da l>n

où représente la dérivée relative à a,. s du dévcloppc-

ment du déterminant symétrique P.

La formule ( 14)9 lorsque P est un déterminant symétrique, donne

dû r t r dfl.t, s dflr,r d(I S)S \(l(f, s }

et en supposant — — = 0 , on aura

p / ftp y

d«r,r da StS \da r ,s)

c’est-à-dire que les deux déterminants symétriques P et

; — seront de signes contraires.

On doit encore ranger dans la classe des déterminants

symétriques ceux de la forme

fl 2 </;j • • • fl n 4. |

fin fl n+\ • « • flin—x

qui jouissent de la propriété exprimée par l’équation

“JB- 3*

d Cli n — 1

La propriété caractéristique de ces déterminants appartient exclusivement à la théorie des invariants ,

application, — En désignant par s,, la somme des puissances r iimet des racines de l’équation

V (x) = a n 4- < 7 n i x -h .~h a, X"' ' 4- x n — o , on a les relations connues

-f- fl II-. 1

• • 4~ fit

fin

4“ fln-\

• • 4“ di

Un S n — |

4“ fl n — 1

• • 4~ fi\

d’où l’on déduit, en éliminant les coefficients a x , a 2 , . . . a n entre ces équations ct \ S * 7 (x) = o,

vW =

$0 Si ... S n S 2 Sn . 4 . 1

S fi — i »'« • • • $3 n — I

Observons que, si aux éléments de la seconde colonne de ce déterminant on ajoute respectivement ceux de la première multipliés par — x , aux éléments de la troisième colonne ceux de la seconde multipliés par — x, et ainsi

de suite , la valeur du déterminant n’est pas altérée et que, par conséquent ,

S 2 S | JC • • . S ^ ~ Stl— |

S * JC . • . •f/ 1 - 4.1 $n &

Sri S, X S n + t S n X . . . S tt S j „ — jl

Représentons ce déterminant par

n nA •

par V, le déterminant

Oi,i .

• • Ol,r

Cela posé, 011 a le suivant.

Théorème. — Les termes de la série

jouissent de la propriété caractéristique des résidus de M. Sturm, c’est-à-dire , si une valeur de x annule la fonction V r , les fonctions V r+1 , V r , pour cette même valeur de x sont de signes contraires.

En effet , comme

flr,r drtr+t, r-+-l

on aura, par l’équation (i 4 )>

r+> ~ da,, r \<la,, r+ J'

et, conséquemment, pour toute valeur de x vérifiant l’équation V r = o, il viendra

c’est-à-dire que V,. +1 et V,. t seront de signes contraires.

§ IX. — Des déterminants des racines des équations algébriques , et des déterminants des intégrales particulières des équations dijjércn tiellcs linéaires .

Soit

une équation algébrique du n ic,ne degré ayant pour racines «1 , a* 7 > on a identiquement

a a -f- A rt , a 2 -+-• • • "f* Ai ct-x -f- A 0 = o,

a„ -f- A/i—t a fl + Aj a„ -4- A„ — o.

Multipliant ces équations respectivement par les indéterminées a l9 a iy . . . , ajoutant les résultats et posant

fl| Cf. | “ 4 “ itj

-4- • • • ~h ct n <x n — O ,

il en résulte évidemment

Ayant fait actuellement

0 C| Ct-i « . . CC n

on aura par les équations (88)

z dV

"> fl /l ~ T

et, par suite, en substituant,

ri A

-f- a 1 d a' * d cc r

• • • ~ f~ ^ " ) — li-2a, a 2 . • . cc/i—rt

la caractéristique 2 représentant la somme des combinaisons n — rà n — r des racines ûf l , Cf. g , . « ., oc n .

Si l’on suppose r = n — i , et qu’on représente par F (x ) l’expression

( J? Ct\ ) , (•£ a 2 (a* &n) j

les équations (88) sont satisfaites en prenant

’ = £77 V* • • * 9 (*n — zzr r *

d’où résulte

F' (a,) Ar/aJ

F' («„) Arf«;;-

Observons que

Par conséquent, en désignant ce déterminant par A, et

par F, (a:) l’expression »

nous aurons

Pareillement, en posant

i - ~ } — A rt i . — I ,

F n , (x ) = (x — a ft , ) (,r — a„) ,

nous obtiendrons

I I d An i I d A,

F', f a, ) A, r/ a" ‘ Fj ( a, ) A 3 d a»“* ’

et ces équations multipliées membre à membre donnent A = F ; (*,) F',(«,) F; (a,)... FL*

cVst-à-dire

(a ( Ujj — a j).«. (ot| a„) ya 2 ^— a 3 ) •• (a a a /4 ) (a 3 — a,)».» (a rt t ^b)>

importante relation que l’on doit à Vandermonde.

On peut encore arriver à ce dernier résultat, en s’appuyant sur les seules propriétés des déterminants. En effet, en faisant subir au déterminant A la transformation de l’application 3° du § V, on a

ou, en divisant la première colonne par a, — a 2 , la seconde par « a — a 3 , etc. ,

Ar= (a,— a,) (a 2 — a,)... a„)

Effectuant de nouveau sur ce dernier déterminant l’opération mentionnée, c’est-à-dire en divisant la première colonne par a, — <* 3 , la seconde par — a 4 , etc., on obtient

A — (otj — t a H ) (et i Ct3) 4 **(^n— 5 ®/i)

ai -f-a a 4-a 3

a” 3 +a” 2 a. -ha? (a" ‘-f—J+i

et, en répétant la meme opération (n — i) fois, on parviendra à la valeur de A trouvée ci-dessus.

De ce qui précède , on déduit facilement que les valeurs de , jr 2 , . . . , x n qu’on tirerait des équations

•Ti-f- X-, -f- . . . - r n — I ,

a’ x | -+-a“ x, -f . , . + a* jc„ = X 3 ,

a, -ri H- a, #2 -h ... -h a ( *,,== 4”“', peuvent se mettre sous la forme

(or.,-

y. lt

Désignons par s r la somme des puissances r des racines de l’équation proposée 5 en effectuant le carré du déterminant A, on obtient

et comme, par l’équation (62), 011 a

= (<»— H- (("-"OA,,,)’ + . . .-4- ((«-«) A f>

si l’on fait attention que

aj . .

♦ • • CC/ji

(n—m) Il

il viendra

Si S j . . . s m

S/n—i Sm‘ • • S 2m — i

Applications.

i°. Un déterminant dans lequel les éléments constituant une ligne quelconque sont des intégrales définies prises entre les mêmes limites, ces limites changeant d’une ligne à l’autre, peut se réduire à une intégrale multiple. Dans certains cas, cette transformation, ou la transformation iuverse quand elle est exécutable, peut être utile dans la recherche de la valeur du déterminant ou dans celle de l’intégrale multiple. Pour montrer de quelle manière on peut effectuer cette transformation, considérons le déterminant

tlx u

X ?•(•*») * ,r ' 1 , +W) J aj ^

C"' c~ x ' .r, f c~ Ti r, ; e-\.r H y

X ?.(-.) X »(*,) X fi**) *

p CO e -x x >r n-î e~ Xi i"~ l r™ c- x *.T n ~ l ,

/ — i — r ( r ' I — 7 — r rfr * • • • / — 7 — r ^

et observons que tous les termes de son développement seront des intégrales définies multiples de l’ordre n, et que conséquemment ce déterminant pourra se mettre sous la forme

j ( l.r , I <Zr 3 ... I

J (7, J a. Ja

Vn(*n)

fn(#n)

c’est-à-dire que le déterminant en question sera équivalent à l’intégrale multiple

f/.r, / «'/.r, ... I (lc n ' ■ — A ,

t Ja n ¥' \- r i) . • <?« {•Xn)

A (#1 «^ 2 ) ( X\ — Xj J • • . ( < 3^1 &n) ( ^*1 *^3 ) • • • ( I — • )•

En s’appuyant sur cette transformation et sur un théorème concernant les intégrales particulières des équations différentielles linéaires (théorème dû à M. Liouville, et qui sera démontré dans la suite), M. Tissot (*) est parvenu tout récemment à généraliser quelques résultats obtenus par Abel et par M. W. Roberts (**). Les déterminants des intégrales définies avaient déjà été considérés par M. Catalan (***).

2 0 . La fonction homogène de degré impair à deux variables

a { 4- (2 n 4- 1) a 7 x' ln y -f- a 2 x‘ n ~' y 7 .