d E i>m d E, >ot d E

dy m f d Em,<

et comme, d’après (109), (n 5 ), le déterminant

1 Id E, )W dE r , m dE s ,r\ dH " 2 \ dy r dy s dy m /' d E m>< -

résulte du produit *

K(-T') <Cr*)- ••<(/«-') <ü. +.)•• •<(.)«)

dy r

en représentant ce dernier déterminant par on aura

A,,, = Y,., - i WW,,,.

Dans le cas où Y, = Y 2 == . . . = Y„! = 0, Y„ = 1 , on a

hr,s= ~ ^

hn— i,l ^n— 1,2* • • hn—\,n—\

et en posant = Ar,, r = k rtJ , il en résulte

An— l,t

Pour n = 3 cette expression reproduit la formule connue de Gauss pour la courbure d’une surface (*).

(*) Nouveaux Mémoires de la Société royale des Sciences de Goltinguc , tonie VI.

De F équation (102), on déduit deux formules d’un grand usage dans la théorie des déterminants fonctionnels. [Si de s quelconques des équations

y n ( *^1 » x i 1 • • • 1 •ï'n ) — yny

on tire les valeurs de x r+i , J r+Î ,. . x r+s> et qu’on les substitue dans les (n — 5) autres équations, on obtient

Çr-t-l ^ r-J-l JT r-H ( x \ y X 1 y • • • y x n ) — — O ,

i ll 9 )

tfr-t-s y r+t y r-\- s ( x l y x i » • • • y x n ) O ,

fr+j+l — Jr+J+i J' *+S+\ i y • •• l X ry y r+\ • • • y r+\ y x r-t-s+\ y • • • y x iî) — — Oj y n y n ( X l y • • • y x ry JK» -J- 1 > • • • y y r-H y «2?rH-H 1 • • • î X H ) ~~ ® •

D'après la forme des fonctions <p t , a, , . . . , il est évident que

dy x dy 7 dy n

, <hr

et comme -y- —

d yr

i , on aura

v (~h f hi e l* 7 . .

- \ dy\ <l) i dy n j

D’un autre coté, si i on observe que

(l<f t d fr dtf r + s+x

dx ,^. , dx r+ , dx r +.\ dx r+x

dy 1

dy.

d<fr

d.Cr+t

dx r+1

dx r ^.i d*

dt pi

dy*

(lx r+s

dx

dx r . 4$

dx r+s

on obtient

dtf 2 dy lt

dx, d.r H

d cp,

dy

dt p,

dx x

dx r

dx r . 4 -i+.|

dx„

dy r

dy r

.. • dx x

dr r

dx n

da t+s +\

d <pr-M-+-

dyr+s + 1

dx\

dx r

dx r +s+ \

dx n

dtf n

dt p„

dy u

dtf n

dx.

dx r

dx,.+ s+x

dx n

dy, , dx r + 1 dvfn dx r+1

dy r +t

^<Pr+.

dtfr+l

dx r+x

dx r+7

dx r+s

dt p r+ î

d'Jfr+l

d <Pr-t-2

dXr+ 1

dx r +. %

d «pr-4-5

dtÿr+s

dx r ^2

Maintenant, d’après les équations (119),

donc, en se rappelant l’équation (102), on aura la suivante: P = 2 (*.)]. • • [/ r (*r)] [/.'-H+ll^+l)] - • • [/„ ( x »)]\

X 2 ± /r+x * * * fr+s (* r +‘) | »

OU

l’on a mis entre parenthèses dans le premier déterminant du second membre les quantités y\ (#1), y 7 (vr?),. • ♦ pour faire voir que les y ly y* , . • • , y, • * * ’ Y n soni

considérés comme des fonctions de x*, jc s , . . . , x r y r +iy • y>+ty^r+ r+ivj ^ ar un procédé analogue, on obtiendra

Si dans cette dernière équation, on fait s = i , il vient

(ï2Iy ^ == [ y r+ , a r+l.r+i •

Supposons actuellement que de la première des équations (i 1 8 ) , on tire la valeur de x x en fonction de a? s , . . . , x, n et qu’on la substitue dans les autres ; de la

seconde, la valeur de .r* en fonction de x s , x i7 . . . , x nX et qu on la porte dans les suivantes, et ainsi de suite. Ces équa-

tions

prendront la

forme

j -jCï > « •

~ïn

• » Xn~iy &n)

et comme on a évidemment

1 kx j-O

df 2

dy y

dr~.

dyj

dx r

dy 2

d <jp2

~ dx,

dx 2

dx n )

dx,

dx 2

d Cp n dx n ’

on aura encore, d après r équation (102),

les parenthèses sont destinées toujours à mettre en évidence la composition des p,, / 2 , . . . ,y n .

Application.

Désignons par A, v le déterminant

Si dans la fonction y, „ +r , on introduit les y iy y s , . . ,y m à la place des x 19 x s , . . . , x m , on a par la formule (121)

Ar,, = [/ w+r (*«+,)] • 2 [— y\ (*») y îW • • • y’ m ( x *) >

et, par conséquent,

2 (ziz A,,, A n—m,n—m) ~ | 2 [idZjT , • • ^ r m (* r m)] | M

x 2 [zh ( y m+l (*„+,)]. . . [/„(*«) i],

et en ayant égard à (120)

2 ( A-m Aj ( j..i A n m>n m ) P

Supposons

Jr = a r ,\ Xy H- «r,2 h- . , . H- o r>n x n , on a dans ce cas

tfi >2 • • •

fl\,m-\-s

rt 2i2 . . •

fll,m

fli,m+s

flm,\

flm,m

fl;n+r,m

n m-hr ,m-\-s

et 5 par suite,

~ ( ziz A,,| A* >2 . . . A„ — ,r. , n — m)

fl\,m

flj,m

«/Tl, 1

flot, 2 • • •

flm,m

An, 1 • • •

fl/t.n

La propriété qu’exprime cette formule est due à M. Sylvester (*). Si dans celte même formule, on faitm = n — 2, on obtient une équation qui est un cas particulier de réquation (14) du § III.

Si les fonctions y î,^*, . . . ,y #i ne sont pas indépendantes entre elles, mais sont liées par exemple par une équation

il est visible que le déterminant P sera égal à zéro. Cela résulte immédiatement de ce que l’on a dans ce cas n équations analogues à

<ly y\ (*r) + W = °-

<tyx

/■/ <jp

dj n

Au moyen de l’équation (121), on peut démontrer la proposition inverse, à savoir que si le déterminant P est égal à zéro, les fonctions y t , y 2 , . . . , y n ne sont pas indépendantes entre elles. Nous supposerons que la propriété a lieu pour le déterminant du ( n — 1)'*"“' ordre a r)l ., et nous prouverons que dans cette hypothèse elle a nécessairement lieu pour le déterminant du n ième ordre P 5 de façon que, lorsque cette propriété sera démontrée pour le déterminant du second ordre, elle le sera par là même pour le cas général. Observons que si P = o, 011 devra avoir d’après (121) ou [ y r (.r r )] = o, ou a r>r = o. Dans le second cas, d’après

l’hypothèse admise les y ,, jp 2 ,. . . ,y r .i, Jr+i 5 • • •? y n ne seraient pas indépendants entre eux, ce qui 11e peut avoir lieu si l’on se reporte à la manière dont a été trouvée la même équation (121)5 donc il faudra que l’on ait

(*) Philosophical Magazine , » 85 1 .

c’est-à-dire que y,. sera exprimable au moyen des fonctions fi , js , . . . , Jr-x y fr+x et conséquemment les

fonctions y iy y ^ , . . . , y n ne seront pas indépendantes entre elles.

Actuellement le déterminant du second ordre

est égal, d’après (121), à

et comme la fonction y t contiendra en général la variable x t , si le déterminant est nul, il faudra que [jy', (,r t )J le soit aussi, et, par conséquent, les fonctions y i 9 y t ne seront pas indépendantes entre elles.

La formule (102) donne la valeur du déterminant P, lorsque entre les n variables x et les n fonctions y, il existe n équations y = o. Supposons présentement que les fonctions y et les équations <p = o soient en nombre plus grand que les variables x, et cherchons à déterminer la valeur du déterminant P. Soient

flpj O , <j>2 O, . . , O ,

n -h r équations qui ont lieu entre les n variables x et les fonctions y iy y iy . . . , y n+r de ces variables. En tirant des équations <p n+1 = o, <p >l+2 = o, . . . , <p M+r =0, les valeurs de r„ + i, /, 1+ s, • • • ? Jn+r et les substituant dans les n premières équations , on a

Q/| ( X | , .K , y . . . , JC U y }lj)ly’’ ‘y) n ) O ,

Cpî (.î | y JC y , * . . ) JC n * y l y .) '2 y • - • » ) n ) - — O ,

’?n (•* 1 j J ï j • ' y - r ii > y \ y } i , • • • y ' O

Ces n équations donnent, d’après la formule (102) ,

où les dérivées sont mises entre parenthèses pour rappeler la composition des ÿ,, Remarquons mainte-

nant que

zUM ( r hi\... = ï (±^t Ùi... £ü:V

L \d.r, J \dx„ J J \ rf.r, rf.r, d.r„)

et que

V ( -4- tll < ^h\ . V (-4- d 9n+i > ^«+r\

y dx | dx 2 d'*'n) \ n+\ (ty n+l n+r )

„ / , d<fl 1 ^<P»+r\

\ dx x dx n dy n+i dy n+r J

en observant que

D’ailleurs on a évidemment

z ( ± d îl = î r ± (in\ /liAl

\ dy t dy, dy n+r J [ \dy x ) \dy 7 ) WJ J

x v f -f- d V*+* . . . ^î?±rV

“ \ ^Tn+« tiy n- 4-1 tfyn+rl

donc l’équalion (i 25 ) deviendra

\ <ly x dy, dy„+ r J

t jjh . ^ ^ ^ y«+A

\ dx x dx 7 dx n dy n + , dy n+r )

ce qui fait connaître la valeur de P.

Si les quanti tés j' t , y 2 , . . . , y n étaient des fonctions composées des variables x i2 x . 2 , x„, c’est-à-dire si elles étaient des fonctions d’autres fonctions <p t , <p 2 , . . . , <p B des variables a:,, x 2 ,. . .. a:», l’équation (102) donnerait évidemment

¥ = ,( ± ±i±i...'Jl 2 \ . 2

\ d<fi d<?2 d<fn) \ dx\ dx 2 dx n J

et si les fonctions composantes <p étaient en nombre plus grand que y x , y 2> . . . , y n , par exemple si elles étaient en nombre m ra, on aurait, d’après l’équation (61) du § VII,

dr 2

‘Ifr,

\ dx x

dx 2

dxj\

équation dans laquelle la première caractéristique 2 se rapporte à la somme de tous les produits analogues à celui entre crochets, et que l’on obtient en mettant à la place des indices r, , r* , . . . . r n , n quelconques des nombres 1, 2, 3 f • • • , in *

Supposons qu’entre les variables x ix x 2 ,..., r„, l’on donne n équations

où les a sont des constantes, et que par des transformations faciles à apercevoir, on réduise ces memes équations à la forme

fl • • • f Æll) ®l> • • • f a n) a l J

'fri ("^i» • • • j ^2j • • * f ®n) — ®n*

Les a*,. . . , a„ pourront être considérés comme des fonc-

lions implicites, et par la formule 'f i 02 j on aura

“[*(£-)(£-)■ (fe-)]

df, dy?

a cf, » — — - 1

dx { dx j dx

Par conséquent le déterminant fonctionnel P ne changera pas de valeur dans cette transformation toutes les fois que l’on aura

comme ce serait le cas, par exemple, si (p, était indépendant de a l9 de oc u a 2 ,..., de a îv .., a„.

Application.

On déduit de F équation (124) la formule générale pour la transformation des intégrales multiples. Considérons l’intégrale multiple du n ieme ordre

P <b'y • • • djfn ,

et supposons les liés à n autres variables

«Cg î • • • ■> ‘t ' n par les équations (122). En généralisant la règle ordinaire pour la transformation des intégrales simples [comme cela se pratique habituellement dans la recherche des formules pour la transformation des intégrales doubles et des intégrales triples (*)], on obtient

P d/l dy 2 . . . d/ n —

dy 1 dy 7 dx { dx 7

d (f n dx n

dx y dx a . . . dx n1

c’est-à-dire, d’après (ia 3 ), (124),

P dy 1 dy .

P . P d.r % dx 2 .

• dx ni

(*) Bor.nosi, Lrzioni di Calcolo sublime , tome I.

ce qui est précisément la formule cherchée. D’une manière analogue, on aura

U flX, dx J. . . d.r n =1 U . Q^/ji dy., . . dy u .

Cette dernière équation , d’après la seconde (109), peut encore s’écrire,

f n V dx,dx,...dx n = r Uv'Hrf/i dy 7 . . . dy „ ,

et dans l’hypothèse de E r ^ = o, on aura

J" Udr.dr,. ,.ds„ = f" U y/ Ei,, K,,,... E„ à dy x dy 2 . . . dy n . •

Supposons que les équations qui lient les x et les y soient de la forme

y r — Xr — a-1 fr “ A»

où a,, a 2 , . . . , a n sont des constantes. Ayant fait

F (z) = (z —/,) (z — j 2 ). . . (z — j n ) , /(z)= (z— fl,) (z — fl 2 ). . . (z — fl*),

011 a, comme on sait,

et, par suite, en diflérentiant par rapport àjq.

2 /' (fl») fl» — J, ’

(l’où

v.fvi-i EM '

,[yr) ~ 4 /'(«.) («,-rr)’’

" Urj ~ 47 7 M K-r.i 1 ’

4 / («.)(«, —rr)(«.—r.)

*i(jv)*i(r.) = -T S/ ù v

Maintenant, si l’on se rappelle les formules F' (y r ) F (a,) ,

/(>) /'(«■) {«. — JT ,) 1 /'(«>) ( a ,-^) 5

/'(*«) (an—XrY I F («0

/' ( " •) («» — rr ) ( «, ~ y s) f'(a 7 ) (a, — jr r ) (a, — jr t )

on a

f{ a n) {<*n—yr)(a n —ysV

E r<s = o, E rr =-Î^),

et, par conséquent,

rj

U rfx, rfx, ...,lx n = - F'(y,)... F'(j-„)

2 v'/irO Art)-- - /(y.)

Au moyen de cette formule, M. Catalan est parvenu à

étendre aux transcendantes abéiiennes quelques-unes des propriétés appartenant aux fonctions elliptiques (*).

§ XI. — Des déterminants de Hesse.

Soit u une fonction entière homogène des n variables #1, a?*,..., x n . On désigne par u t , 11$,..., u n les dérivées premières de u par rapport à chacune de ces variables, et par les dérivées secondes, en sorte que

Le déterminant

Ur

d 7 u dx r dx t

U\ t \ U 1,2 • • • W | ,n U 7 , 1 Ui, 2 » • • a?,n

Un, 1 • • U n 3 n

est appelé de la fonction u, ou le déterminant de

Hesse, à cause de l’important usage qu’en a fait M. Hesse dans différentes recherches géométriques. Ce déterminant a été représenté par quelques géomètres par le symbole H„. 11 est évident que si la fonction u est du m ihne degré, le déterminant y sera une fonction homogène du degré n ( rn — 2 ) .

Supposons que les variables jCj, #2,..., x n soient liées à n autres variables jy,, y n par n équations linéaires

analogues à

X r — U\,ry 1 ~ H ll^.r J 2 * 4 “ • • • dit ,r y n %

Si l’on substitue ces valeurs dans la fonction u et que Fou

(*) Mémoires couronnés par l'Académie de Bruxelles , iS'ji

pose

Kr = il

dp] dÿ\

rfri

P — 2 (J— ^l.ï • • ■ rt n.n ) j

on aura

En effet, (*n différai liant la fonction u par rapport à y n il vient

du

— A\flr,\ “ I - Ay Ar,2 ~ H • • • “f” A n O r ,ny

cl en différentiant cette dernière équation par rapport à y, et par rapport à x s , on obtient

d 1 u du x

dy r d y s ~ dy s a ' 1

du 2

d 7 u djT r dx s

a r, l H” lh ,s a r,2 H - •

D'après ces relations, et en s’appuyant sur la règle connue de multiplication des déterminants, on trouve aisément les deux équations

\ dx x dy x dx 2 dy 2 dx n dy„

( d 1 il d 2 u d 2 u \

K = P . i ( dz • . }.

\ dx x dy | dx, dy 2 dx n dy„/

dont la comparaison donne immédiatement

Si la substitution était orthogonale, c’est-à-dire si les coefficients #, v satisfaisaient aux deux équations

Ar, l A r,2 * * “H flr.n * »

Ar, l A s. I “H fl r,2 A s, 2 “h • • "h flr,nAs,n — O,

on aurait

P = i , et par suite K = v.

Dans le cas d’une substitution quelconque, si la fonction dans laquelle u se transforme par cette substitution est indépendante de l’une quelconque des variables y t ,..,,y n , le déterminant y sera identiquement nul \ car si la variable manquante était, par exemple y,., on aurait

dy,dy r ~ dy , dy r ~ ' dy n dy r

ce qui donnerait

K — o, et par suite aussi v = o.

Réciproquement, si le déterminant y est identiquement nul, on pourra, par une substitution linéaire, transformer la fonction u dans une fonction homogène de ( n — i) variables^i, /» i* En effet, y étant égal à zéro, on

aura, d’après l’équation (i4) ?

dv dv / dv

du rt r du s>s \du r>s

et par suite les éléments réciproques du déterminant y admettront un facteur commun M du degré ( n — i) (m — 2 ) ; en sorte que, en désignant par a r , a, deux constantes, on aura

dv

dll r ,r

dv

du r , s

Maintenant u étant une fonction homogène du degré m, on a, comme on sait,

«1,1*1 -h «1,3*2 -h • • .- 4 - «.,»*» = (rn — 1)

d’où l’on déduit, en général,

v dv dv

x r — //, h Wj b

du Kr ' du h et quand on supposera

de

on aura, d’après (126),

3C| ll\ ~b CL-tli -b . . « —b O.

Faisons, dans la fonction u ,

x x — Z, -b Xa, , J"., — z 2 ~b Xa 2 , . • • , X„ — z„ ~b Xa„,

OÙ

Zr — - 1 ~ b ^i,rX7 “b • • • ~b — l,r^n — I j

et où X désigne une constante indéterminée. En développant, on obtient

w = w 4- Xtc' H w " -4- ... H cv(”‘\

en supposant que représente ce que devient */ , lorsqu'on y met z t , z,,..., z„, à la place de x t , .r*,,.., x lt x et que w' représente la valeur de

sous la meme condition. Comme ensuite

dw'

dZy

dw' dw'

u 3‘2 uZ n

« ,(m) — — 7 ai H 7 a, -b ... -4 7 a„.

CIZ{ d%n

lorsque V expression «j u, -f- a 2 n s H- a n i/„ sera iden-

tiquement nulle, il en sera de même de et par suite aussi de iv'', iv w , . . . , w (m) , ce qui réduira le développement précédent à u = w y c’est-à-dire que la fonction u dans le cas

/ oo \

de v identiquement nul peut sc réduire à la fonction homogène w des n — i variables y x , y t , . . . , y n -i ? comme on Tavait annoncé.

Cet important théorème, que I on doit à M. Hesse (*) , a été appliqué par le même auteur à la démonstration des deux propositions suivantes :

i°. Si u— o représente l’équation rendue homogène d’une courbe plane du n ieme ordre, la condition nécessaire et suffisante pour que la courbe se réduise à un faisceau de m droites , est que le déterminant v soit identiquement nul.

2°. Si u — o représente l’équation homogène d’une surface du m ieme ordre , la condition nécessaire et suffisante pour que cette surface se réduise à un cône est que v soit nul identiquement.

Des équations (127) , en faisant — ^ — = U r>0 on déduit

tvr r — ( /// — i) (U 1>r U 2if . U 2 — f~ « • « -+- U„ jf u, t ) ,

d’où, en différentiant successivement par rapport à x s et par rapport à x r , les indices r et s étant supposés inégaux ,

i < p s - T r — (ni — l)

Par conséquent, si u x = n s = . . . = u n = o , comme alors ^ = o, 011 aura o, quel (jue soit r -, et de l’équation (14) il résultera

\ dx t

(l \Ji t r

dx s dx s

dx r

dU„ . r

(Le,

d Ur.r

dx r

U r,r — 2 vJ r> j ; î

(*) Cuelle, Journal fur die Maihematik , Band XUf. 1 85 f .

équation qui est satisfaite quand on prend

Ib,r- = Nx^, Ur,j N X, X s y

N étant un facteur commun à tous les éléments réciproques du déterminant t\ En différend an t de nouveau l’équation (128) par rapport à , il vient

en faisant attention que I on a identiquement

. \(— îk'

/ ’ I dx s (b\ 1 ' ' dx s <7.r, "

dx s

ih.i

r/.r 4 - r/jTj

à cause de la relation connue

U|,r U i,i ~f“ Uî,r «J,ï -f“ U/i,r ««, 1 — O.

Actuellement si n t = u s = . . . = //„= o, d’après (i 3 o), on a

Vs.i *r = — (

. \ / it , TT ^U 2>i TT du H)S

r/.r, ' ~ x " <fcr 4

ou , en substituant les valeurs (129) ,

dxi

, ^ wr ( dll '>* , du '-*

dxi

dxi

ou enfin, d’après une propriété connue des fonctions homogènes ,

<>s,i— — («I — l)(#H — 2) N. Its.i-

Il résulte de là que lorsque les //, , w 2 , . . . , n u sont égaux à zéro, non-seulement F hessien de la fonction n, mais

encore Y hessien du même hessien, c’est-à-dire de y, sont aussi égaux à zéro. Dans le cas de n — 3 , les équations u t = u t = u 3 r= o sont satisfaites, comme on sait, aux points multiples de la ligne représentée par l’équation u = o-, et comme on* doit avoir pour ces mêmes points v — o, ils résulteront de l’intersection commune des deux courbes représentées par les équations u = o, e = o, et seront, en outre, des points multiples de la courbe v = o.

Supposons présentement que u = o soit une équation algébrique, entière, rationnelle du m ième degré des n — i variables X x , x t , . . . , x n x ; et considérons le déterminant

tl 2

Si l’équation u = o est rendue homogène en y mettant

— * — v ? ^ à la place des variables x x , x z , . • • , ,

et multipliant tous les termes par x‘’ t \ on aura toujours les équations (127) et

( 1 3 1 ) u , x , -h u 2 Xi . . . -+* u n .r„ = mu ,

au moyen desquelles on pourra transformer le déterminant H de la manière suivante : il est évident que

et comme en ajoutant respectivement aux éléments de la première colonne ceux de la seconde multipliés par —

ceux de la troisième multipliés par — .r 2 , etc., la valeur du déterminant H ne change pas, on a, d’après les équations (127) et (i 3 i),

*r« Un — l,n

Un—\ ,n

JT U u„ — mu

Un — 1

ou bien

Uj, n -

Uj, 1

1 w rt— 1

Observons que le dernier de ces deux déterminants peut s’écrire

donc en faisant subir à cette expression l’opération ci-dessus indiquée , on aura

Un — »

De cette équation on conclut que pour les valeurs de x y , Xi , . . . , qui rendent u = o et H = o , on aura en même temps ^ — o.

Application.

En désignant par r le rayon de courbure d’une courbe plane représentée par l’équation u — o, on a

Aux points d’inflexion de cette courbe, on a, comme on sait, r = co , et par suite H = o , ou bien , par le théorème précédent,

Celte équation représente une courbe de l’ordre 3 (m — 2 ) qui coupe la proposée en ses points d’inflexion 5 le nombre de ces points sera donc au plus 3 m[m — 2 ) (*).

En désignant par r t , i\ les rayons principaux de courbure d’une surface « = o, ona

„ ( M î + + u lY

Pour les points de la surface en lesquels un des rayons de courbure est infini, on a H = o, et, par suite,

(*) Crf.lle, Journal Jür die Nalhematik, Kami XXV11I, — Salmon, On the

higher plane curvcSj page 72 .

Cette équation représente une surface du degré 4 (*» — 2), et la ligne d’ intersection de cette surface avec la proposée u = o sera une ligne à' inflexion ou la ligne des points paraboliques pour cette dernière surface (*).

Exemples . — Considérons l’équation des courbes du troisième ordre qu’on peut toujours réduire, comme on sait, à la forme

U =r a, x] -+- a 2 x\ -f- «3 X 3 6 h X x X 2 .r , rr o ,

nous aurons

V = Cf

a , x, Ux 3 h* 1

hx 3 a 2 x 2 hx x | = o ,

hx 7 fix { a 3 x 3

ce qui revient à

h 2 (a, x] 4- a 2 x] ■+• a 3 x\) — kx x x, x 3

où k = a x ai a 3 -h 2/i 3 . Observons qu’en égalant à zéro rhessien du premier membre de cette équation, on a

3 h} P (a , a 2 x\-{- a 3 x\) -h (/- 3 — io8«, a 2 a 3 h*)x x x 2 x ô = o,

équation qui , en posant

3 h 7 k 7 =. X -f- p h 7 2 P — 1 08 a, a 2 a 3 P = 6 X // — pk, se réduit évidemment à ( 1 33 ) Xa — -^{ao = o.

Les valeurs de X , p se déduisent aisément des deux équations précédentes et ont pour expression

X = /[P [P — a x ct 2 a 3 ) 7 2 p. = 8 /t 6 -t- 2.0 a x a , a 3 P — a \ a] a\.

(*) Gerconne, Annales de Mathématiques, tome XX t. — The Cambridge and Dublin Malhcntalical Journal, 18.^8-18^9.

L’équation ( 1 33 ) étant évidemment satisfaite pour les valeurs de x i9 x 9 , x * qui rendent u,= o, v — o, il en résulte cette intéressante propriété que les points d’intersection des deux courbes u = o, v = o sont encore des points d’intersection pour la seconde de ces courbes (*). Cette propriété n’a lieu que pour les lignes du troisième ordre.

Désignons par w une fonction algébrique entière, rationnelle de degré r des n — i variables z t , z 9 z n l5 et ayant posé

tVj ( j . . .

Wy

Wn-\

rendons homogène l’équation w — o en substituant aux z t , Zj , . . . , z n i les rapports

on aura

Wn — 1,1 — i • • • W n —i ,n — i

( j y»-t lu y

V représentant l’hessien de la fonction w. Supposons que les variables x i9 x 9 , . . x n soient liées aux variables z i9 z r , . . . , z n par les deux systèmes d’équations

tv,=.r, , w 2 ~ , w lt = x ny

U\ -l- Zi j U > — Z i , . . . f U n - — Z„ j

on aura évidemment ri 1 équations que Ton peut déduire des

(*) Crelle, Journal fur die Malhcmalik. Band XXVIII.

deux suivantes

^l.r «,, r 4~ tv 2>r U i>r 4- ... 4- Wn.r U„,r — I ,

«'m «I ,r 4- <e 3j2 Wj, r 4- ... 4- «v, = O,

en supposant /• et s = i, 2, . . . , n. Ces équations donneront

et pour les valeurs de x x , x t , . . . , s t , z, , . . . , qui rendent u = o , y = o , il viendra

L’équation (i 34 ) fait voir qu’à v = oo correspond V = o. Application .

Aux points de rebroussement d’une courbe plane u = o, on ar=o; donc par (i 32 ) H = oo et v — oo ; donc

Wt.7 «*1,3

Les variables x t , x 2 , x 3 , z t , z 2 î <23 étant liées par l’équation

x x z, 4 - x-1 Zj 4- *3 z 3 = o ,

les Zj, pourront représenter des coordonnées li-

néaires ou tangentielles, et l’équation V = o appartiendra à une courbe de la classe 3 (r — 2), laquelle coupera les deux courbes u = o, w — o en leurs points de rebroussement. Par conséquent, une courbe de la r ieme classe a en général 3 r (r — 2) points de rebroussement (*). Pareillement pour les points d’une surface en lesquels un des rayons principaux de courbure est nul , 011 a V = o, et comme les

(*) Cuelle, Journal fur die Mathemalik, liant! XXX. VIH.

vaiiablcs z x , z 2 , z 3 , -z 4 doivent satisfaire à

ces variables représenteront des coordonnées linéaires ou planaires 9 en sorte que T équation V = o appartiendra à une surface de la classe 4 (>* — 2 ) , dont l’intersection avec u=z oouw=o est une ligne de rebroussement pour cette dernière surface.

Observons que lorsque V est identiquement nul, la fonction Wj d’après ce qu’on a démontré précédemment, peut, par une substitution linéaire, se réduire à une fonction homogène de n — 1 variables. Cette propriété pour n = 3 et n = 4 donne lieu aux deux théorèmes suivants :

i°. Si l’hessien du premier membre de l’équation w = o d’une courbe plane rapportée à des coordonnées ta ngenti elles est identiquement nul, cette équation représente une série de points situés en ligne droite.

2 0 . Si l’hessien du premier membre de l’équation w = o d’une surface rapportée à des coordonnées planaires est nul identiquement, cette équation représente une courbe plane.

En invoquant la théorie des polaires réciproques, on pourrait déduire ces deux théorèmes de ceux de M. Hesse énoncés page i33.