J-h 1 ) xy* n 4- a 7 n+iÿ

sera dite ramenée à la forme canonique lorsqu’on l’aura transformée dans

(p { x-+-(py) in +'-) r {p 7 x + q 7 y) n +'-\-. . .H- (p»+\X 4- <7,H.,r) Jn4 *'.

Les 2 (n -f- 1) inconnues p l , /; 2 , . . /;„ +î ; q x , ÿ 2 , . . . ,

<7„ +1 seront déterminées au moyen des 2 [n 4 1) équations que l’on obtient en égalant les coefficients des mêmes puissances de x dans les deux expressions. En faisant q l z=p t a l ^

q* — P%<x*, q n +i = Pn+i «»+i, ct pT+ l = 9r9 ces a(/i 4 -i)

(*) Journal de M. Liouville.

(**) Adbi., Œuvres complètes, tome I, page 93 . — Journal de M. Liouville, années i83i et iS52.

( ***) Mémoires couronnés par l'Académie de Bruxelles. 18 § * .

équations seront

c \ ~h <4 4" • • • -f- <Vi-h — # i >

Ci a i 4~ c, a î *4" ... -h c n+ 1 “ (ïj >

f i “ 4* Cj a] 4- . . . + r w+ , a n+i — ûr 3 ,

--'k-M , în-H . . a fl-H

Tirant des (» + i) premières de ces équations les valeurs de c t , Cm , . . . , c ;i+ i , on obtiendra (/* *f- 1 ) expressions analogues à

OÙ

c r — fi i - 7 — r 4- (*.> — — 4- • • • 4- fi n + 1 r/ . a” fl . oc r

et ces valeurs, substituées dans la (n 4- i) ibmr équation, donneront

fl n-\- 1 fl/i+t *■ 5C| 4~ Il n 2 3C| OCj — • . . 1 — fl | GC t 0C 2 ... 0C„j ( — O ,

en se rappelant (pic

— ! Ai sc i oc 2 . . • «n-j+i*

Pareillement; en éliminant Cjff,, c s a 2 ,..., c, 1+1 a„ + i des 3“”"% . . . ,(n 4- de ces équations, on aura

fl n-+-3 flfl-\-7 “ 2t| 4“ d/<+l 2 OC, OCj —— . . . — ! — fl i OCj OCj ... 0C /( j j — O.

En continuant à opérer de la même manière, on obtien-

(Ira évidemment les n -h i équations suivantes :

( ( 1,4 3 — n„ + l m, 4- <ln Wj — . . ±7/, /Un 4-1 = O ,

Qn+ï ~ — tf/H-J W | -f* (^«4-1 Wlj « . . Ü- (7 2 W, + , O y

^j/14-î * — A 2/i-t-i '"i 4" fljn Wj • • • i<Jfl+|Wn-i — O,

OÙ

tu j — - X n i y //? 2 — i ît| et i y • • y /w ^4 1 — 0C| ctj . • . c</j4 i •

Observons que les 04 , a? 8 , . . . , «, i+1 seront les racines de l’équation

x n+i — x n />/, 4 - x n ~' /// 5 — . . . dr /w„ 4 -, = o ,

ou, si l’on veut, de l’équation

que l’on obtient en éliminant les m,, m 2? . . . de la

précédente et de (91). Parla résolution de cette dernière équation, 011 aura les valeurs de cc x , a 2 , . . . , a„ +t -, par suite les équations (90) feront connaître c, , c t ,., .,c w+1 , d’où l’on déduira finalement les valeurs requises de p x , p t ,. . . ,/>„+!, q\ , q*, • • • , q n +f Remarquons que Téquation (92), moyennant une transformation dont on a déjà fait usage, peut se réduire à

x — n 3 et 3

Considérons l’équation différentielle linéaire du n ième ordre y(n) \ n s y% n ~ 0 4”» • • “h A| y 4- Ao t > = O ,

,A 0 sont des fonctions de la

dans laquelle A„, , A„*,.

variable par rapport à laquelle sont prises les dérivées. Soient ?i intégrales particulières de cette

équation. En posant