X-tJ-tZi
Ci:i bi Ci
^i bi C3
XzX^ *3
XiX^^^
^1 Ji a.
JPl /l «1
Xx Xx 2,
Qx bx Cx
Qx bx Cx
ttg *2 C2
Xx Xx Zx
j?i .ri «1
.^2 . "^3 JTS
1 1 on suppose que — 9 — *, — ? — '. — •» — sont les coor-
^^ ^ Z, 2| Z% Zi Zi Z3
données de trois points A, B, C, et -^^ —5 etc., «elles de
trois autres points a^b^c^ les équations pi^cédenles équivalent à la propriété géométrique
kliQ.abc = kCa.Bbc-^ kCb.Bac -hACcB/ïà,
o = ACfl.A^4-AC^.AéK:-f-ACc.Aaô,
ABC, abc, etc., désignant les aires des triangles ABC, abc, etc.
S V- — Déterminants à éléments réciproques ou déterminants de déterminants.
En représentant par P le déterminant
et faisant, pour abr^er , a,„ = - , on nomme déterminant
à éléments réciproques correspondant au déterminant P 1^ déterminant suivant :
On sait (§ m) qu'antre les éléments du déterminant Pe^ ceux du déterminant S , il existe les relations
par conséquent, en multipliant entre eux les déterminants P, S, on aura
d'où
Si dans la seconde des équations (42) on pose s = 1^ 2,..., /», on obtient n équations , d'où l'on peut déduire les valeurs a^^i, a^,,. . .a^,„. On trouve sans difficulté
et, par suite, d'après l'équation (43),
P^'ar,.=
dS
En désignant par T, V les déterminant^ à éléments réciproques correspondants aux déterminants Q, R (28), (agj, on aura
et, par suite j d'après l'équation (3o),
c'est-à-dire , le produit des déterminants à éléments récî-« proques correspondants à deux déterminants P, Q, est égal au déterminant à éléments réciproques correspondant au déterminant R produit de P et de Q,
^applications.
Considérons les équations (20) et désignons par •a^r,i • ^r,î I • . . : Xr^n Ics valcurs des rapports Xi : Xj : . .. : x^ que l'on déduit des « — i équations qui restent quand on eîfclut la r**"»*. Nous aurons
En substituant ces valeurs dans le déterminant
on aura
fl = ±X.P''-',
X étant une indéterminée. Si l'on suppose Xr,s =19 il en résulte
Au moyen de ces formules on peut résoudre les deux problèmes suivants : i*^ trouver Taire d'un triangle connaissant les équations des côtés; 2** trouver le volume d'un tétraèdre étant données les équations des faces.
Les équations (43), (44) et l'équation (i4) trouvée au §in appartiennent à une série de relations qui existent entre les déterminants de déterminants, et que Ton peut déduire de deux formules générales ^ ainsi que nous allons le démontrer.
Considérons les deux groupes d'équations (16), (17), et écrivons de la manière suivante i-hi équations consécutives quelconques prises dans le premier de ces groupes :
— {ar,i J?, -f- . • . -h ar,s-~i J^s-i -h ffr.
^— (^r-*-l,l«^i*+'"«"4"^r-*-i,*— i -^j— rH"^r-»-i,u+-« «^b+iH^
• • "T* ttf.n ^«)>
où
tt =r J -f- /, (> = /•-+•/.
En désignant par P^,,„ le déterminant
f^v,s f^v,s-\-\ ' *^VjU—i ^«,m
(43 ) et tirant des équations précédentes la valeur deXuy on établit aisément l'équation
= Wr
rfP.,u
rfP
dP^u
dar,u ' '' dOr^y^u ' ' àa^,u
Ecrivons maintenant de la manière suivante n — «équations convenablement choisies parmi celles du groupe (17):
Par, — (a^,, Hr-h» > .-i-a^-.,,i «,,,),
=^ PX^-I ( «r,*— 1 «^r-h • • . -H OC,r i,i-.| «»— I ) ,
En tirant de ces équations la valeur de n^ , on obtiendra sans difficulté
Sr.u U,
>r4.|,u Wr-t-1
dSf,u
««^,1 "a.»,*— 1 "«f.tt
où Ton a fait
1,1 . . .QLr—\,\ ^m.,\ ^+1,1 • ♦ •*«,!.
CC;.„I,2 a^j^j Ûf|»4.l/i . • .ûtn.î
i,/i • . .«r — 1,« ^mfH «f-Hi,« •••*«,«
Observons que les valeurs x„ déduites des équations (4^)9 (4^) doivent nécessairement coïncider^ puisque au moyen des équations (16) on ne peut exprimer que d'une . seule manière la valeur de x„, en fonction des quantités oTi,..., a:,i, ji,^.!,..., Xn\ i/rj w^i,..., u^ en nombre /ï. Daprès cela , en galant les coefficients de u^^a (a^étant on quelconque des nombres de la série o^ i . . .i) dans les deux valeurs de Xn dont il s'agit , on obtiendra Féquation
On en déduit, en supposant az=z i^
et comme
dct^,^ da^^^
on aura
et, par suite,
Si dans cette formule on fait r =: 5 = i» on trouve celle qu'ont fait connaître MM. Jacobi et Spottiswoode.
Il est évident qu'on pourra obtenir une seconde formule analogue à (4?) en soumettant à l'opération ci-dessus indiquée i-h I équations consécutives quelconques du groupe (i 7) et n — I équations convenablement choisies parmi celles du groupe (16). On arrivera ainsi à la relation
dims laquelle
dtt^,9 da^^^
OCi.r-f-i • •*«— I,r-n Of«,r-f-i
flfs,i
Ôn,\ . • Ûa^r-l «»ii,« ^
niR
et en observant que
<^Sit,r c ^^ — D
-7 Otf— i,r— I > -J- ru4.|,v-H »
on atlrâ
Si dans (48) on pose / == o , et , par suite , i^ 2= r> m: et qu'on fasse attention que
il en résultera
formule qui comprend comme cas particulier tant Téqua-tion (43) qui s'en déduit en posant r =2 5 = 1, que l'équation (44) qui en résulte en supposant c = i.
Pareillement si dans l'équation ( 5o) on fait i = o et qu'on observe que
il vient
formule qui r^roduit l'équation (i4) quand c = 24 Applicalions , I®. Soit représentée par
(•) Les équations P^,,,, = »» 5,i,,
l'inspection des identités
, = I résultent immédiatement de
=i etc.
(/7^ , = a^^r) une forme quadratique de n variables. Observons que le déterminant P est le discriminant de la fonction U, c'est-à-dire le premier membre de Téqualion que produit Télimination des variables Xi^ x^^, , ,x„ entre les équations
dV
dV
dXi dx-i dxn
La fortne quadratique à n vaidables
dP dans laquelle ar,f = ;7 — ? se nomme la forme réciproque de
U. On voit sans peine que la fonction V peut se représenter de la manière suivante par un déterminant :
«j,i ^i,i» • *^7,n *2 «n,i «11.2 • • *On,n ^n
et la réciprocité entre les fonctions U et V devient complètement manifeste quand on fait attention qu'en vertu de l'équation (44) la fonction U peut se mettre sous la forme
Supposons
JC\ Xi * . a «^ o
Je dis que dans ce cas on aura (55) v = — P.U.
( 47 ) Pour le démontrer, rappelons (page 5) que si aux éléments de la dernière colonne du déterminant V on ajoute respectivement ceux de l'avant* dernière multipliés par — Xn 5 puis ceux de F antépénultième multipliés par — x„i , et ainsi de suite, la valeur du déterminant n'est pas altérée^ mais en elTectuanl cette opération, le déterminant V, à cause de (5i), (54 )> se transforme dans le suivant :
Oy,x «1,2. . .fi^i.n O '(lx,\ Oi,2' •^•j,n O
Donc l'équation (55 ) est réellement vrafe.
L'équation U = o , pour n = i ou n = 4 représente une conique ou une surface du second ordre : dans chacun de ces cas l'équation V = o représentera la polaire réciproque correspondante .
Les formules précédentes sont d'un grand usage dans la théorie des polaires réciproques et dans d'autres questions géométriques relatives aux lignes et aux surfaces du second ordre. La formule (55) peut conduire à la solution de ce problème : Étant données Véquation cCune conique et les coordonnées d*un point situé dans son plan, établir un critérium qui permette de dire si le point est intérieur ou extérieur à la conique.
Puisqu'un point est dit extérieur ou intérieur à une conique suivant qu'on peut ou non de ce point mener deux tangentes réelles à la conique, le critérium cherché résultera de la réalité ou de la non-réalité des coordonnées des points d'intersection de la conique avec la polaire du point donné. En conservant les dénominations de l'application i^ du § IV, on trouve facilement que la condition à vérifier pour que les rapports x\y\z des coordonnées de Tinter-
(48) section de la conique (f(x,y^x)=o avec la polaire du point (xo, jo, ^o) soient réels, est la suivante :
où l'on a fait
a h f Xx h h e y^ f e c Zx
Xi yx Zx o
Zx =/r, -4- ey^ -+- cz^.
En vertu de (55) ^ le critérium cherché sera dond
a hf
t(*oi Jo, «•)
Ainsi le point sera eictérieur ou intérieur, suivant que le^ deux facteurs du premier membre auront des signes contraires ou des signes semblables. Remarquons que le premier de ces facteurs s'annule quand le point est situé sur la conique; et le second quand la conique se réduit à un système de droites.
jP. Considérons le déterminant
«n,i ^n,i* • '^litn *n ^n OLx <X.i • .. • a» OC p Zx Zi » • .Zn y
la formule (i4) donnera
d'B. dB dR
dU dfL
$9idS dy. d§ rfp f/7
ou 5 en conservant les notations de Tapplication i*^ et supposant a^,,= a,,^, ar=p = y = ^ = o,
