RACINES COMMUNES A DEUX ÉQUATIONS
(BRIOSCHI, Nouvelles Annales, Mars i855.)
Soient
! f (x) = a<) x" 4- «, x” -1 -H ... *4 - a n — o , <p (x) = b ü xf" 4- b { x n —' 4- . . . 4- b m = o
les deux équations , x t , x s ,..., x n les racines de la première
supposées inégales, et
Supposons que les équations ( 1 ) aient r (et seulement r) racines communes, on a la proposition suivante :
Théorème. Les r racines communes aux deux équations ( 1 ) sont les racines de celle-ci :
db
Cdh m x
rir — 1 ) d r Y X r 1 4- — — r-^ r X r
db r ~ % ‘db l
db db
db w
ou de cette autre
da
af — r
d'\ da ' da
da da
da
En effet, de l’équation ( 2 ) on déduit
dX
db Si
ct^X
~db Sl db s .
db Sx (lb u db $3
OU
r, == m — s t9 r 2 = ru — ... .
Si les équations (1) ont la seule racine commune Xj, la première équation ( 3 ) donne
(lW S ' v M„ *' V ' '
et, par conséquent,
dX dX __ db,„ '
résultat obtenu par M. Riehelot.
Si l('s ('quations (1) onl en commun les seules racines
.r, , Xî, la seconde des équations (3) donne
d’où
db Sï ( lb s
db
tn
2Vi ’” db m db^~ (• r '+- r J v, .’> dbi,<~‘ ix ' x ' y '’"
et les x, , Xi seront les racines de l'équation
~dbï
db db m i
d 7 V dbl x - 1
De même si les équations (i) n’admettent simultanément que les racines jr, , x 2 , .r 3 , la troisième équation (3) fournit
Vm ' 3 ’
dbmdb m ,
2 (x, -h Xj -f- X 3 )V lj#> 5,
rf 3 V / N , r
dbdbl^y~ 2 (' r ' Xl+ *1*. + *.*»)^,,,,, gj- *,*,*, V,.,,,,
et les trois racines communes seront en conséquence les racines de l’équation
d 3 V d bl x
db m db m —
db n db ' m - ,
En se laissant guider par l’analogie, on pourrait conclure à la généralité du théorème*, mais la méthode suivante, plus
féconde en conséquences, ne laissera aucun doute à ce
sujet.
Représentons
par P, le symbole d’opération i
d \ .?(.ç — i) rfV
SX *- 1 — h — - x *- 7
d \ a , dV s(s — t) rfv
r J sx s ~~ ! - l r*—* Æ
' ^ U-Jl L? ;.**
( — I ) J SX
db m - s + {
mf
>l\ il\
En substituant pour „
db m d
de la première (3), on obtient
9***9 leurs valeurs déduites
(«) Pi = V, (X — V 2 (j: — . . ,-f- V„(.r — x,)'.
Répétons sur la fonction V une seconde fois l'opération P,, c’est-à-dire formons le carré du polynôme Pi en changeant dans les dérivées les exposants en indices : on aura de la sorte
2 SX
dbj n db m dbm- x
2 db m db m . 2 s (s — I ) ( J — 2) d 1 V
db m db
m nt — 3
ou, en mettant pour -77-7» n — n — »••• leurs valeurs tirées
r db l m db m db m -i
de la seconde (3) ,
Si l’on fait subir à la fonction V une troisième fois l’opération P,, c’est-à-dire si Ton forme le cube du polynôme Pj en changeant dans les dérivées les exposants en indices, et qu’on ail égard à la troisième (3), on trouvera
et généralement l’opération P t , répétée r fois de suite, conduira à
(d) P r = 1.2.3... rV| 1 î,3 ) „.r(j!“-ï|) , (^ (* — «rV-f--».-
Actuellement, si les équations J (x) — o, <p (a:) = o ont une seule racine commune x t , on a
si deux racines communes ) x t ,
V — O > P| — O > Pj= 2V 1# j(x — .r,)' (a: — x a ) a ; si trois racines communes x, , x 2 , x 3 ,
et généralement, pour r racines communes x n x 2 ,. . x r , on aura
P r = 1 .2.3. . .r V|,,, 3 ... r (r — x t ) s [x — x t y. . . ( x — ar r )\
Donc, si, dans le symbole d’opération P,, on fait 5 = 1, les équations du premier, second , . . . , i* ime degré
Pi = o , P, = o , . . . , P,. = o
auront pour racines respectivement la seule racine x t commune aux deux équations f[x) = 0, <p (x) = 05 les deux seules racines communes x t , x 2 , . . . • les r seules racines communes x 2 , x* , . . . , x r .
Maintenant en faisant s = 1 dans l’expression de P, , et répétant r fois cette même opération P, , on obtient
db
ni
db r m 1 db
db m db m — 1
dï>C l
ce qui fournit la démonstration générale du théorème énoncé au commencement.
Supposons présentement que l'équation /(x) =0 contienne i groupes de racines, pour le premier desquels le degré de multiplicité des racines soit r, , pour le second /■ 2 , , pour le i li,n % t\ -, et soit fait H— -t— . . . -f- j\ = r. En désignant par V le discriminant de l’équation /(x)=o,
et par P, le symbole d’opération
dV
x* sx 1
da n da n x
