CC

c’est-à-dire

De mente le déterminant P peut s’écrire

et , en exécutant l’opération indiquée plus haut, on aura

Ces valeurs de L et de H, substituées dans l’équation (56) , donnent

(57) M*=PV, — VP,.

Nous avons appelé la fonction V réciproque de U ; il est clair que V, sera réciproque de la forme quadratique

U -f- (a, x, -+■ a 2 Xi -f- . . . -t-a„ x,,) 3 .

Si l'on suppose n = 3 , les équations

représentent deux coniques ayant un double contact , et les équations

appartiennent aux polaires réciproques correspondantes. Maintenant, d’après (5y), V, = o peut se mettre sous la forme

ce qui fait voir que les deux polaires réciproques ont un double contact et que la corde de contact est la droite représentée par l’équation

Un théorème analogue a lieu pour les surfaces du second ordre (*).

§ VII. — Propriétés des déterminants mineurs.

On nomme déterminant mineur d’un déterminant cornplet

ri n 1 1 Un,i • • • &n,n

le déterminant que l’on obtient en supprimant dans le déterminant complet un nombre quelconque de lignes et de colonnes. L’ordre du déterminant mineur est déterminé par le nombre de colonnes et de lignes que l’on supprime; c’est ainsi que

fl l,3 ' • •

Ui, 7 • • •

Ui,n—m

Un — m,

Uu~m,i • • *

(*) Crelle, Journal, etc ,

Band 3i.

est un déterminant mineur de l’ordre m . Si les éléments principaux du déterminant mineur ont chacun le premier et le second indice identiques, comme cela a lieu pour le déterminant (58), le déterminant mineur se nomme principal.

Pour représenter par un symbole cette espèce de déterminants, considérons les déterminants mineurs d’ordre m ihne du déterminant P. Soit

le nombre des combinaisons m à m des indices i, 2 ,..., n. Ecrivons ccs combinaisons les unes à la suite des autres d’après une loi déterminée, par exemple en commençant par celle dans laquelle le produit des indices est le plus petit, et plaçant successivement celles où le produit des mêmes indices va en augmentant. À ces combinaisons ainsi distribuées faisons correspondre les nombres

Soient r, s deux quelconques de ces derniers nombres ; si dans le déterminant P on supprime tous les éléments qui ont leur premier indice compris dans la combinaison r, et leur second indice compris dans la combinaison s , les éléments restants formeront un déterminant mineur de l’ordre m. 3Nous représenterons ce déterminant mineur par le symbole ( "^P r> , et conséquemment par (w 'P rjr le déterminant principal du m ième ordre. Il est évident que le nombre des déterminants mineurs du m ii,ne ordre est en général égal au carré du nombre u. On pourra donc , avec ces déterminants, former le déterminant