A» ' " * ' dh

et qu^on ajoute les résultats, on obtiendra

\ dy' "^ ' dx^ 1 dh dx""-'

l 1.2 dh^ daf^-""

Ln effet , en désignant par ^ ^ . r- G le

coefficient de ^__^ dans la somme des produits ci-dessus,

on aura

^ ^" rM- ^^ ^i r//i ^A»»-

ou bien

. ^ '' ^A"» "^7 dh dh'--' ^"'

' ^(6-"). </'"-'( fl"-"). (w— rf'(e-")„ </"-' (9—-).

dh d/tr-> "^ I dh' dh"-' "^ " '

d-lg-n)

L dh' -J LrfA"-'\ rf^ JJ

( '89 ) OU enfin

ce qui rend manifeste Texactitude de l'équalion (2). Si l'on observe qu'on a, en général ,

dr'Y [x) __ d'^Y {x -k- h), dar \ ÏM^» '

et qu'on pose

Féqualion (2) pourra s'écrire, plus brièvement ,

On déduit de cette dernière équation une démonstration très-simple et très-directe de la série de Burmann.

Soit, en effet, x une fonction de y donnée par l'équation y=, ç(a:). En renaplaçant, dans la fonction F(a:), xpar sa valeur en y censée déduite de cette équation , et supposant que F (a?) devienne alors une fonction continue de y^ le théorème de Taylor donnera un développement de la forme

Differentiaut n fois cette série et ayant soin, de faire y =^0 après les différentiations, on aura, sous cette dernière condition ,

A '—— — î— ^"^(-^^ i . 2 . 3 . . /2 dy^

OU bien , en ayant égard à Téqualion (3) et désignant par a

( 'Qo ) la valeur de x, qui répond à j = o,

OU , si l'on veut ,

Nous ne nous préoccupons pas ici de la question de savoir sous quelles conditions celte série de Burmann peut exister.

Quand on fait

X — a l'équation (4) devient

et Ton retrouve la série de Lagrange

propre à représenter une fonction F {x) de la racine de l'équation

qui se réduit à a pour j- = o.

Dans l'équation (2), faisons successivement z ==j^,

y^v»'? J"? et désignons, pour abréger, J^ par D'*y(x),

( '9» ) nous obtiendrons les identités

= (e-»).D>(x)+llli fî^'D-,(.,

Ces identités font voir que si l'on a les équations

D^(p(J:).7.-f-D^y(^)^J, 4-...+ DV(p(ar;«.^„ = D'.F(.r), • • • >

D'^^(p(^)./,^-D«--^y(x)^Jr.-^-...4-D»-'.(p(ar)^7„ = D»-'.F(a:),

et qu'on les multiplie respectivement par

on trouvera

1 .2.3.. . «/„ = (9-"),D».F(.r)4- IZli ^^^' . D'r-'. F(x) -+- . ..

Mais les équations ( A ) , résolues à la manière ordinaire,

donnent

2[±D'.y(jr)D'.y(ar^..D"~'.y(3:)»-'D".F(j?)]

les déterminants étant formés par rapport au:x indices de différentiation. En égalant ces deux valeurs de j^„, on aura