U DIFFÉRENTIATION DES FONCTIONS DE FONCTIONS -SÉRIES

DE BURMANN, DE LAGRANGE, DE WROKSRI ;

Par m. a. . ., Ancien élève de l'École Polytechnique.

Soient les deux équations

, , , ^"2 dz d'z

on se propose de calculer -r— sans passer par —t -—,...,

- Un a

dx"-'

J=r(7).f(x), g = F(r)f'W^r'(r)<p'Hs

Ai, As, . . . , A„ étant des coefficients qui dépendent uni-

( «83 ) quement de <f (x) et nullement de la fonction F (/), comme il est facile de le montrer en prouvant que la loi , supposée vraie pour la dérivée n**'"*, le sera encore pour la dérivée

On peut donc prendre pour F (jr) une fonction quelconque de j-, ef'^ par exemple, et Ai, Aj, . . . , A„ seront les coefficients qui multiplieront pe^^ ^ p^ c^^ ^ . , . ^ p'* d'^ dans

l'expression de ' qu'il s'agit conséqucmment de trouver. Observons , à cet effet , que = '- est le coef-

^ 1.2.3.../Z dXn

ficient de A" dans le développement de e/'f^^"*"*) suivant les puissances de A. Or

e e me ''^

En développant e , e "^'^, . . . , et etiectuant le pro-

duit, on aura pour terme général

w(r)r^ rfwi'"'

I 2.3*.. ntn

par conséquent, si Ton pose

w, 4- 2//?a -f- S/Wa H-. . .-h nmn = /?,

le eoefficient de /i" sera