CT| (T

fTfl — j <T n — 1 . . . O^f, — ^

Mais de ip (x) = - on déduit

jj (l ,/'(*) /(*)

et, par suite, pour r = 2 , 3 , . . . , n ,

On aura donc , par la substitution ,

. — (r xiSjKfO . ,

et, par conséquent ,

Par cette relation il viendra

Sn— 1

Sj, & 1 Sj . • .

1 Sï „4

ou bien

On obtiendrait les R 2 , R 3 en écrivant ar 2 , x 3 . . . à la place de Xi. On apercevra par ce qui va suivre la relation trèssimple qui règne entre les R r et les dénominateurs des réduites de la fraction continue propre à représenter y~y 2°. Si l’on pose

(x—xjf'fa) (x— x,)/' (x 7 )

ce qui entraîne

Ao /• / \î

on a le

Théorème II. — L’expression

G r To

(B) tfo T r <A| T r , a 2 T r j H- . . .

est égale à

en ayant soin de mettre zéro à la place des coefficients h dont les indices seraient négatifs.

On aperçoit sans peine que ce théorème est une conséquence du théorème I , qui montre que

3 °. Supposons (pie la recherche du plus grand commun diviseur de j (x) et ®(x), effectuée en changeant le signe du dividende et celui du diviseur dans chaque division partielle (comme cela se se pratique dans le théorème de M. Sturm), conduise aux relations

Ql 5 * * » J

les (j u 7 »i+i désignent les quotients obtenus dans

les divisions successives, le premier étant en général du degré n — m et les autres linéaires •, et les r 1? r*,. . . , r m sont les restes correspondants dont les degrés respectifs sont généralement m — i , m — 2 , . . . , 1,0. Si I on représente par

Nj N, N ffl+ , ? (.r)

D,’ Dj’ * ’ D^,~/(x)’

les réduites successives de la fraction continue

on aura

(11) r, = <pD,— /N„ /2 = «p D,— /N 2 ,..., r m = «pD m — /N*

et les D ( , N, seront du degré n — m + i — 1 et 5 — 1. Cela posé, nous nous proposons le problème suivant : Déterminer, en fonction des coefficients de/’(.r) et <p (x), Jes coefficients des résidus /*, ceux des quotients q et ceux des numérateurs et dénominateurs N, D.

D après les formules de la décomposition des fractions

i.ij

on a

' L ' THS) J

A, désignant le coefficient de x m ~ s dans le polynôme r s (x), et comme les équations (i i) donnent

il vient

[ d ' (x,) /' (.4] - ° ’ ■■ i 1 ’ d> w>yj

En supposant

D, (.r) = c s -f- c' s x e+s ~ 2 H- . . . -f- cj .r - f-

(où z = s-t-e), et substituant dans les équations précédentes, on aura un nombre d’équations précisément égal au nombre des coefficients c f , c,,..., et où ces dernières quantités auront elles-mêmes pour coefficients les S p définis par l’équation (1). De ce système linéaire, on pourra donc déduire les expressions des c s) et si

l’on fait

ài

ou i=s-\~e=s-\-m — n ; , on aura A, dAi

fi 0 A/ fi S-Ji 2 s a 0 Ai fi S 2 | —

Ai d Ai (/-n A, d Ai

a 0 Ai d S,

Par conséquent,

/v A j /cl A/ . cl Af

Dj H = — / 4- “To -r'- 2 -!- . . .

flo&i / “Sf|, — 2 r/s,,- — 3

ce qu’on peut encore écrire

S, Sa ... S;

Sj— 2 S| — ( . . . S 2< - — 3

D’ailleurs des relations (?i), savoir

combinées avec N r D f , — N,,D, = i, on déduit

et en substituant dans c*es équations les valeurs

Dj = c s x u ~ mJrS ~'

on en conclut sur-le-cbamp

Aj| C S Oq y

c’est-à-dire, en ayant égard à la valeur de c s et observant d A /

que

( ii')

A s Ai i — ^ j

en outre, on a évidemment A 0 = b 0 .

Au moyen des formules (2), (6) on passera de ces expressions qui sont formées avec les S,, aux expressions analogues formées avec les coefficients des fonctions^’ (.r), cp (x).

La théorie de la décomposition des fractions rationnelles donne

/(.rj r \(.r — .T r )f [x r )J " r \(.r — . 77 ) f (.r f ) ) ’

ce qui, en ayant égard à réquation (i2 t ) et à l’expression (7) de T,., se transforme aisément en

To T, . . . . T,,

De là, par les formules ( 2), (6) et (8), on déduira les coefficients r s [x) exprimés par ceux de f[x), ©(#). -

D’après l’équation (9), si l’on fait

X r 1 So ~t“ X r ~ 2 S, — f— . . . |— X Sf 2 *+■ S r , fr— 1 ,

en sorte que

le déterminant qui figure dans le second membre de l’équation précédente se partagera dans les deux suivants :

Si-,-

Sj ... .

Si 1—3

Sj /— 3

fi-.

Donc, cil se rappelant que T 0 = ^ ■> et ayant égard à l’équation (12), on aura

A, "o Ai

S 0 Si .

Si — } S| — 1 ... S2 1 .

cl, par conséquent,

s, S, Si

Si — 2 S/i » . . Sj 1 — 3 o /o ..... y) — 2

il n’y aura plus (ju’à introduire les S r exprimés par les coefficients de /'(x), © (x), pour avoir rexpression requise des N,.

Quant à la valeur d'un quotient quelconque (J n 011 pourra la déduire indifféremment de l’une des relations connues

D;-i 7* Dj + Rj-3 ->

On remarquera que la quantité que nous avons précédemment appelée H (r) n’est autre chose que D m (x r ) .

4 °. En différentiant les équations (10) par rapport à x, 011 obtient, après quelques réductions,

d<Ji

( l f i* , 3 dfJ m+ \

dx '* dx

ou, en supposant

7 2 == <X 2 X -f- P'J , <73 ” 0L3X - 4 - ^3, . » . , Çm-hi == a m-4-l •* +~ j

En désignant par a:', a/ 7 ,..., :r (m) les racines de l’équation <p (x) = o, on déduit de la précédente

/' (x r ) y (x r )=z <p 2 (x r ) . 7', ( x r ) -h a, r\ (x r ) H- ... H- a m ^, r*. , — <p' (x( r ))/(.r( r )) = a 3 rj (x( r )) -h « 3 r\ (x( r )) -f- . . . H- a m+ , /?„ ,

et celles-ci , quand on a égard à (1 1), fournissent

Si l’on suppose et, par conséquent,

r/, rr: a, x -f- {$, , la première de ces équations donne

d]{ X i ) d; (jp.) d;(x„)

où l’on a fait, pour abréger,

Dans le cas particulier où

la première ligne du déterminant qui précède devient divi-

sible par ot x — i, et 1 on a

d;(x,) dj(x 2 ) dj(x„)

D«-i(a?») DM, DL.K)

propriété déjà énoncée par M. Sylvester ( Philosophical Magazine, octobre i 853) . L’équation (i4) vérifie la conjecture de ce géomètre distingué relativement à l’existence d’une équation analogue à cette dernière dans le cas général où (a:) serait une fonction quelconque du degré

5°. En désignant par A 0 À'^ les coefficients de x ' n ~ s , x?"~ s ~ x dans le polynôme r t (a:), et par c s , c ceux dea:' 1- "^* 4-1 , x n ~ m+s ~* dans le polynôme D, (a:), et se rappelant que

f h + 1 (&) — a .<+ 1 x "fr »

ou a

C X-hl

Maintenant les formules pour la décomposition des fraclions rationnelles donnent

et, par suite,

(tu

v Tn / \ r r(*r) , ~ \ A S C S , 4

r L ‘ {Xr] TW) {x Xr) J “ ~ïr [X 7,

A s c' s 4- A! s c s a sC t tti

(*) On a theory of the syzigstic relations of two rational intégral funclions, etc . ( Philosophical Transactions , i853, part III, page ^8o.)

mais

donc

A f c' c <+ .', ■+• AV

On trouve aussi

formules données sans démonstration par M. Sylvester dans le Mémoire cité (O/î a theony, etc.). On peut joindre a ces relations les suivantes, qu’on vérifiera sans peine au moyen des principes ci-dessus exposés.

6°. Le déterminant qui figure dans le second membre de l’équation (i3) peut, quand on a égard à l’équation

S,-, - x T/, — — T ; , se transformer dans le suivant :

Ta,-

et conséquemment, en posant

ce meme déterminant ne sera autre chose que le discriminant delà fonction quadratique F. Dans le cas de <p (x) =f (x), ce théorème avait déjà été énoncé par M. Hermite dans son intéressant Mémoire : Remarques sur le théorème de M. Sturm, présenté à l’Académie française le i/\ février 1 853.

Les valeurs des résidus exprimées au moyen des racines de f (x) = o peuvent aisément s’obtenir en considérant les memes résidus sous cette dernière forme. Ainsi, par exemple ,

T, Tj

ou bien

ou encore

f (xs)f' (*r) l-r — ■*.<) (* — -r r )

Semblablement

{x s — ./>)’(.-*>— f (*,) f (*r) f(Xi) (.r - X s )(x -

• T iY (- T i — - r sY

et ainsi de suite. Le symbole S représente la somme d’autant de produits, analogues à celui qui est en évidence, qu’il

y a de combinaisons deux à deux, trois à trois, etc., des racines.

7 0 . Nous ajouterons les valeurs des résidus i\ (x), (x),

r 3 (x) , exprimés par les coefficients des fonctions /'(x), <p (x) *, on pourra en déduire aisément la loi de formation pour un résidu quelconque. Les expressions qui suivent sont obtenues par la méthode employée dans la recherche analogue des résidus de Sturm. En supposant m~n — i, on a *

«o Po Pt

O po Pi Pi

(Iq (J I (J 2 (J S Cl I Cl- a

o b 0 b { b 3 b 3 bt

p 0 =a 0 <? (x), p , = (a 0 .r- h o,) <p (a?) — b 0 /(.r), p -2 == ( a 0 X* 4- a { x -f- Û, ) <p (.r) — ( b 0 x b, )/(ar) ,

Pi — (cio .r»q -a t x 2 -f- a 2 .r 4- * 3 ) <p (x) — (b 0 x 2 -f 4,.r+ b 2 )/(x ).

Des équations (12') on déduirait en outre , pour s pair,

K aj • A '-i a 0 a; a; . . . a)

'jfi >

et pour s impair,

A ‘-bi âts»—

Quant aux A, 011 les calculerait comme les résidus, et I on

trouverait

O <7 q Cl\ Cl 2 Cl 3

Des valeurs de r(x) on déduit celles de D (x), N ( x) , exprimées déjà au moyen des coefficients des fonctions de cp(x), J [x ) , et cela par la forme même du déterminant second membre de la valeur de r [x ) , ainsi qu’on l’a indiqué à la fin de 3°.

Les expressions trouvées pour r (x) et A restent encore les mêmes dans le cas où ni <^n — 15 il faut seulement avoir soin de remplacer par des zéros certains coefficients convenables des fonctions <p (x), /(x).

Pavie, 10 août 1 854 •

Remarque du Traducteur. — La formule (3) est démontrée par M. Brioschi , probablement de la manière suivante, dans le volume de l’année i854 des Annales de M. Tortolini, volume que je n’ai pas sous les yeux, la jNote

qu’on vient de lire provenant d’un tirage à part :

— ^ étant la somme des produits r -h 1 à r-f - 1 des racines «0

de f(pc)=i o, on peut considérer cette somme comme obtenue en multipliant par x s la somme des produits /• à r de toutes les autres racines et joignant à cela la somme des produits r-f-i à r+i des mêmes autres racines. La difiérentiation par x s fera donc disparaître cette seconde partie de

façon que — se trouvant ainsi égal à la somme des pro-

Cl 0 (l+T j

duits r à r de toutes les racines autres que x s , ne sera autre

chose que le coefficient de x n ~ r ~ x dans le quotient r :

ce qui démontre la formule (3). On aurait semblablement

• a '+' __ j e coefficient de x n ~ r ~ 7 dans

dx s d.r u

et ainsi de suite.

Si f[x) = o n’a pas de racines égales, comme on l’a sup-

cl ^ Ct l-

posé, il est clair que == o. On pourrait d’ailleurs

former les expressions des dérivées partielles pour le cas des

racines égales.

Soit <p une fonction quelconque des racines de l’équation f[x) = o *, on a

dx.

d cp da r da r d.r $

2 d <p X? d o da r

Xs dï s ~ 2d dï r 2d ' Tf dï s

*<“ A r — l wi 's ) 7

c’est-à-dire, en représentant par s r la somme des puissances /’ des racines.

supposant, pour plus de simplicité, a 0 = i, et observant que ce qui est entre parenthèses est égal, par les formules

deNcwlon, à- — fa,., on aura finalement

da r

Cette formule est encore démontrée par M. Brioschi dans le volume cité.

On trouve aussi de la même manière

S— Tl

V— Tl