APERÇU SUCCINCT

SUR

LES HTPERDÉTERMINANTS ET LES INVARUNTS;

Par le TRADUCTEÏ31L

Considérons un système de n fonctions algébriques , entières, etc.,

(f) /•> yà, • • • > fn

des variables o^, y, • • • ? -^ en nombre quelconque-, et soit y une nouvelle fonction des mêmes variables, dont les coefficients dépendent, suivant de ceruines lois, de ceux des proposées. Remplaçons, dans les fonctions (/),

X par a Jc 4- vfy -4- . . • + «^'^ «,

. y r par px + P'/h + p('^ «,

z par y^-f-y'T' -t-. . .-4- 7^'^a, ce qui les transforme dans

Formons/une fonction 4>, composée à Tégard des fonctions

( '94 ) (y') absolument de la même manière que y est composée à regard des fonctions (f)j eit sorte que $ est ce que devient 9 quand , dans cette dernière fonction , on met en lieu et place des coefficients des fonctions (f) les coefficients correspondants des fonctions (f^)» Ces points entendus, s'il arrive que la fonction O) soit d'une forme telle, qu'en la soumettant à la substitution (a) elle reprodiiise précisément la fonction 4> [à un faiCieuT ' niimériçue près (*)], cette fonction (f constitue dans ce cas ce que M. Cayley, à qui la conception en est due, a nommé une fonction hyperdéterminante on un hjperdéterminant relatif au système [f). En* résumé, les hyperdéterminants sont des fonctions tellement composées à l'égard d'un système donné, que les fonctions hoinologiies, relatives au système linéaîreinent transformé, sont les transformées des premières suivant la même substitution.

Par exemple, supposons que le système [f) se réduise à Ta seule fonction

et prenons

ç = ( 6' — ac) a:' 4- (hc — ad") xjr + (c' — bd) y^, La substitution x = x -^ ody^ y =y transforme f dans

où

a'=:ay y^zb-i-ac/, c' z=: c -\' ibaf -^ aoL^^ </'==€/-+- 3ca'+ 3^ a' 2+ aa!\

La fonction 4>, déduite de/' de la même manière que ç

{^) n faut entendre par ce facteur numérique un facteur uniquement dépendant des éléments «j «')•••» de la substitution. Je n'en parlerai pas dans ce qui suit.

( 195) • de y, c'est-à-Kiipe

devient , d'après les valeurs précédentes de a', b\ d^ d\

<& = (^' — ac^x^ '\- bc — ad

H- 2 (A»— ac)a'

xf -{-c^ — bd -|-{^c — ad)oL'

Or, si l'on soumet tp à la substitution x = x -\- a! y^ y =Jj on trouve précisément cette deinière fonction 4> 5 et comme les mêmes circonstances se reproduiraient pour la substitution tout à fait générale x = a.r + o! y^y = ^o: -4- jS'y, il en résulte que ç est un hyperdéterminant de f. On suppose ordinairement que le déterminant

qu'on nomme le module de la substitution (a), est égal à Funité, et dans ce cas la substitution est dite unimodulaire. Si ce module était quelconque, la substitution (a), introduite dans Thyperdéterminant ç, reproduirait 4> multipliée par une certaine puissance du module, les fonctions [f) étant toutefois supposées homogènes.

Considérons, avec M. Sylvester, la substitution {a) et la substitution

X = a.r 4- 2J y H-*. . . -H a(') « j = bx H- b'j -h ... -h b^*) z

ZT=: ex -h-c' J -+- . . . -h C(') Z

Ces deux substitutions étant supposées unimodulaires ^ supposons d'autre part que chaque élément de la seconde soit égal à ce que devient le déterminant M de la première

quand on remplace, dans ce déterminanl, rélément correspondant à celui que Ton considère par l'unité, et par des zéros tous les éléments situés dans la même ligne et dans la même colonne que celui qu'on vient de réduire à l'unité : en sorte que , par exemple ,

ftC).

yC)

Tous les éléments du système (a) étant ainsi liés aux éléments du système (a), on vérifie aisément que les relations inverses ont également lieu , de façon que , par exemple ,

a o a". . . av')

CGC

Deux substitutions , soumises à cette réciprocité , ont été nommées par M. Syl veste r substitutions complémentaires ou réciproques.

Cette notion établie, et pour revenir aux métamorphoses des fonctions, reportons-nous aux fonctions [f) et, admettant toujours que la substitution unimodulaire (a) les a changées dans (f) , composons encore , d'après une même loi, les deux fonctions ^ et 4>, l'une sur le système (y), l'autre sur le système (/*'). Nous pourrons maintenant nous demander que la fonction y se transforme dans 4>, non plus par la substitution primitive (^), mais par la substitution réciproque (a). Et ce double mode de réduction donnera naissance à deux espèces généralement distinctes de fonctions : les unes, déjà considérées, seront les hyperdéterminantsou, d'après M. Sylvester, les co\^ariants ; les autres,

par opposition , reçoivent du mèiïie auteur le nom de €011-tras'ariants.

Comme on est généralement le maître d'imposer une substitution linéaire à une partie seulement des variables qui entrent dans une fonction et d'appliquer une substitution différente à une autre partie de ces variables, et ainsi de suite, le système (/^), soumis simultanément à ces substitutions linéaires fractionnées , se transformera toujours dans un autre (/') \ mais pour passer de la fonction (p à la fonction 4>, formée sur (Z^) comme ç Test sur (Z^), on pourra, à chacune des substitutions partielles, adjoindre une substitution semblable ou une substitution complémentaire. Donc y sera relativement au système \f) co variant pour une partie des variables et conlravariànl pour une autre partie (*).

Lorsque la fonction (p ne dépend uniquement que des coefficients des fonctions (/^), la distinction entre les covarîantsret les contravarianls s'évanouit, et ces deux espèces de fonctions vont se fondre dans une espèce-limite qui , ne donnant plus de prise à la substitution, acquiert la remarquable propriété de rester identique à elle-même quand on la compose sur le système (/) ou sur le système transformé (/'). En considération de cette propriété, les fonctions qui la possèdent ont reçu le nom caractéristique X ùwariants .

Ainsi , pour mettre la définition en lumière et sans égard pour la répétition, les invariants sont des fonctions des coefficients d'un système primitif donné qui se réduisent d'elles-mêmes à leur expression primitive lorsqu'on essaye de remplacer ces coefficients par les coefficients homologues relatifs au système uni-linéai rement transformé.

(*) M. Sylvester a reconnu depuis que les contravarianls no différaient pas des covariants.

( igS)

Réduisons, par exemple, le système à la fonction unique et simple

Par la substitution unimodulaire

elle devient

/' = a' X- 4- 2 ^'^7 -hc' j^

Et si Ton forme avec les coefficients de /^la fonction

avec ceux de^^ la fonction analogue i'* — al d ^ on trouve, en vertu de a', i', c' en a, t, c, a, jS, . . . ,

La fonction &* — ac est donc un invariant de f.

On rencontre un invariant dans le dernier terme dç^ l'équation aux différences des racines d'une équation donnée f(x^ y^ = o. Car par la substitution x = x — ky^ toutes les racines se trouvant augmentées d'une même quantité, leurs différences ne sont pas altérées, et il en est, par suite, de même des coefficients de l'équation aux différences, qui sont des fonctions symétriques de ces différences, et s'expriment d'ailleurs par les coefficients de la proposée : mais le dernier coefficient reste seul inaltéré par les substitutions qui affectent y.

Une fonction quelconque d'un certain nombre d'invariants est évidemment elle-même un invariant pour le système considéré. Les invariants qui ne peuvent pas s'exprimer sous forme rationnelle les uns par les autres sont appelés invariants fondamentaux.

Les invariants sont astreints à vérifier certaines équa-

(^99) lions aux différences partielles, qui sont une conséquence

immédiate de leur définition , et constituent à leur tour les bases de leur entière détermination. Considérons spécialement le cas où le système primitif se réduit à la fonction homogène à deux variables du degré n

^0 9 ^17 • • • étant ce qu'on nomme les coefficients. La substitution unimodulaire

x=: X '\"ny^ y=jr la transforme dans

ou

a^ = fl, 4- flo>j,

«'j =: rtj 4- 2 «, n H- //u y}

a' = «„ 4- /»«„! »î 4- . . . 4- «fifi i"~' 4- ^'o >ï".

Un invariant quelconque ç relatif à f devant resler indépendant de y? quand on y remplace a©, «i^..., a„ par a, , a , , . . . , a„ , on peut égaler à zéro sa dérivée par rapport à fï après cette substitution, et l'équation ainsi obtenue suffit pour établir Tindépendançe dont il s'agit. Or

on a

</<p yi dff da.

dn ^— < da\ dn

c'est-à-dire

et comme la composition de f en a, , a, , . • .^ a„ doit être parfaitement la même <[u'en ao, ^i, . . . , ^m et que ces dernières quantités sont tout à fait quelconques , rien n'empêche de supprimer les accents , et d'écrire en conséquence

doi

Au reste , si cette suppression d'accents paraissait quelque peu illicite , on lèvecait toute espèce de doute à cet égard en observant que la iransfonnation inverse x = x-r,j, jr=:jr devant ramener f^ à fy on aurait, en changeant yj en — >j dans Texpression ci-dessus de a] ,

et^ par suite ,

d <f ^c^ d<f dOi djï jid dOi dn

Si , au lieu de la substitution x = x -{- mj^ y = J^> on eût pris j: = x, y'==y + y7x, ce qui revient à écrire en ordre inverse la fonction /", à échanger l'un dans l'autre x et j^, et à faire la première substitution , on eût trouvé évidem-

ment

u) 2 '""-'-' dz-.. = °-

Une fonction <f satisfaisant aux deux équations (/) et (/) jouira de la propriété de rester invariable par les deux substitutions successives

et conséquemment par la substitution résultante unîmodulaire

d'où, par répétition, on conclura à l'invariabilité de la fonction y pour une substitution unimodulaîre quelconque. Par où l'on voit que les deux équations diflférenlielles précédentes caractérisent complètement les invariants et sont parfaitement suffisantes pour leur entière détermination. M. Cayley a prouvé, dans un travail, sans doute actuellement publié, qu'une seule équation différentielle, jointe à la condition d'homogénéité, est tout à fait propre à remplacer les deux équations dont il s'agît (*).

En se fondant sur le résultat précédent, il serait facile de former les équations différentielles que doivent vérifier les invariants pour une fonction de plus de deux variables. Il suffirait d'écrire la fonction donnée sous la forme d'une

(*) La méthode que j'ai suivie pour établir les équations différentiel les ci-dessus coïncide à son début avec celle qu'a employée M. Sylvester {The Cambridge and Dublin, etc., 1862. Sur le Calcul des Formes, sect. IV), en ce sens que j'emploie la même substitution y =. y, x = x -h riy. Mais à partir de là le procédé de la différentiation que je substitue à un certain déveluppemeiit par la formule de Taylor, me parait beaucoup plus simple^ sinon plus satisfaisant. , •

somme de polynômes homogènes en x et. y , de degrés décroissants de n à o, multipliés par les puissances et produits des autres variables propres à rétablir Fhomogénéité dans chaque groupe ^ car, comme la substitution simple jr=z y^ x = x-h Y)y permettrait alors d'avoir, par ce qui précède et pour chaque groupe , les coefficients de la fonction transformée, le procédé de différentiation par rapport à yj s'appliquerait avec le même succès et conduirait à deux premières équations différentielles. Puis une autre substitution, telle que z = z-hiny^ y^^y> j^^î^ite à un autre groupement des termes du polynôme, fournirait deux autres équations, et ainsi de suite. On passerait ensuite sans peine au cas général d'un système quelconque de fonctions homogènes. Mais je dois me borner ici à ces simples indications, mon but ayant été dès Tabord de donner uniquement les notions, en quelque sorte rudimentaires, qui se trouvent à l'origine d'une vaste et féconde théorie qu'enrichissent et étendent tous les jours les travaux de MM. Cayley, Sylvesler, Hermite, etc. On trouvera dans le tome XXX du Journal de Crelle le remarquable Mémoire où M. Cayley pose les fon- .déments de cette^rande théorie, et la lecture du Calcul des Formes de M. Sylvester (*) achèvera de faire comprendre tout ce qu'elle offre de ressources aux esprits investigateurs (**).

(*) The Cambridge and Dublin Mathematical Journal, i853.

(**) Depuis que ceci a été remis pour l'impressioD, M. Cayley a publié dans les Transactions Philosophiques (l854' i856) trois magnifiques Mémoires sur la théorie dont il s^agit. MM. Hermite et Sylvester sont, de leur côté^ arrivés à d^importauts résultats consignés dans le QuarterljT'B.eview que je n'ai pas présentement sous les yeux.

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NOTE DE L'AUTEUR

SUR

UNE PROPRIÉTÉ NS INYARUNTS ET SUR tUELaUE» FORMULES