THÉORÈME D'ALGÈBRE SUPÉRIEURE

Par m. FAURE.

{Nouvelles Annales, Mars i855.)

Si l'on divise le polynôme

par le polynôme

( '73 ) et que Ton représente le quotient par

on trouve aisément qu'un terme quelconque du quotient tel que A^ a pour valeur

a, ao

C'est ce principe bien simple qui, développé, mène à de nombreuses conséquences 5 ainsi, relativement aux fonctions symétriques , on sait que si l'on veut avoir la somme des valeurs que prend une fonction entière (f [x) dans laquelle on remplace x successivement par toutes les racines d'une équation F (o:) = o, il faut effectuer la division

— -^, V 9 et la somme que Ton demande est le coeflScîent

du terme en - du quotient.

Supposons que H {x) = P (x) (f [x) et que (p (x) soit de degré r 5 le terme A^ x"*"""''' pour lequel m — n — r = — i donnera A^ pour la fonction symétrique cherchée.

Si l'on a égard au procédé indiqué par M. Transon, on voit que la méthode précédente conduit à la détermination d'une fonction symétrique quelconque, et l'on substitue ainsi des multiplications aux divisions de M. Transon.

En particulier si l'on suppose (f {x) = i, le quotient

•^rhi donnera la somme des puissances des racines de F [x) = ù. La valeur de A^, en observant que a© = mao,

( «74 ) {m — i) «,,... , devient dans ce cas

Ar =

a, ao , . . [m — i) a, (X.2 oLy , . , [m — 2) «j

OLr a,w-i ... {m r) OLr

d'où

Ar(-a.)'-+' =

O a© O . . . O ai a, a« . . . o 2 as a, ai . . . o

Cette relation revient à celle de Brioschi, il suppose seulement Ao = i . (Voir Nous^elles Annales^ tome XIII, page 352.)

Relativement à la division numérique dans un système quelconque , on arrive à ceci : Supposez que Ton veuille diviser le nombre

53 1 2367 par 23457

écrit , par exemple , dans le système décimal ; le quotient sera de la forme

Ao 100 -H Al to -H Aj.

Or, d'après la valeur générale de A,,,

donc le quotient entier est

On voit de plus que les seuls chiffres qui servent à déter-

( '75) rainer le quotient sont 53 1 dans le dividende, 234 dans le diviseur, et généralement autant de chiffres qu'il doit y en avoir au quotient. Ainsi le quotient des deux nombres précédents revient à celui de 53ioo par 234 •

Il y a encore d'autres conséquences relatives à la valeur du reste de la division de deux polynômes , aux séries récurrentes, aux fonctions de M. Sturm, etc.