre ces deux équations s'obtiendra en posant
• V — (p(a:,) (p(jrî). . . (p(r„)=ro.
Or y étant une fonction des coefficients a^^ ûti,..., èo>feiv> on aura
-1 == (p' .r. :7-! R. 4- <p'(^Ot- ^^ ^- ^ ? ^«) T^^»î
mais
dx^
^r"~ fK-r.) - '
donc
Maintenant, parla méthode d'Abel (voyez Serret, p. Sp, algèbre supérieure, 2® édition), on a
(p et désignant des fonctions rationnelles et le S se rapportant aux racines de /(a:) = o. Si l'on prend
.y (^) ou aura évidemment
2RÔ{x)=: — 4^,
et conséquemment
ce qui constitue une forme nouvelle propre à représenter une fonction rationnelle de la racine commune à deux équations. On en déduit sur-le-cliamp
„ „, dv d^ d^ dà
' ' dûn dan—i doy dao
résultat obtenu par M. Richelot (voir Nouv^elles Annales, octobre i854) par une autre méthode, et qui conduirait réciproquement à la formule qui vient de le fournir. Supposons présentement
et posons
ffr =
^^jp(f0 . ^Wifa]
On verra, comme lorsqu'il s'est agi de l'expression (a) de y, que
(Tq Ci . . . C/i—a I 0"i Ci . . f^n—i
or II— 2 O"»— I • • • ^2n—*
Mais de ^ {x) = ^ ^ ' on déduit
3u ^^ JC \
T \^i = - — ~ TZ — T»'
et , par suite , pour r = 2 , 3 , . . . , n ,
.TT^ — — .TTi
On aura donc , par la substitution ,
,,= (..,..,)-lL<Llfi)+(..3..,):!Lî(-')
et, par conséquent ,
(Tf — Di-4-1 """ '^1 "^r"
Par cette relation il viendra
*—! — *^l 2>rt— j
O2 "" '1^\ iJ| Oj ■""• t'î^i &2 • • • O/i ~"~ ^^x 0|||
^/.— I '^1 S«.i Srt '^'i »5«— I • • • ^2/1—3 •'^l ^*2n— 4
ou bien
tjQ l^l • • • ^ll-~l
Sn 2 Sn— I . • • Sj 11—3
On obtiendrait les Rj, R^ en écrivant Xi , Xs • • • à la place de 0*1. On apercevra par ce qui va suivre la relation trèssimple qui règne entre les R^ et les dénominateurs des réduites de la fraction continue propre à représenter tj— r* 2". Si l'on pose
x\ <p (Xi)
ce qui entraine
Ta:
on a le
Théorème II, — L'expression
^0 Tr -h fli Tr-i -h «2 Tr-2 + . . . + a,. T«
est égale à
To («0 af -^ Ui .r'-' -f- . . . -I- fl^, X -h flr)
en ayant soin de mettre zéro à la place des coefficients b dont les indices seraient négatifs.
On aperçoit sans peine que ce théorème est une conséquence du théorème I , qui montre que
ï-r «^ Ir— I "~* ^r— I »
et, par suite,
(9) T, r=: To .r'- — (.r'--' S» -H .r'-' S, + . . . + a: S,2 + Sr-,).
( '60 ) 3^. Supposons que la recherche du plus grand commun diviseur de y ( a: ) et ^(x)^ effectuée en changeant le signe du dividende et celui du diviseur dans chaque division partielle (comme cela se se pratique dans le théorème de M. Sturm), conduise aux relations
'fil— I 'm— I 'm
les ^1, y,,..., q^+i désignent les quotients obtenus dans les divisions successives, le premier étant en général du degré n — met les autres linéaires ; et les r,, r,,. . . , r^ sonr' les restes correspondants dont les degrés respectifs sont généralement m — i , m — 2 , . . . , i , o. Si Ton représente par
les réduites successives de la fraction continue
Çm-t-t
on aura
(il) r, = yD.— /N„ r2=r(pD,~/N„..., r« = (pD«>-/N«
et les D,, N, seront du degré n — m-{- s — i et 5 — i. Cela posé, nous nous proposons le problème suivant : Déterminer, en fonction des coefficients def(x) et y (x),
Jes coefficients des résidus /*, ceux des quotients q et ceux
des numérateurs et dénominateurs N, D.
D'après les formules de la décomposition des fraction»
on a
A, désignant le coefficient de x""'^ dans le polynôme /v (x), et comme les équations (i i) donnent
il vient
r, {xr) = <p (.r^) D, (xr) ,
En supposant
D, (jc) z= c,.v*+'-' -h c^ a:'+^-' -4- . . . ^
(où i=s-^e)j et substituant dans les équations précédentes , on aura un nombre d'équations précisément égal au nombre des coefficients c^, c,,..., et où ces dernières quantités auront elles-mêmes pour coefficients les Sp définis par Féquation (i). De ce système linéaire, on pourra donc déduire les expressions des ^j, cl,..,5 et si l'on fait
OU i=s-h-e=s-\-'m'r-n^ on aura
dli
ao A,' d Sï,-.
As d ^i
Oq ^i d S21— ;
(,,) As dAi
Par conséquent,
Aj / -/i,
ce qu'on peut encore écrire
Si, s,-, . . . s„,
D'ailleurs des relations {ii), savoir
r, =çD, -/N„
-■,, = <fD,, -/N,,, combinées avec N, D,, — ]V,,D, = i, on déduit / = r,, D, — r, D., ,
et en substituant dans <res équations les valeurs
on en conclut sur-le-champ
, en ayant égard à la valeur de c, et observant
A, A,, = a\~; Il a évidemment Ao^ fr».
Au moyen des formules (2), (6) on passera de ces expressions qui sont formées avec les S^ aux expressions analogues formées avec les coeflScients des fondions^ (x), (f {jc).
La théorie delà décomposition des fractions rationnelles donne
ce qui, en ayant égard à Téquadou (i^i) et à Texpression (7) de T,. , se transforme aisément en
rs(^) As
f(x) aoAt
lo 11 ... . T.|f
De là, par les formules {2), (6) et (8), on déduira les coetficients ^,(0:) exprimés par ceux de f[x)^ ?(^)* D'après l'équation (9), si Ton fait
«^ 3© 1" •* «^1 "T" • • • ~T~ ^ «^r — 2 i~ •5/" — I Jr — t y
en sorte que
i-r — ^ lo«* '•"Jr—x^
le déterminant qui figure dans le second membre de l'équation précédente se partagera dans les deux suivants :
So S| S;i
bo b|.
b|j b|i . . . bj |'ç,
O jf^ . . . . • Ji—^
( i64) Donc, en se rappelant que To= 77—:' et ayant égard à Téquation (12), on aura
d| t^3« • • • • dj
Jî>l 2 0|-.| • • • ^2 I — 3
O Jo» • • . • ji—2
et, par conséquent
So S|.
S/—2 b/—! • • • Sj 1—3
il n'y aura plus qu'à introduire les S^. exprimés par les coefficients de f{oc)^ ç (x), pour avoir l'expression requise des N,.
Quant à la valeur d'un quotient quelconque ^„ on pourra la déduire indifféremment de Tune des relations connues
A-i ^s = ^î 4- rî-2.
On remarquera que la quantité que nous avons- précédemment appelée R(^) n'est autre chose que D,„(j:^).
4^. En différentiant les équations (10) par rapport à Xj on obtient , après quelques réductions,
cùc
dx
dx
dx
OU, en supposant
djfi
En désignant par a:', od'^...^ a:^"*^ les racines de l'équation ç (x) = o, on déduit de la précédente
et celles-ci , quand on a égard à (i i), fouriiissent
'^--j^ = q\ M + a, D; (Xr) + as D; (o:^) 4- . . . + a«^i D,'„ {j?r)
Si l'on suppose
et, par conséquent,
la première de ces équations donne
OÙ l'on a fait , pour abréger,
Dans le cas particulier où
la première ligne du déterminant qui précède devient divi-
sible par ai — i, et Ton a
D](x,) Dî(xa) Dî(x„)
propriété déjà énoncée par M. Sylvester [Philos ophical Magazine, octobre i853). L'équation (i4) vérifie la conjecture de ce géomètre distingué relativement à l'existence d'une équation analogue à celte dernière dans le cas général où ç [x) serait une fonction quelconque du degré
5**. En désignant par A,, A'^ les coefficients de x"* % Xf"^'" * dans le polynôme r, [x) , et par c„ c^ ceux de j:»-'»-M-i ^ ^n-m+s^^ dans le polynôme D, (x), et se rappelant que
on a
Maintenant les formules pour la décomposition des fraclions rationnelles donnent
ksC,ay
«fl
et, par suite,
A,c, , A, c^ 4- A^ c, A,Csay ^x
(*) On a iheory ofthe syzigetic relations of two rational intégral funclions, ctc^, {Philosophical Transactions, i853, pari ÏII, page ^|8o.)
m^is
donc
On trouve aussi
AT
— TT- ^^+« l-^)' JI.5— .2
formules données sans démonstration par M. Sylvesler dans le Mémoire cité (On a theoiy, etc). On peut joindre à ces relations les suivantes, qu'on vérifiera sans peine au moyen des principes ci-dessus exposés.
2,[D,(x,)D,,K)ji^j=o,
6°. Le déterminant qui figure dans le second membre de l'équation (i3) peut, quand on a égard à Téquation
se transformer dans le suivant :
lo 11... 1||
JL I 1. 2 • • • y i
( -68 ) et conséquemment , en posant
ce même déterminant ne sera autre chose que le discriminant delà fonction quadratique F. Dans le cas de (f(x)=J^ (x), ce théorème avait déjà été énoncé par M. Hermile dans soa intéressant Mémoire : Remarques sur le théorème de M, Sturm, présenté à l'Académie française le i4 février i853.
Les valeurs des résidus exprimées au moyen des racines de J^(x) = o peuvent aisément s'obtenir en considérant les mêmes résidus sous cette dernière forme. Ainsi ^ par exemple ,
To T.
{x — x,)f (.r,) (.r ^ Xr)f' {xr)
(.^--^.j/'(^.) '{x-^Xr)f{x;)
OU bien
To T.
f'{Xr)f[x,) {x — Xr){X'^X,)
I Xr
Xf Xf.
OU encore
To T.
Semblablement
ff{Xs)f(Xr) (Xf^Xry
f'(Xs)f'{Xr) {X'-^Xs){X'-Xr)
To T, T, T, T, Ta T, T3 T4
et ainsi de siiite. Le symbole S représente la somme d'autant de produits, analogues à celui qui est en évidence, qu'il
( '69 ) y a de combinaisons deux à deux, trois à trois, etc., des racines.
7°. Nous ajouterons les valeurs des résidus Tj (x), j\ (i:), Ts (x) , exprimés par les coefficients des fonctions f{x) , © (x) 5 on pourra en déduire aisément la loi de formation pour un résidu quelconque. Les expressions qui suivent sont obtenues par la méthode employée dans la recherche analogue des résidus de Sturm. En supposant m = n — i,
ou a
p^ Pi
'•^(•^)=Ts-
Pi
Oq ûi ai a^ «4 a^
o O h^ hv hi bs
o ^0 bi bi ^3 ^4
^0 bi bi bz b^ b^
o o pi Pi /?3 /?4
où
p^=z{ao^'^ + «,a: 4- a^) <p(.^) — {b^x 4- ^i)/(^),
Des équations (12') on déduirait en outre , pour 5 pair,
' ûT, Aï Aj . . . a;
^Sfi J
et pour 5 impair^
'a; A; a;... a.Li /
Quant aux A, on les calculerait comme les résidus, et l'on
trouverait
«0 û, ûfa ^3 «4
a^ Ox «2 b^ by bo bt b^
o a« at ^2 ^s
bo bi bi ^3
Des valeurs de r(x) on déduit celles de D(x), N(a:), exprimées déjà au moyen des coefficients des fonctions de ç (a:) , f(x) , et cela par la forme même du déterminant second membre de la valeur de r (x) , ainsi qu'on l'a indiqué à la fin de 3^.
Les expressions trouvées pour r(x) et A restent encore les mêmes dans le cas où m<^n — 15 il faut seulement avoir soin de remplacer par des zéros certains coefficients convenables des fonctions ç [x) , f{x).
Pavie, 10 août i854.
Remarque du Traducteur, — La formule (3) est démontrée par M. Brioschi , probablement de la manière suivante, dans le volume de l'année i854 des Annales de M. Tortolini, volume que je n'ai pas sous les yeux, la Note
qu'on vient de lire provenant d'un tirage à part :
^"^ étant la somme des produits r + 1 à r-f- 1 des racines
de f{x)=o^ on peut considérer cette somme comme obtenue en multipliant par Xs la somme des produits r à r de toutes les autres racines et joignant à cela la somme des produits r-+-i à r-H-i des mêmes autres racines. La difiërentiation par Xs fera donc disparaître cetfe seconde partie de
façon que — ^» se trouvant ainsi égal à la somme des produits /• à r de toutes les racines autres que Xs , ne sera autre
(17') chose que le coefficient de o:""'^'"* dans le quotient ^, ■ — r :
ce qui démontre la formule ( 3 ) . On aurait semblabiement
—*— Ç^ = le coefficient de jc"-''-^ dans -, ~-^ : ?
da:^ a.Tu (-^ — ^rj \^ — -^u )
et ainsi de suite.
Si f(x) =i o n'a pas de racines égales, comme on Fa supposé 5 il est clair que ^'^' = o. On pourrait d'ailleurs
former les expressions des dérivées partielles pour le cas des racines égales.
Soit (f une fonction quelconque des racines de l'équation f[x) = o •, on a
d<f ^r^ d(f dUr
dXg ^^ dor d.Vs
et, par suite,
^ clf ^ dff ^ dor
rz=n s=.n
c'est-à-dire, en représentant par s^ la somme des puissances r des racines ,
do yry d
supposant, pour plus de simplicité, ao=i, el observant que ce qui est entre parenthèses est égal, par les formules
de Newton, à. — j^a^y on aura finalement
5 = n r=zn
Cette formule est encore démontrée par M*. Brioschi dans le volume cité.
On trouve aussi de la même manière
5=1 r==i s=zi
dttr r =.1
^^T^f^-' + ^i^^'H-. . . H- ^r-2 f i -h «ûr-i ) ,
ou, à causede5r-i-4-^i^r-t-H...-har-2^i+('' — i)«r-i=o,
d.Tt dttr
nouveau résultat de M. Brioschi (même volume).
