h « , -h ... -h «r- 2 4- na r
ou, à cause de l .ç,. 2 -K..-Ha,. 2 * ç id~( r — i)<®r-i=o»
v dy dy
dr s da r
nouveau résultat de M. Brioschi (même volume).
THÉORÈME D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE; Par M. FAURE.
[Nouvelles Annales, Mars 1 855.)
Si Fou divise le polynôme
TI ( x ) = a 0 x m -f- a, x" l ~' -h a 2 x"' -' 1 -h . . . -f- « r *r"'~ r par le polynôme
et que Ton représente le quotient par
A o x " 1 n 4- A, x"-''-' 4- \ 2 af n r n ~ 7 +...+ A f x m - n ~ r 4-. . . ,
on trouve aisément qu’un terme quelconque du quotient tel que A r a pour valeur
O • • . Gq
U. r Cl r — | CCfi — 2 a r— 3 • • •
C’est ce principe bien simple qui, développé, mène à de nombreuses conséquences; ainsi, relativement aux fonctions symétriques, on sait que si l’on veut avoir la somme des valeurs que prend une fonction entière <p (x) dans laquelle 011 remplace x successivement par toutes les racines d’une équation F (or) = o, il faut effectuer la division
F x)y(jf) et j a somme f , ue p on demande est le coefficient
du terme en du quotient.
Supposons que II (x) = F' (x) <p (x) et que <p ( x ) soit de degré r ; le terme A r x m ~ n ~ r pour lequel m — n — r = — 1 donnera A r pour la fonction symétrique cherchée.
Si l’on a égard au procédé indiqué par M. Transon, on voit que la méthode précédente conduit à la détermination d’une fonction symétrique quelconque, et l’on substitue ainsi des multiplications aux divisions de M. Transon.
En particulier si l’on suppose <p [x) = 1 , le quotient F' (x)
— ■■ donnera la somme des puissances des racines de
F (a?) = o. La valeur de A, , en observant que <? 0 =
a x = (tn — 1 ) a, , . . . , devient dans ce cas
d’où
rn a 0
ar
ai
Cette relation revient à celle de Brioschi, il suppose seulement a 0 = i . (Voir Nouvelles Annales , tome XIII, page 352.)
Relativement à la division numérique dans un système quelconque, on arrive à ceci : Supposez que l’on veuille diviser le nombre
53 i 2367 par 23457
écrit, par exemple, dans le système décimal } le quotient sera de la forme
Or, d’après la valeur générale de A,.,
Aa — — î Ai
donc le quotient entier est
3 (2000 — IOO — 9 ) — — 3 — = 220.
On voit de plus que les seuls chiffres qui servent à déter-
rainer le quotient sont 53 1 dans le dividende, 234 dans le diviseur, et généralement autant de chiffres qu’il doit y en avoir au quotient. Ainsi le quotient des deux nombres précédents revient à celui de 53ioo par 234-
Il y a encore d’autres conséquences relatives à la valeur du reste de la division de deux polynômes, aux séries récurrentes, aux fonctions de M. Sturm, etc.
