HP = VL — M

relation dans laquelle

fiC| OC]'

Soit A^j, une quantité liée à a^^, par la relation

et désignons par Pj , L, , Vi , Mj , Hi les déterminants que Ton obtient en introduisant dans les déterminants P, L, V, M, H les éléments A^^, à la place des éléments «i^,,. En invoquant le principe d'après lequel la valeur d'un déterminant n'est pas changée quand on ajoute respectivement aux éléments d'une ligne ou d'une colonne les éléments d'une autre ligne ou d'une autre colonne multipliés par une même quantité, on arrive facilement à la démonstration des équations

Maintenant observons que le déterminant peut s'écrire

«1,1 û|,2» . • Ot,n 2| a,

«2,1 «2,3 • • • «2,11 ^2 Ût2

«n,t «n,2. » • «B,n *» ^n Z, 2] . • • Zf^ O O

et, par conséquent, en ajoutant aux éléments de la prc^

mière colonne ceux de la dernière multipliés par «i, aui éléments de la seconde colonne ceux de la dernière multipliés par as , et ainsi de suite, diaprés le principe ci-dessus rappelé, on aura

A|,i A|^j • , . A|,,i Zi ffi Aj,! Aj,j . . . Aj,n Zj 013

c'est-à-dire

Aw,i An,3 • • • An^n Zn Otn Z, Zj. . . Zn 00 OLi fiCj* • > <Xn O t

De même le déterminant P peut s'écrire

et , en exécutant l'opération indiquée plus haut, on aura

Ces yaleurs de L et de H, substituées dans l'équation (56), donnent

(57) M' = PV, — VP,.

Nous avons appelé la fonction V réciproque de U ; il est clair que Vi sera réciproque de la forme quadratique

U -h («i «I -1- aj X2 -+- . . . H-a„x„)'.

Si l'on suppose 71 = 3 , les équations

U = o , U H- a, or, -f- aj jr, -h «3 ^3 = o ,

représentent deux coniques ayant un double contact , et les

équations

appartiennent aux polaires réciproques correspondantes.

Maintenant, d'après (57), Vj =o peut se mettre sous la

forme

ce qui fait voir que les deux polaires réciproques ont un double contact et que la corde de contact est la droite représentée par l'équation

Un théorème analogue a lieu pour les surfaces du second ordre (*).

§ Vn. — Propriétés des déterminants mineurs.

On nomme déterminant mineur d'un déterminant com-

plet

02,\ <Ij,a . . . <ia,j

le déterminant que l'on obtient en supprimant dans le déterminant complet un nombre quelconque de lignes et de colonnes. L'ordre du déterminant mineur est déterminé par le nombre de rolonnes et de ligues que l'on supprime ; c'est ainsi que

t,rt-~m

^11—111,1 ^n — m,t • • • ^n~-in,n~-i

("*) Crellk, Journal, etc.| Band 3i.

est un déterminant mineur de l'ordre m. Si les éléments principaux du déterminant mineur ont chacun le premier et le second indice identiques , comme cela a lieu pour le déterminant (58), le déterminant mineur se nomme principal. Pour représenter par un symbole cette espèce de déterminants, considérons les déterminants mineurs d'ordre jrpième j^ déterminant P. Soit

n(n — i)... (n — iw-f-i>

le nombre des combinaisons m k m des indices i, 2,..., n. Ecrivons ces combinaisons les unes à la suite des autres d'après une loi déterminée , par exemple en commençant par celle dans laquelle le produit des indices est le plus petit, et plaçant successivement celles où le produit des mêmes indices va en augmentant. A ces combinaisons ainsi distribuées faisons correspondre les nombres

Soient r, s deux quelconques de ces derniers nombres ; si dans le déterminant P on supprime tous les éléments qui ont leur premier indice compris dans la combinaison r, et leur second indice compris dans la combinaison s, les éléments restants formeront un déterminant mineur de l'ordre m. Nous représenterons ce déterminant mineur par le symbole ^'"^P^,, et conséquemment par ^""^Vr^r le déterminant principal du m*^"** ordre. Il est évident que le nombre des déterminants mineurs du m**"*' ordre est en général égal au carré du nombre u. On pourra donc, avec ces déterminants , former le déterminant

(«)P,^, wp.^, . . . («)p,^„

Ces déterminants de déterminants mineui»^ considérés pour la première fois par M. Cauchy (*), ont reçu du même auteur le nom de déterminants dérii^és du déterminant P.

On nomme déterminant complémentaire du déterminant mineur ^'"^Pr,^ le déterminant mineur de l'ordre [n — ni) que l'on déduit du déterminant P en effaçant dans ce dernier tous les éléments à l'exception de ceux qui ont leur premier indice compris dans la combinaison r et leur second indice compris dans la combinaison s. Ce déterminant complémentaire peut se représenter par le symbole (n-m)p^^^^^^ et le déterminant complémentaire du déterminant (58) serait

OÙ « — mz=zif,he déterminant dérivé des déterminants qui sont complémentaires de ceux constituant le déterminant <"*)S„ peut être représenté par le symbole ^""'"^Su*, et les déterminants ^'"^S„, ^"~'"^S„ se nomment déterminants dérivés complémentaires .

En se rappelant la règle pour la formation des déterminants exposée au § III ( page 1 1 ) , on s'assurera facilement de l'exactitude des deux équations