PQ

et que, de ces mêmes équations (79), on déduit

flr,s 77: “J 5

Q d c riS

ou bien en faisant Q = K 8 et observant que l’équation (78), donne

— K dK ,

d Cr tS d Cf tt

on peut écrire

1 dYL

flr , } ~

K dc r>f

équation qui donnera tous les (a,., a,) en fonction des [ fl r , Q s J .

L’équation (76), à cause des deux propriétés démontrées pour les déterminants gauches symétriques, acquiert, quand 011 suppose P un déterminant gauche quelconque, une des deux formes :

pour n pair,

P Po 4~ «r,r « s, s ( ^ ^ P i, i )o “t" • • • H" «1,1 «2,2 • • • &n t n y

pour ii impair,

P — = 2 r «r,r ( ^ P/ji )o 4~ • • • 4 “ «1,1 «2,2 • • • «n,vi •

Si les éléments principaux sont tous égaux à l'unité, ces deux dernières formules deviennent

P — Po - f - 2 / ( < 2 ) P , •,«•), I ,

P = 2 ,- ( (^ P ,-,, )o -r 2 » ( iP < > i * ) o -+■•••"+“ 1 >

et comme les déterminants gauches symétriques d’ordre pairP 0 ,(<‘>P,,,) 0 , (WP ijf ) 5 • • • î sont des carrés, le déterminant P sera égal, tant dans le cas de n pair que dans celui de n impair, à une somme de carrés.

Exemple . — Pour n = 4 •>

et pour n = 3 ,

Considérons les deux groupes d’équations

«1,1 «Tl 4- a 1,3 X, 4- ... 4“ «i,n X„ — « y «3,1 X, 4“ «3,2 #3 4“ • » ■ 4- «2, fl x n — «2 3

«l,l Xj 4“ « 7,1 3*2 4“ 4“ «n,i X n — - ,

«l,r» X t 4“ « 2 ,n X 2 4“ • « * 4~ «/t,n X„ — <' n , où l’on suppose

En multipliant les équations du premier système respectivement par

et ajoutant les résultats , on aura

for , I "4” for,7 &7 *4" • • • *4” for,n &n c r,\ tt| *4“ C r<2 //■»

où l’on a fait

(82) <?|,, Cr.l + #7,s c r, 2 “f* • • • -4“ Cr,n~ for.f

Désignons par P le déterminant gauche formé avec les éléments a ,. yS , et, ayant fait a, v =^^—5 supposons que l’on ait

P Cr,r ~~ 2 CLr,r P • • • » P Cr,n — - 2 5 t ff>r , il viendra, d’après (82 ) ,

for,r == * t for.s —— ^r,j j

et, par suite, l’équation (81) se transformera dans

U l,r a* | ~f* JC 2 "J - • • • ” 4 “ U n>r J. h Cf t 1 K(

-4- C r<2 «2 -h ... -4- c r , n tl n .

On aura donc, par l’inspection des équations (80) ,

«.-+-£ 1.2 «î-4-.-.-t -C Xt n ll n ,

P 2 ~ c-i t \ Wj — {- c 2> 2 ^2 *4“ • • • "4“ c 2 ,« w„,

V n — C nt i U | -4- Wi 4* • ■ • -h C/i,n // rt .

En opérant sur le second groupe des équations (80), comme on vient de le faire pour le premier, on obtiendra

u, = r lf , v, -f- C 2 , x t'j 4- • • • 4- c n>t v n ,

« 2 = 6 )( 2 i>| + C 2 , 2 » ; 2 + • • • "f" C rt) 2 <’/l>

Un — c lt „ V, -h Cj,„ t'î -4“ • • • 4- c„,„ <V

Du rapprochement de ces deux derniers groupes , il résulte que les coefficients c, v sont liés par les

equa uons

^l,r £|,j “H C 7 ,r ^2,j^ 4“ • • • Oi,r C n,t — O y

et, comme le nombre de ces coefficients est un nombre ^ d’entre eux resteront arbitraires, et l’on pourra

déterminer les — — — autres en fonction de ceux-là ; ou

encore on pourra déterminer tous les n * coefficients en

fonction de - — — quantités arbitraires. Les valeurs des

coefficients c ryS fournies par (83) , satisfont précisément à ces conditions, puisqu’elles vérifient évidemment les équations (84) j et les quantités a ,. yS , en fonction desquelles

ces coefficients sont donnés , sont en nombre — •

Exemple . — Soit

on aura les neuf équations

I //«,= ! 4- V — — v% 2 (ty. — v), Ac,= 2 (Xv 4- fi ) ,

k J =2(V+ v )) //à 2 =i-h f*’— V— v% 2 (pv— >),

7^3= 2 ( >v — fx) r /* à 3 = 2 (pv - 4 - ). ) , /it’3= 1 4- v 7 — a 7 — u’ ,

et les quantités a x , æ 2 î • * • > liées par les six équations

tf 7 -+- 6, 4 - = ï, «i a 3 -f- à, à 3 -h c, c, = 0,

rt 7 -{- + c 7 ~ 1 , 4 ~ ^ 3 4 “ c 3 ~ o ,

pourront représenter les neuf cosinus des angles que deux systèmes d’axes rectangulaires comprennent entre eux. Dans ce cas, les quantités arbitraires X , p, v sont susceptibles de recevoir une interprétation géométrique, comme l’à fait voir M. Rodrigues (*).

Il est bon d’observer que dans le cas où deux axes de l’un des systèmes ne feraient pas entre eux un angle droit, c’est-à-dire dans le cas où

&1 ^3 * 4 “ ^3 “t” Cj C3 W,

on pourrait déterminer les valeurs des neuf cosinus en fonction des trois quantités X, u, v et de a); car il est permis de conserver à six de ces cosinus, par exemple à b 19 c x , « 3 , & 3 , c 3 leurs valeurs précédentes ; et les valeurs des trois cosinus a 2 , 6 2 , c s seront données en fonction de X, p, v, « au moyen des équations connues

d\ (1 — o)*) bi C 3 — b 3 Cj,

Ci (1 — «’) z= tiibi — b-t,

Applications .

i°. Théorème . — Le déterminant

^ij 1 * • • • c t.n

C 2 ,t Ci t i — I • . . C 3>n

^n, 1 . . • Cf ,,, | I

est égal à zéro pour n impair, et égal à 2 n — pour n pair. En effet, en substituant dans H pour c,,,, c 2 , 2 ,....

{*) Journal de Liouville, tome V. Les formules trouvées par M. Rodrigues ne diffèrent que par la forme de celles données par Euler et par Lcxcll dans le tome XX des Novi Commentai- ii Academiœ P'ciropolitanæ, 1775.

leurs valeurs (83), il vient

et en multipliant ce déterminant par le déterminant P, on obtient aisément

ry 1Z

O <2 \' j fli,} . . • Cl \

O Cl 2^3 . . • Ct'i,n

du, I ^n,2

Maintenant si n est impair, le déterminant du second membre étant gauche symétrique et d’ordre impair sera égal à zéro et Ton aura H = o, et si n est pair on aura

Dans le cas de n = 3 , ce théorème renferme la démonstration d’une propriété énoncée par Euler et qui a lieu dans le mouvement d’un corps rigide (*). Celte propriété consiste en ce qu’il est toujours possible d’assigner une droite passant par un point arbitraire du corps (le centre) , mobile avec lui et telle, qu’au bout d’un temps fini quelconque elle se trouve parallèle à sa direction initiale. En désignant par x, y , z les coordonnées d’un point du corps par rapport à trois axes fixement attachés à ce corps, les cosinus des angles que la droite passant par ce point et par le centre fait à l’origine du mouvement avec trois axes fixes dans l’espace coïncidant à ce même instant avec les axes mobiles,

(*) Theoria motus covporum rigidorum , 17 ^ 0 . Cette propriété a été démontrée par Piola, au moyen des formules de Monge, dans un Mémoire publié dans les Actes de la Société Italienne des Sciences , 1 83q.

ces cosinus , dis-je, ont pour expression

\x 7 + \]x 7 -h y 7 -h z 7 sjx 7 -+- y 7 4- z 7

et les cosinus des angles que la même droite fera avec ces axes fixes au bout d’un temps fini quelconque seront

\Jx 7 y 7 -+- z 7 sjx 7 -{- y 7 -f- z 1 \jx 7 -f- y 7 -h z 7

a x , a*, . . . , désignant les neuf cosinus des angles que, etc. Pour lé parallélisme des deux directions de la droite dans ses deux positions, il faudra donc que l’on ait identiquement

et, par suite,

(l , ^2 I Cj

ce qui a effectivement lieu d’après le théorème démontré.

Il n’est pas inutile de faire voir comment 011 peut arriver directement à l’interprétation géométrique des indéterminées 1, [jl, y dont on a parlé un peu plus haut. A cet effet, remarquons que les équations (85) donnent

^ ( j 1 — }— jx b 1 — f- v c | zzz \ ,

'^3 *+“ -f- vf 3

On pourra donc poser

k étant une indéterminée, et a, (3, y les angles que la droite qui reste parallèle à elle-même dans les deux positions du corps fait avec trois axes liés invariablement à ce corps. Si nous désignons par 6 l’angle dièdre compris d'un côté entre le plan passant par celte droite et un des axes fixés dans le corps dans la position initiale, et d’un autre côté entre le plan déterminé par les mêmes droites quand le corps occupe sa seconde position, angle qui doit rester invariable quel que soit l’axe que l’on considère, nous aurons par une formule connue

a, zz r sin 3 a cos G -h cos 1 a , b j z=z sin 3 p cos 9 -h cos 3 fi , c 3 = sin 1 7 cos G -f- cos 3 7 ;

d’où

-h b 7 -f- c 3 = 1 -f 2 cos G,

et, d'après (85),

a 3 fi' J -+- v 1 = tang 3 -j G.

La quantité k étant ainsi déterminée, on a ensuite

X = tang j 9 cos a, p = tang ÿ G cos p, v = tang £ 9 cos 7.

Observons que le théorème mécanique d’Euler revient à cet autre purement géométrique : Étant donnés deux systèmes d'axes rectangulaires ayant la même origine , on peut déterminer une droite passant par cette origine et telle, quune rotation autour de cette droite amène Vun des systèmes à coïncider avec le second. Il est évident que l’angle Q est la mesure de cette rotation.

* 2 °. Soient représentés par a t , ô,, c, ; rt 2 , ô 2 , c 2 $ a 3 , ô 3 , c s les cosinus des angles que trois axes rectangulaires liés à un corps solide en mouvement font avec trois axes fixes dans l’espace, et désignons par p , q , r les composantes de la vitesse angulaire du corps relatives aux axes mobiles. On a,

comme on sait, *■

p = a,o\ •+• b 3 b\ -h Cic\,

et, en substituant les valeurs (85) ,

hp = 2 (p' v — p-/ — V ) , Æy = a (v' X — vX' — jx') ,

//r = 2 (à' p. — aia' — v') ;

d’oïl

^ A= 2 ^ fZ ÿv— /> — Xfll),

(86) ' “ rA f*™)*

1 v '= “ (?' A — py-— r — v/n),

en faisant, pour abréger,

Ces dernières équations, respectivement multipliées par X, fjL, v et ajoutées, donnent sans difficulté

puis, multipliées par p, <7, ret ajoutées,

w désignant la vitesse angulaire du corps.

Lorsque le corps tourne autour d’un point fixe et qu on prend pour les axes mobiles les axes principaux du corps, en désignant par A, B, C les moments principaux d’inertie et par T la demi-somme des forces vives, on a

et en posant

on a

u - dV' v ~ d?' ’ ^

d’où

- // 1 » — — A/? v 4- B r/ -h C rX ,

2 A J) — PV — W]k — U Xff, 2B q — «’X «V ~ V — fXff,

2 C r = u fi — v X — «' — ver ,

en faisant

a = Xm 4- pi*' -4- vtv.

Si maintenant on désigne par U la fonction des forces, on aura, comme Ton sait ,

d( T-U) </(T — U) fljr= <*(T-U) .

et, par conséquent,

r/ll

= -(/j(j+ um + n> — qiv) 4 - >

i v dû

d — - ( q rj 4 - cm 4- /?«' — ) 4- y- ’

«/ =-(r«r 4- «W 4- tju — in> i 4-j-*

2 ' rfv

Ces équations, conjointement avec (86), sont les équations différentielles du mouvement d’un corps autour d’un point fixe présentées sous la forme que leur a assignée Hamilton.

Si le corps n est sollicité que par des forces instantanées , en désignant par Ç, yj, Ç les angles que l’axe du couple ac-

cèlera leur, l’axe du couple d’impulsion et l’axe instantané de rotation font avec la droite dont il a été question à la fin de l’application i° (droite que M. Cayley a nommée axe résultant) 5 en désignant en outre par g , /, <o les moments du couple accélérateur, du couple d’impulsion et la vitesse angulaire du corps et posant

.A/A-t-B7p-hCrv=:\|/, Ap X Bÿ' p Cr' v == ÿ, on a

= g tang - 0.cosÇ, ^ = / tang - 0. cos

m z= w tang - 0 . cos £ ,

et comme en multipliant les équations (87) respectivement par À, ju., v et ajoutant les résultats, on obtient

on aura encore

a -h / sin 0 . cos y) — o.

L’utilité de ces formules dans l’étude du mouvement autour d’un point fixe d’un corps sollicité par des forces instantanées est rendue entièrement manifeste par les résultats obtenus par M. Cayley sur ce sujet (*).

Un déterminant P dont les éléments conjugués sont assujettis à la condition

a r,l == rt S ,r ,

se nomme déterminant symétrique .

Il suit de là qu’une puissance paire d’un déterminant quelconque est un déterminant symétrique. Et comme dans un déterminant symétrique P les éléments situés dans la i* èm * co l onne son t respectivement égaux à ceux situés dans

(*) The Cambridge and Dublin italhcmatical Journal, tonie 1 , 18.^0.

Ja s iime ligne, on aura

dP rl V

<1(1 r, S (la,.,

c’estrà-dire le déterminant à éléments réciproques d un déterminant symétrique est lui-mème symétrique. Il en résulte que les valeurs de x x , ,r 2 ,..., x n , déduites du système d’équations algébriques linéaires (16, § IV) prendront, dajis le cas de fz >v = « r>r , la forme suivante :

r/P I dP I d P

P .T, — Il t — I Mj — r • • * -f- “ U n — •>

da X 'i 2 dfl \,i

P J’, = - Ut

-f- Wj

da ii2

da 1,1

ff, -7 —

da t , M