fla — ($7 ) 2 -h 2 (^P — ay) a -b (cy — «P
(*) Philosophical Magazine, 1 85»a -
Si 1 on fait
a — ci\ p y b — b\ /)) c — c ( -4- p, X — X, -f- f)j
la fonction f{ — X) deviendra
«i — X, y fi
et l’équation <p ( — A,) y (X, ) = o sera de la forme
Xf — L,x; -4- M, XJ — N, = o,
les coefficients L,, M t , N t étant positifs. En lui appliquant la règ le des signes de Descartes, on reconnaîtra qu’aucune des valeurs de XJ ne peut être négative, c’est-à-dire qu’on ne pourra pas avoir (X — p)* = — et, par suite,
X = p -l- q ^ — i . Il est donc démontré que les racines de l’équation /( — X) = o sont essentiellement réelles.
Observons que cette démonstration, comme celles de MM.Jacobi et Borchardt, s’étend aux équations du n iemr degré qui ont la même forme , ainsi que nous le verrons dans la suite.
2 °. Soient a,, (5,, y,,; a 2 , (3 2 , y 2 ; a 3 , (S 3 , y 3 les cosinus des angles que trois droites issues d’un même point forment avec trois axes rectangulaires; et o),, w s les angles que ces droites comprennent entre elles. On aura les relations connues
a 7 •+■ P! 7* — 1 > a 3 *+■ Pa + 7i ~ *> et, par suite ,
*i a 2 H- 3i {J 2 -h 7 , 72 = cosw 3 , *
a, a 3 -f- p, p.,-f- 7, 73 =ss COSw 2 , a, a 3 -+- p, -h 72 73 = COSw, ,
a. pt 71
I COSW r> COSWj
COS Wa 1 COSw,
COS W 1 COSW, 1
Or, en représentant par a, b , c les cosinus (les angles que fait avec les axes la perpendiculaire au plan de deux droites , la seconde et la troisième par exemple, on a, comme on sait ,
sin O», sinu, sin«,
a a, -f- h ji, 4- c 7 . = sin « 2 sin 0 , = sin w 3 sin ô 2 ,
0,, 0 2 , 0 S désignant les angles dièdres compris. entre les plans dont les intersections communes sont respectivement la première, la deuxième et la troisième droite. En substituant ces valeurs dans l’équation (3i), il viendra
sin w, sin w 2 sin sin eo, sin « 3 sin 0 2 =
zt y/( I — COS 2 co, — COS- C0 2 — COS 2 W. 4~ 2 COSW, COS to 2 COSW 3 ).
3°. En s’appuyant sur la multiplication des déterminants, on peut obtenir quelques transformations de déterminants, qui sont utiles dans un grand nombre de recherches. Nous donnerons deux exemples de semblables transformations.
Si le déterminant P est multiplié par le déterminant
a 3 O — rt 2> , ... O
et que l’on suppose que les indéterminées vérifient les n équations
a i a \,\ 4- a 2 (*i,\ 4~ • • • -4- a niX =2 1 ,
«1 fl i,j4 a 2 fi-t, 2 4- . . . 4- a na ~ o ,
le déterminant-produit sera
Qi,\ — d 1 ,
fl 2,3 ) • * ®i,/i
^ 2,1 — fli.i °2,n
fl3,3 y • rt 2,n
#3,t — fl 2,l
fin—
-l.l On.t^n— «,3 a n. l — a n—
,1 n n, 3 J • *fln—
i,n — fin- i.i
Maintenant en
observant que
S= (— i) B l fi i,i a a ; t . .
on aura
L’utilité de cette formule vieiff d’ètre mise en évidence par M;. Hermite (*) dans une recherche sur la théorie des nombres.
Comme cas particulier de cette même formule , on a
— x i fi — y 2
fl &
yi ^
équation dont le second membre est égal à ± ? A étant
l’aire du triangle qui aurait pour sommets les trois points (.r n ^i), (vT 3 ,j- s ) d’une ellipse aux axes 2 a, 2 b.
Si maintenant A, ja, v désignent les longueurs des côtés du triangle, et /, m , n les demi-diamètres de l’ellipse respectivement parallèles à ces côtés , en élevant au carré les deux
(*) Journal tic M. Lion ville , tome XIV.
membres de l’équation précédente , il vient
Comme second exemple de transformation des déterminants , nous démontrerons un théorème énoncé par M. Sylvester (*) et dont le même auteur a fait diverses applica-* tions géométriques.
Théorème. — La valeur du déterminant
a l,l 0\,2 • • • Qi.n I U 2,\ a 2,2 • • • a 2 ,n *
&n, 1 &n,2 i • • Un,n *
est égale à celle du déterminant
Aj,i
Aj,2 • •
A rt> »
dans lequel
h i9 h t , . . . $ ftj, ki , . . . , étant deux séries de quantités prises arbitrairement.
(*) Philosophical Magazine, J 852;
En effet, en multipliant le déterminant (3a) par le suivant ;
et effectuant la multiplication par lignes , on obtient
» frOU ? «l:i
Multipliant maintenant ce résultat par le déterminant
h\ Jii » • • Itfi i
et effectuant le produit par colonnes, il viendra
comme on voulait précisément le démontrer.
L’équation
