J A* JJ

/ o \ dct r+ , r r — ,

i 6 ) =— («.*+<!.* 4 -. . . 4 - «M*I+ tfr)

( voi/* à la fin de cet article) ;

donc

bien

‘ fëM]

ai a v x " i » r*«- 1 n

ou bien encore, en observant que

dr s

düi

,= i. 4 a Al + ». * pa ai +. .

r „ T e ^ a, '+ l dx» I * L (l -r s da n J

et si l’on suppose r 4- i = e + w, cette équation donne

Mr=* w .

Dans les applications de cette formule , lorsqu’on trouvera o) o, il faudra faire M,. s= o , comme cela résulte de l’équation (5).

L’hypothèse r = n entraîne évidemment M n = o , et l’on a en même temps

(6) «/o S, )+r 4“ n \ S„+,, 4- • . . 4- tf/, S r = o.

Dans le cas particulier où <p (a?) = /' ( x ), les équations ( 2 ) et (6) sont les relations bien connues entre les coefficients et les sommes des puissances des racines de l’équation f(x) — o. , •

On a supposé dans ce qui précède m<^n\ si l’on avait m — n (*), on trouverait, par une légère modification de la méthode ,

( 2' ) a 0 Sr -f- d\ Sr— 1 ( h S r 2 -f- .

“H Cl r So — • ^r-4-1

ce qui, dans le cas de r = o, reproduit la formule connue

Pour montrer l’analogie des S r avec les sommes des puissances des racines, soit fait, pour abréger,

et considérons le déterminant

on a évidemment

Sj. . .

Sî/j

( * ) Ce qui suit jusqu’à 2 0 est emprunté à un manuscrit île l’auteur, postérieur à la Note des Annales de M. Tortolini. ( Note du Traducteur .)

mais

et, par suite,

S | • • . *îjj

où s r = x' 4- Xj -i- . . . -h x n • Par conséquent, en représentant par A ce dernier déterminant, on aura

' 1 lin

Or on sait que

donc

Voici un autre résultat auquel sa singularité donne quelque importance. Considérons le déterminant

OC ± i • »

An .r

• fl

On a

S2 • . • S/i — i Ai 0C\

tt — 2

et si l'on fait

51 Sj . t . S/i — i X[

on pourra encore ecnre

rfS în ,

Or on sait que

donc, en se reportant à la seconde expression de M, on aura

Si l’on multiplie les deux membres de cette équation par A\ A]. . . A 3 , et qu’on ait égard à l'équation («), il vient

ou bien

d Sîn—î

Actuellement, si les équations f(x) — o, <p(.r) = o ont en commun la seule racine x x , il en résulte y = o , et l’équation précédente divisée par 9 (#2) 9(3:3)... 9 (x„) devient

résultat au moins singulier si Ton lait attention que

d S 2 fi — j

est fonction des seuls coefficients. Il est bon de remarquer que cette dernière relation ne subsiste plus si les équations ont quelque autre racine commune, parce qu’il devient alors impossible d’effectuer la division par 9 (.r 2 ) 9 (.r 3 ) ... 9 (x n ).

Les produits analogues à 9 (.r 8 ) 9(0:3) ... 9 (x n ) peuvent s’obtenir plus généralement de la manière suivante. Ayant fait '

R. = <? (xJ <p (x 3 ) • . . <p (*«) , R2 = <p (x,) <j> (x 3 ) . . <p (.r„), etc.,

et supposant que les équations J (x) = 0, 9 (.r) = o admettent la seule racine commune x t , le résultat de l’élimination de x entre ces deux équations s’obtiendra en posant

Or y étant une fonction des coefficients # 0 , a lv .., b 0 ,b i,..., on aura

d v ... dx 1 , . . dx -i , . . </,£. „

da r da r v r ' da r

mais

dx s da r

donc

Maintenant, parla méthode d’Abel (voyez Sekret, p. 59 , Algèbre supérieure, 2 e édition), on a

2R 0 (sc) 2RÔ(æ)

tp et 9 désignant des fonctions rationnelles et le 2 se rapportant aux racines de f(x) = o. Si l’on prend

(.r) == c 0 x n -f- c, •r” - ' 1 -+-••• -f- c„ et 0 (#) = : j ^

ou aura évidemment

. aowiw=-^-+ C| —

IR G (or)

cia o

et conséquemment

+ {Xi)= ^ ( f „ cla 0

da n -

ce qui constitue une forme nouvelle propre à représenter une fonction rationnelle de la racine commune à deux équations. On en déduit sur-le-champ

da n — i

résultat obtenu par M. Richelot (voir Nouvelles Annales , octobre i854) par une autre méthode, et qui conduirait réciproquement à la formule qui vient de le fournir. Supposons présentement

et posons

x \ y ( x %) x 3 y (^ 3 ) tp [ x „ ) '

O11 verra, comme lorsqu’il s’est agi de l’expression (a) de y,

que

<Tq C| • •