ûTr.î
da r ,n
En supposant s et /’ inégaux , l’expression
da
d P da 7tS
d P da„ iS
représentera ce que devient le déterminant P lorsqu’on substitue dans ce déterminant aux éléments , « 8)0 . . . , les éléments a ltr9 a 2)r . . . respectivement. Mais puisque ces deux séries d’éléments constituent individuellement une colonne du déterminant P, l’expression dont il s’agit représentera un déterminant ayant deux colonnes composées d’éléments respectivement identiques , et sera conséquemment égale à zéro. Autrement dit, on aura
' da x , t dP
d P h ‘ r da, tS
dP
d P dds,n
da ltX ’ r " da s>9 , . d P
L’expression - — ne contient ni l’élément a rjS9 ni aucun
des éléments qui appartiennent à la ligne ou à la colonne dont cet élément fait partie dans le déterminant P, c’està-dire aucun des éléments qui constituent la r iè,ae ligne et la s leme colonne de ce meme déterminant. Il en résulte
d ' P da\ t
da rtS da rus
dn r ,i da r>s
Le déterminant
de l’ordre n — 2 se déduit du
dd r ,t
déterminant P, en effaçant dans ce dernier deux lignes et deux colonnes , savoir: la i dhne et la r x ième lignes , et la s iemr et la Si lème colonnes. Maintenant si dans le déterminant P on change Tune dans l’autre les colonnes s ieme et5 1 ,ème , ce déter-
minant change de signe, et le déterminant
dù riS da rx ,s t
de-
vient —
da rtt da r ^ t
; de façon que généralement
da r , da r .
r r | tS |
d(ir,s x dct rxit
J dp dP •!' ' 1
Les expressions — — , -- — » • • • , considérées comme des
d& r ,\ da r> i
déterminants de l’ordre n — 1 , donnent lieu aux équations suivantes, qui sont analogues à (3) :
dP
da r%{
dP
da r>i da Stf d 2 P
da r ,>da ) .,~ h "‘~*- üs,n da r , x da St n
( 7 ) ~ 4 ’' da r> 7 da s>
d(ir, 3 dû * , n
da r , n ~ SA da r>n da S)i s,i da r>n da , , 3
d(i r ,n dci Stn
et I on suppose que /* et s sont inégaux. En substituant ces valeurs dans la seconde (3) et observant qu’en vertu de (5) et (6),
da r>x da Sil ’ da r ,tda s ,7
ddf,n d(l s , n
da r ,\ da St , da fi2 dn uX da rA da St 3
da r , 3 <la s {
5 etc.,
Digilized
on obtient
a r, l rts, 1
rt T ,y rt it ,
rt r ,s a s,\
drt rA da Si7
rtr, 3 3
da rA da SiJ
rtr.n — i **/,/»— i
<lr,n a,,n | da *’ n
ce qu'on peut écrire
rt r ,u &s,u
rtr,v
d(lr,u dfi iA
les indices a et v devant recevoir toutes les valeurs 1 ^ 3 ^ ^ f L «
Si l’on multiplie les équations (7) par a t ^ x a , it% . . •a Sitn
( 5 , et r étant supposes inégaux) et qu’on somme les résultats 7 on obtiendra par des transformations analogues
cP P
Dans l’équation
d(j r ,u du SrV
(la r> , da r>s (la S{rl ’ da r , s <te tl ,, da r , s da t ^
opérons la permutation d’indices indiquée par (6) , il
viendra
) ~ J—= Za s,l
da r .
da r , , da, ,
n s,7 J -, h • • -f- a StH
da r>i da t ,
d&r,ti d(ii t ' S
Notons encore l’équation suivante analogue à (4) et facile à démontrer :
da rtJ da r[ii
dfir.t dfi r j
da r , s da r -
où l’on doit supposer $, différents entre eux.
L’équation (8) fait voir comment le déterminant P du n ume ordre peut se déduire d’une somme de produits de dé ter-
minants du second ordre par des déterminants du (// — 2 ) ,ème • ordre; on verra de la même manière que le déterminant P peut s’exprimer au moyen d’une somme de produits de déterminants du 3 e , 4 C >*** ordre par des déterminants du (n — 3)* e,n % ( n — 4)‘ em % . . . ordre; et généralement, en supposant que les indices r t , r a , . . . , r, n représentent des nombres entiers tels que
et posant , pour abréger,
• Cl t p
"il
, Pr,=
^.ri + l
« fl f p r 2 ,r 2
on apercevra sans peine que
Dans cette expression, la caractéristique 2 désigne la somme de tous les produits analogues à celui qu’elle affecte; et ces produits proviennent des facteurs qui ne sont autres que les déterminants obtenus en prenant dans les premières lignes tous les groupes possibles de /’t colonnes , dans les lignes , faisant immédiatement suite aux r\ premières, tous les groupes possibles de r s colonnes, et ainsi de suite, en ayant soin toutefois de 11 e pas prendre deux fois dans un même produit une même ligne ou une même colonne. Le nombre total des produits ainsi obtenus sera évidemment
I i2.3i..A|.l.!à.3.../*}i.iI(2»3*.«^'3 t *i I.2.3 ...^/ti
Les formules (3) et (4) conduisent aisément au groupe
suivait d équations :
da 7lSt d P
dV
da Uix ' da titi
da n ,.
dV
1 da>, t{
da n ,s x
dV
da itfl
+ a ’'" da, , *’ S \
dûn,s t
Multipliant ces équations respectivement par d 1 P d ' P d 7 P
da r>s da r ^, i da r>s da r ^i
da rti da rytS ^
sommant les résultats et ayant égard aux relations (7), (i i), (12), il viendra
d P d P d P d P p d*P d a r,s d ûV (> * ( da r ^ s da r>s ( da r>s dn r}tSi
équation qui rentre dans une classe de formules dont il sera traité au § VI. T V\
Application.
Six points étant donnés sur un plan, déterminer le lieu géométrique d’un septième point tel , que les droites allant de ce point aux six points donnés forment un faisceau en involution.
Soient x , y les coordonnées d’un quelconque des points du lieu; x 6 , y e celles des points fixes donnés. En
supposant les six droites coupées par une droite quelconque , qu’on prendra pour axe des x , et représentant par a t , a 9 , . . . , a 6 les distances des points d intersection à l’ori-
gine, rinvolution du faisceau sera exprimée par Téqualion (i5) (a { —a, (a b —a i )-^(a î —a 3 )(a i — a !> ) (a 6 -a t )—o.
Or on trouve aisément
XJ\ — x { y xy 2 — x 7 y
fj { ZZZ 5 <7j ~ Î etc. J
{xyi-^- x K r){y<—y] — [xy K —x k y)(y l
expression qui , par la formule (i4)? se réduit à
~lr. — y) (y* — y)
Substituant ces valeurs , on obtient pour l’équation du lieu géométrique cherché ,
i Xt y 4
i Xi y 2
i Xi y s
Cette équation représente évidemment une courbe du troisième ordre, et comme elle est d’ailleurs satisfaite quand on fait x = Jj, . . . , x 6 , y =jy,, y*, • • • la courbe passera par les six points donnés. . m
§ IV. — De la résolution des équations algébriques
linéaires.
Les formules trouvées au §111 sont d’un grand usage dans la résolution des équations algébriques linéaires. Si l’on considère le système d’équations
1,1 Xi -f- Cly l2 Xi “h . . . -+- Ut, h x n — u x ,
n ï,\ X, ■+• ^7,2 Xi -f- . . . 4 - Ui,n x n ~ Wj ,
a tl ' i X| - f- e Xi 4~ . . • H— Un,n x a —
on obliendra la valeur d’une quelconque des inconnues a:*, . . . , x n , par exemple de x s , en multipliant ces équa-
lions respectivement par - — ? - — > • • • » - — > et ajoutant
da-i't da n>t
les résultats obtenus. En effet, dans cette somme tous les coefficients des inconnues, moins celui de x s , seront égaux à zéro, puisque leur composition est la meme que celle du premier membre de la première équation ( 4 ), et le coefficient de x s sera égal à P en vertu de la première ( 3 ) : on aura donc
Px, = a, u 7 a 2>i -+- . . . -+- u„ a„,, ,
le symbole ot,. yS représentant le déterminant (2). Par ce procédé, on formera le groupe
Px,= u, a M Mj a îf , -f- . . . -j- a„,, ,
| j P Xi = «, a, , 2 -h a?,î -f- . . . -+* a H> , ,
P X„ M, OC | ■+* • ♦ . -t“ &n,n »
qui fournit immédiatement les valeurs des inconnues. O11 remarquera que le dénominateur commun de toutes ces valeurs est précisément le déterminant P, propriété qui, signalée pour la première fois par Cramer, peut être considérée comme l’origine des recherches ultérieures des géomètres dans la branche de l’analyse que nous exposons.
Pareillement, si l’on considère le système
**1,1 z \ “f~ a i,\ * 4 - ... -h <i n ,\ z ii ==: p i f
a *> 7 *1 "P a *> 3 • • • "~f“ rt n> 1 Z n =r Cj ,
[que quelques auteurs nomment système dérivé du sys-
tème (16) ] , on obtiendra
Pz, rp p, a M 4- p 2 a, j2 4- ... -f- <4 a t( „, Pz 2 =: p, « 2j , -4- p 2 a 2#2 4- . . • 4- p« a 2j „ ,
Pz* — p, a n> , 4- p 2 a„ i2 4- • . • 4- *4 a n ,n*
Il est important d’observer que les inconnues des deux systèmes (i 6) et (i8) sont liées par une équation que l’on obtient en multipliant les équations qui précèdent par u i9 U),...,u n respectivement, sommant les résultats et ayant égard à (i y) 5 ou bien en multipliant les équations (17) respectivement par tq, t^,. . v n sommant les résultats et ayant égard aux équations qui précèdent. De l’une ou l’autre façon , on arrivera à
( 19 ) U\ z, 4- «2 z 2 4- . . . 4 - U n t n = p t x,4- p 2 or 2 4-. . -4- p„* n .
Les équations (1 7) subsistent quels que soient u i7 n 2 ,. . .,1/4 si donc toutes ces quantités sont égales à zéro et qu'il n’en puisse être de même de x u x i7 . . . , x n , on devra avoir
Par où l’on voit que cette dernière équation est le résultat de l’élimination des inconnues jr,, .r 2 ,..., x n entre les équations
" 1.1 -+- a ,, 2 tf 2 4~ . . .4- a l>n x n = o,
/ \ n 7>l x x 4- a 7 , 7 x 7 4- • • • 4- (ij'„x n — o ,
ou, si l’on veut, le résultat de l’élimination des inconnues z,, z 2 ,. . ., z n entre les équations (18), quand on y suppose y, = 14 = . . . = v, x = o.
Si l’on fait
Digilized
les équations (17) donnent
P X { 1 = — - X 0 (rt|, 0 a i,l “ 4 “ «2,0 a 2,i " 4 ” • • • "+* « h,o « u,i )> P *^2 — "^0 ( «1,0 a l,2 " 4 “ «2,0 a 2/2 “H • • • “ 4 “ « 71 , 0 a n,j) j
d’où
(2î) Xq . <X\ , Xi* • • . x n
• «h,ti
Ces proportions font connaître les valeurs des rapports qui existent entre les n - h 1 inconnues a: 0 , x l7 x 8 , . . . , x n * qui entrent dans les équations en nombre n .
«u,0 *0 4 " «n, 1 Xt \ 4 ” • • • 4 " «71,71
Applications.
oc y
i°. En représentant par - ? — les coordonnées d’iin point
quelconque d’un plan , l’équation d’une conique située dans ce plan sera
<p = ax 7 4- by 7 -f- cz 7 4- 2 eyz 4- 2 fxz -+- 2 hxy — o.
Pour que la droite représentée par l’équation
Ix -h my -f- nz = o
soit tangente à cette conique* on devra avoir les relations
ax , + hy x -\-fz y — ^ / = o ,
hx { 4- by { 4 - «, — - w — o ,
fx K 4- ey, cz, n = o ,
/x, 4- WJ, 4- ^,= 0*
où x ,, y i9 z i sont les coordonnées du point de contact. La condition nécessaire pour que la droite soit tangente à la conique, sera donc
Imaginant une seconde droite
la condition pour qu’elle touche la conique sera
ah f / ( h b e nu
/, m , ru o
Pour trouver les coordonnées du point de contact, observons qu’en posant
h b e ni nu
l ni n o o
et ayant égard à (23), (2/1), on a les équations
JA JA JA
dnu
dn {
d A ds d A
dl x dnu dn {
, JA . JA JA
h -4- b - )-« r + fflH=o,
dix dnu dru
JA JA JA
/— -h c hc-r + *H = 0,
dix dnu dru
dans lesquelles — 7- ? -7—? — sont les dérivées partielles du 1 (1l [ dm , dn x 1
déterminant A par rapport aux éléments ni t9 n t qui
constituent la dernière ligne ou bien la dernière colonne.
On a fait d’ailleurs
c ni c n
Il suit de là que les coordonnées du point de contact de la première droite avec la conique seront déterminées par les rapports
dl x * dm t ' dn x
et l’on aura semblablement pour les coordonnées du point de contact de la seconde droite avec la conique,
d A d A d A dl * dm * dn
Si l’on se souvient que
dA dA
dm dn t
dm x dn
dmdn x ’
dA d A
dn dl x
dn x dl
A dndl x
dA d A
dA dA
dl dm x
dl x dm
dldm x y
l’équation de la corde de contact sera
dm dn { X dn dl x ^ dl dm x
ou bien , en désignant par y 0 , z 0 les coordonnées du
point de rencontre des deux tangentes >
(ax 0 4- hy 0 4- A,) * 4- (hx 9 4- by 0 4 - ez 0 ) y 4- (A 4- *r*4- tz o ) z = o ,
ou encore
rfi ^
• rfx + X “ dy
dtp
La droite que représente cette équation est nommée la polaire du point (x 0 , J 0 , *o) lequel prend le nom de pôle.
En concevant deux autres droites représentées par les équations
).|^+ Pi y-*- = O,
et supposant quelles touchent la conique , la polaire de leur point d’intersection aura pour équation
vC 4-
>1 pi V.
*1 pi v,
Si l’on désigne par X , Y, Z les coordonnées du point de rencontre des deux polaires , par x u z x les coordonnées de la commune intersection des deux droites (26) et que l’on pose, pour abréger,
hc — =A, ac — / 2 = B, ab — h 1 =C,
ef-hc = H, he — bf— F, A/- == E,
on aura
A (To z i — y \ z o) 4- H (x t z 0 — z 0 z, ) 4* F (•£„/', x x y 9 ) = X X, -y* z „) 4- B (x,z 0 — x n z { ) 4- E (x 0 y t — x t y 9 ) = *Y, F (y 0 z t — jiZn) 4- E (x t z 0 — x 9 z y ) 4 - C (x 0 y, — x t y„) = X Z,
À étant une indéterminée. De ces équations , en faisant
on déduit
rtSl - r , z ,= i{X(BC-E’)H-Y(EF-HC)+Z(HE-BF)j, x,z„— x„ï, = A{x(EF— HC)+Y(AC — P)-t-Z(HF— AE)(, ^.-x,r.= ^{X(HE-BF)-hY(HF-AE) + Z(AB— H')}.
Si l’on observe qu’en désignant par S le déterminant
on a
(BC — E J ) = aS, AC — F 1 = bS, AB — H 2 = cS, EF— HC = 4S, HE — BF=/S, HF — AE = <?S,
il en résultera
SqZ, —y t z 0 = -(aX-h h Y -+-/Z), k
z 0 x, — z,x 0 =-(/iX + 6 Y -h c Z),
— Jo= g(/X + cY + c Z).
Maintenant l’équation de la droite qui passe par les deux pôles, c’est-à-dire par les deux points (xq ^ o)> (x,, j,, *,), est
(jr 0 Zi — f, Zq)x + [z 9 x x — *,a? 0 ) y +- (^ojr,— x x y 0 )zz= o,
(* ) Ces relations seront démontrées en général au § VF.
elle deviendra donc , en ayant égard aux équations précédentes ,
(aX+hY+/Z)x+ (AX-h^Y-f- e Z) y+ (/X+eY-hc Z) s = o.
La droite représentée par celte équation se nomme la polaire du point (X, Y, Z) ; et les deux systèmes composés, l’un du point z q ) et de cette dernière droite
sur laquelle ce point est situé, l’autre du point (X, Y, Z) et de la droite ( 25 ) sur laquelle ce dernier point est situé, sont dits polaires réciproques l’un de l’autre.
2°. On nomme discriminant d’une fonction homogène à deux variables le premier membre de l’équation qui résulte de l’élimination de ces variables entre les équations que l’on obtient en égalant «à zéro les dérivées partielles du premier ordre de la fonction proposée par rapport à chacune des variables. Soit
ax 1 4- 4 bx 3 y 4- 6 ex 2 y 7 -+- 4 dxy 3 -f- cy k
la fonction homogène dont on cherche le discriminant. Egalant à zéro les dérivées partielles du premier ordre de cette fonction par rapport à x et à y, il vient
ax 3 + 3 bx 2 y 4- 3 cxy 2 4- cly 3 = o , bx 3 4- 3 ex 2 y 4- 3 dxy 2 4- cy 3 — o.
Pour éliminer les variables x , y entre ces équations, nous ferons usage d’une méthode due à M. Sylvesler, cl qu’il a nommée méthode dialy tique (*). Si l’on considère les six équations obtenues en multipliant chacune des deux précédentes successivement par x 2 , xy,y * 7 il est manifeste qu’en regardant les six quantités x s , x K y , x % y % x 2 / 3 , y’° comme les inconnues à éliminer, on a six équations analogues à (20), et que partant le résultat de l’éli—
(*) Philosophical Magazine, june
mina lion s’obtiendra en égalant à zéro le déterminant des coefficients. Pqur rendre évidente cette assertion, écrivons ces six équations de la manière suivante :
ax h 4- 3 bx*y 4- 3 ex' y* 4- dx 2 y s 4- . 4- . — o,
. -f- ax'j 4- 3 for 3 / 5 4- 3cx 2 y 3 4- dxy 4 -f- . ~ o,
. 4- -f- ax^y 2 -\- 3 for 3 / 3 4- Scxy' 4- dy i = o,
bx i 4- 3 ex* y 4- 3 dx 3 y 2 4- ex 2 y 3 4- . 4- . — o,
. for 4 / 4- 3 ex 2 y 2 4- 3 dx 2 y z -\- cxy' 4- . = o,
.4- . 4- bx 3 y 2 4- 3 ex 5 / 3 4- 3 dxy' 4- ey h — o,
et I on aura, pour le résultat de l’élimination,
Le premier membre de celte équation est le discriminant de la fonction homogène du quatrième degré à deux variables. La valeur algébrique de ce discriminant a été mise par MM. Boole et Cayley sous la. forme très-simple
(ne — 4 bd 4- 3 c 5 ) 5 — 27 (ace — ad 2 — eb 2 — c 3 4- 2 bdc) 3 .
De ce qui vient d’être dit, on conclut sans peine que, en général , le discriminant d’une fonction homogène à deux variables du degré n est une fonction homogène des coefficients du degré 2 (n — 1).
3 °. Soit 11 une fonctioivSioinogène du i uime degré des n variables Xi, .r*, . . . , x n . En posant, pour abréger,
on aura , par un théorème connu d’Euler,
X i U l,l “I" X 2 «»,2 -f- . . . -f- x H u ln — (/• — .
x i «i *4~ x i «2 -+* • •+ x n u n — rw ~ O.
L élimination de . . . , x n entre ces [n -f- 1) équations
donne
d’où
Uy,
Uy,2 •
Uy
. , Uy,
«n,i u n , 2 Uy II 2
• Un,n Up
Il suit de là que, pour les valeurs des variables x 2 ,. . x n qui rendront nulle la fonction u , le détermir nant
«i,i «1,2 • • • Kt,n Uy U 2, | « 2)2 • • . if 2
«n,t «n,2 • ,U nn U n
Uy U 2 . . . IL O
sera lui-même identiquement nul.
Si r on suppose n = 2 , le trinôme
sera i*ul pour toutes les valeurs de x tn x, qui satisfont à l’équation u(x t , x a ) = o; ou, géométriquement parlant, si cette dernière équation est supposée représenter une courbe, le rayon de courbure sera infini en chacun des points de cette courbe, c’est-à-dire que l’équation
u (jc, , Xi) = o
représentera un faisceau de r droites.
De même l’équation u(x if a?j,T 3 ) = o représente un cône.
§ V. — Multiplication et élévation aux puissances
des déterminants.
Considérons deux systèmes d’équations de la forme
Un,\ "4“ On,7 Xi “h
Ci,i y i - 4 - Cj, ( y 2 ~h C | , 2 y i -4- c-i,ï y
. . “4~ a y >n x n — u if
. . -f* fl} ( n X n
• • “4“ Un,n î
• •-+“ c n,ïy n = -*a,
Si de ces deux systèmes on veut déduire les valeurs de • -îT» en fonction de a lfi9 a iti ,. . . ; c ifl , c ift ,. . . 5 i/i, u t , . , . , « n , on peut suivre deux voies différentes. Oul’on peut substituer dans le premier système les valeurs de x t , x,, . . . , x n fournies par le second , et résoudre les équations résultantes , ou bien on peut déduire du premier système les valeurs de x u x s , . . . , x n , et, les ayant substituées dans le second, résoudre les équations ainsi obtenues. Les valeurs de . . , y n fournies par ces deux mé-
thodes devront être identiques; et l’équation que I on formera en égalant entre eux les dénominateurs de ces mêmes valeurs sera précisément la traduction analytique de la règle qui gouverne la multiplication des déterminants.
Substituons, dans le premier système, les valeurs de x x , x a , . . . , x n fournies par le second ; en faisant , pour abréger,
th
fh
h tt
on obtiendra
^2.1 /•'+' + - • • 4~ ^i,nX n —— «2>
/<«,■ Xi 4" /'n,2 7a 4- ... -H /*„,« Jn = «h » et si de là on déduit les valeurs de y*,. . . 5t y, 0 ces valeurs auront pour dénominateur commun le déterminant
ht A
ht.l
Si , au contraire , on tire du premier système les valeurs de .r,, . . . , x„ , leur dénominateur commun sera
^n , i ^«,2 • • • fln,n
et lorsqu’on aura substitué ces valeurs dans le second système pour en déduire celles de/',, le dénomi-
nateur commun de ces dernières valeurs sera évidemment le produit du déterminant qui précède par le déterminant
Oi, I r H> 2 . . •(■n,n
Du rapprochement des valeurs/, , / 2 , . . . obtenues dans l’un et l’autre cas, résulte immédiatement
ce qui est précisément la formule cherchée pour la multiplication des déterminants. En jetant les yeux sur les équations (27), il devient manifeste que les éléments qui constituent une même ligne du déterminant-produit ne sont autres que les sommes des produits des éléments d’une ligne du facteur P par les éléments des diverses lignes du facteur Q. H est évident que le déterminant produit pourra encore s’obtenir en efïectuant ces multiplications des éléments des déterminants-facteurs, soit par colonnes, soit par lignes et colonnes; ces diverses manières de procéder changeront bien la forme du déterminant-produit , mais sa valeur algébrique sera toujours la même.
Ainsi , par exemple, le produit des déterminants binaires
pourra s’écrire des quatre manières suivantes :
a a -f- b p a y ca -h cl fi cy
a x -f- by a p
bâ
dS
bS
ca -H dy c {$ -j- dS
aa -f- cy a$ - f- cS b a -+- d y b $ -f- d 8
a a -f- c (3 ay -f- c§ ôa H- by - f- dS
Si les éléments du déterminant P sont respectivement égaux aux éléments du déterminant Q, l’équation (3o) donnera
et les éléments du déterminant R seront fournis par les équations
2 2 2 d -+- d . -f- . . . -h d rz: h r r t r, l r,î ' ' r,n ' ’ r *
a r .\ a t>x H- d Fti d St i -f- . . . -f- d r>n d s>n — h r>i ,
où les indices r, s doivent recevoir toutes les valeurs i,
2 ^ t • • ^ fl •
Il est important d’observer que dans un déterminant, carré d’un autre déterminant , les éléments conjugués sont identiques entree ux.
Applications.
i°. L’équation du troisième degré que l’on rencontre, dans la Géométrie quand on veut déterminer les axes principaux d’une surface du second ordre , dans la Mécanique quand on cherche les axes des moments principaux d’inertie d’un corps , dans la Physique mathématique quand on désire connaître les forces principales d’élasticité ou les axes de T ellipsoïde d’élasticité , etc. , peut se mettre sous la forme
d’un déterminant de la manière suivante :
Les racines de cette équation sont réelles. Cette proposition, déjà tablie par MM. Cauchy, Kummer, Borchardt, Jacobi , vient de recevoir tout récemment de M. Sylvester (*) une nouvelle démonstration très -simple et trèsélégante, fondée sur la règle relative à la multiplication des déterminants.
En multipliant le premier membre de cette équation par le déterminant /'(X), on obtient effectivement
où l’on a fait , pour abréger,
rt 5 4-p î -f'7 î =A, a 8 + 7 (û £ ) = F, a? -f- 7 5 = B, uy -+- (i (a -h c) = E, c 1 -f- a 2 -h p’ = C, P 7 -f- a ( b -f- c) =r D,
on a donc
-/(>)/(->) = - LV -f- M V-N,
et l’on observera que les coefficients L, M, N sont positifs, ces coefficients pouvant aisément être mis sôus la forme
M = (ah — 7 *) , + (éîc — (ùc — A*)*
