dbjK dbn^i

OU, en mettant pour -77-7 > -n — rr — v leurs valeurs tirées

'^ dbi, db^db„,^,

de la seconde (3),

[b) Pa = 2V,,, (.r— ar,)'(:c — a:,)'-h2V,.3(^— ^ij'C^—J^a)'-»-...

Si Ton fait subir à la fonction V une troisième fois l'opération Pi, c'est-à-dire si l'on forme le cube du polynôme Pi en changeant dans les dérivées les exposants en indices, et qu'on ail égard à la troisième (3), on trouvera

et généralement l'opération Pt , répétée r fois de suite , conduira à

[d) P^= 1.2.3... rV,,î,3,...r(* — ^i)'(^ — ara)...{j: — a:r)'-f-....

Actuellement, si les équations f(x) = o, ç [x) = o ont une seule racine conunune Xi , on a

( 179 ) si deux racines communes Xi , Xj ,

V = o, P,=o. P,= 2V,,,(jr~-.r,)'(u:~x,)*;

si trois racines communes a:, , Xj , Xs ,

V = o, P,= o, P.= o, P3=6V,,,,3(^ — a:,)'(j7 — 4?a)»(x — jc,)';

et généralement, pour r racines communes a*i, X|,.. ., x^, on aura

V = 0, P,= 0, Pa=0,..,, P^,=rO, P^= I .2,3. . .r V,,,,3...;.(r — X|)* {x — Xi)', , . (x — XrY»

Donc, si, daris le symbole d'opération Pj, on fait 5 = 1, les équations du premier, second , . . . , r*'"*' degré

Pi=:0, Pj = 0,..., Pr=0

auront pour racines respectivement la seule racine j:t commune aux deux équations f(x) = o, y (or) = 05 les deux seules racines communes Xi , 0:2 9 • • • ? les r seules racines communes Xi , Xt , • • • 9 x^*

Maintenant en faisant 5=1 dans l'expression de Pi , et répétant r fois celte même opération P, , on obtient

d'V d'Y Pr = — - x""— r — ^3^ x'-^ -+-...

db,n dbm c^^«-i

dbm dbm-i db,n^i

ce qui fournit la démonstration générale du théorème énoncé au commencement.

Supposons présentement que F équation y (a:) = o contienne i groupes de racines, pour le premier desquels le degré de multiplicité des racines soit t\ , pour le second Tj, . . . , pour le /**'"% r, ; et soit fait ri H- r, -|- . . . -f- r, = r. En désignant par V le discriminant de l'équation /'(x) =0,

( «8o ) et par Pi le symbole d'opération

dUn ««/i-i dHn^f+i dan-,

on aura

V = 0, P, = 0, P3=:0,..., Pr, = 0,

da'

^1 5 ^t 5 • • • ) ^« ëtant les racines qui correspondent respectivement à chacun des groupes dont on a parlé; et conséquemment , pour 5 = i , l'équation P^ = o ^ura pour racines les OTi , Xj, . . . , Xi aux degrés de multiplicité respectifs 7'i, Tj,. . ., 7\; Il va sans dire que dans la démonstration directe de ce théorème les équations que l'on rencontre et qui sont les homologues de (a), ( J), (c), (d) n'ont nullement la forme de ces dernières.

Dans le cas de 5 = n, ce théorème coïncide avec celui de M. Sylvester, relatif du discriminant d'une fonction homogène à deux variables [Philos ophical Magazine , mai iSSa). Le grand avantage de l'indétermination de s consiste dans la possibilité de déterminer les équations qui ont pour racines les racines communes ou les racines multiples \ et cela par la simple supposition de 5 = i .

Si x^= Xi = . . . = X/, c'est-à-dire si l'équation f{x) =o admet r -f- 1 fois la racine Xi , en faisant 5 = i , on aura , comme corollaire du dernier théorème ,

"r -— JT" ( X .T, j ,

dOn

et, par suite,

d'Y dOn

dair donpour l'expression de la racine multiple

L'extension de la méthode au cas de trois équations à deux variables ne présente aucune difficulté. Supposons que les équations f{x^ j-) = o, q) (x, y)=.o admettent les couples de racines communs

et soit

+ (-^, j)=«o,oJ^-4-(«.,o4-.ûf,., /).r—

une troisième équation. Si Ton fait on aura

Lors donc que le seul groupe (^15 jKi) donnera ^p (j^jj^) =05 il viendra

d'où

ce qui fait connaître Xi et y^ . De même , si les deux seul s groupes (xi , j^i), (jCt, y-i) de la suite (A) annulent ^ (a:, j^), on a

fi'y ^^ d'Y . . , (pv

et ainsi de suite.

On pourrait donner à ces résultats une forme plus générale, comme dans le cas de deux équations ^ mais la chose ne présente pas de difficulté. On pourrait aussi obtenir les conditions analogues à celles de Lagrange, pour que trois ou un plus grand nombre d'équations admettent des racines communes. Pour le cas précédent, par exemple, on aurait

dW d'Y

sim