LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES
1 . Dans le tome XX Vil du Journal de Crelle (p. io5 ), M. Eisensteiu a signalé la relation suivante :
^'^ I =rA;AÎ-6AeA,A,A5 + 4A,A;4-4AÎAa-3A;AÎ,
où
Ao = a,aJ — 3ai«2as-H 2^;,
A, = — ao«2«s4-2flJ «3 — ûi^î,
Aj =— aofli ^ij-l- 2,a\ay — a\ a,,
A3= a! «3 3 /lo <7, âTj -h 2rtf .
Si l'on fait
u=z ala\ — 6^0 Al 03^3 4- 4 ^«^s "^ 4^î^3 — 3aJ «5, les dernières relations reviennent à
j^ I cfa 1 du i du i du
Ao— "-~7~> A| — ^ -- — ) Aj — 3"T~> A3 = — - — • 2 dOo O a^l| D r/^a 2 <m3
L'expression u est le discriminant bien connu de la fonction homogène du troisième degré
(2) a«x\-i-3ûr,x'j^-|- 3«2a?7'4-«»j^;
et si Ton désigne par U le discriminant de
, ^ . du du , du du
^ ' da, da^ "^ da, *^ da^ -^ '
réquation (i) pourra s'écrire
M. Sylvester a appelé l'expression (3) Véi^ectant du discriminant de la fonction (2), et généralement, si l'on considère la fonction homogène du /i**"** degré
et qu^on représente par (f un invariant quelconque de cette même fonction , il nomme évectant de cet invariant Fexpression suivante :
dfD d(o do , . do
da^ doy " da^ dOn
Cela posé, la relation d'Eisenstein peut être démontrée et généralisée au moyen de ce théorème :
Si l'on considère Tévectant d'un invariant quelconque d'une fonction homogène du 71**"** degré, tout invariant de cet évectant sera une fonction algébrique, entière, rationnelle des invariants de la fonction homogène considérée.
Cette proposition pourrait se déduire de l'importante loi de réciprocité de M. Sylvester (*) 5 mais il ne sera peutêtre pas inutile de l'établir directement comme il suit :
Un invariant quelconque 9 de la fonction (4) doit, comme on sait, satisfaire aux deux équations
(5) ^rUr^^ gr=0, ^ (/g -, r H- 1) ^r «r-i = Q i
do
oùa^ = -~-; et pareillement un invariant^ de l'évectant
(*) The Cambridge and Dublin Mathematical Journal ^ november i85'2. — On the principles qf the calculas qf Forms, sect. IV.
de rînvariant ç, c'est-à-dire un invariant ip de
ao .r" -h a, x*"' J^ -h /I2 af*^^ j' -f • • . • -h «n /" sera déterminé par les deux équations
L'invariant ^ sera' évidemment une fonction algébrique , entière et rationnelle des coefficients ûq? ^d • • • 5 ^n? et l'on aura
s = n d"^ f^ d^ doLs
dor ^f^da, dOr
Par suite , en observant que -j^ = -j — ~- = -t—'^î il viendra
dor das dor da.
Mais la première équation (5), différentiée par rapport à «, , donne
donc , en observant que «„+i n'existe pas ,
c'est-à-dire, d'après la deuxième équation (6),
et Ton trouverait de la même manière
r =in
Ces deux équations démontrent que ^ est un invariant de la fonction (4), ou, en général, une fonction algébrique, entière , rationnelle des invariants de cette même fonction.
Si l'invariant y est du m'*"*'' degré , et que l'on suppose ip du degré r par rapport aux coefficients de l'évectant, t|/ sera du. degré r[m — i) par rapport aux coefficients de la fonction.
Dans le cas où la fonction est du troisième degré, son uni(jue invariant %st le discriminant w^ conséquemment le discriminant U de l'évectant de u (lequel discriminant, d'après ce qui vient d'être dit, sera du degré 4*3) devra être égal à une fonction algébrique, entière, rationnelle du degré de w, c'est-à-dire on devra avoir
U = hu\
h étant un coefficient numérique qui, comme on l'a vu, est égal à i6.
Pour la fonction homogène du quatrième degré
«o-^* + 4^i^*r + 6«jx'/'-H4«3^r'4-«4 j% .
on a l'invariant quadratique
l'invariant cubique
Y3 = «0 «2 «4 + 2 fl, a 2 ^3 — «0 a\ — a^a\'— a\y
et le discriminant
(7) d = yî-27y;.
( 207 ) Représentons par E, , Ej, Ee les évectants correspondainls à ces trois invariants, et par Yj (Es), Yj (EjjjYj (E,), .. . les invariants quadratiques, cubiques, etc., des évectants
M~J% , Il»8 , . • « •
En prenant, par exemple, la forme Yj (Ee), évidemment . du quinzième degré, on aura, d'après le théorème précédent,
y3(Ee) = /y;Y3 + mYjy; + /iY;;
et ^ur Y, (Es), du quatrième degré, on aura aussi
/, m, n, p étant des coefficients numériques. Ces coefficients , pour la fonction homogène du quatrième degré , se déterminent facilement, et l'on obtient les relations
Ya(EO = Y„ Y,{E,) = ^Y\,
Y,(Ee) = 9Y;(Yl~.27Y;) = 9Y^D.
On trouve semblablement
Y3(E0 = Y3, Y3(E0 = ^(54Y;-Yn, Y3(Ee)=-54Y3D% et enfin
* ■d(eo = d, d(E3) = y;(E3)-27Yî(E3)=:j^y;d,
D(Ee) = Y;(E0-27Y;(E0 = 729(Y;~54YÎ)D».
La dernière de ces relations est pour les fonctions du quatrième degré l'analogue de la relation (i) pour les formes du troisième degré.
Des équations
