l) S SX

dW

dn

— i mmm, i . ■ I

dci n — s

on aura

x t , x t , . • • ) Xi étant les racines qui correspondent respectivement à chacun des groupes dont on a parlé; et conséquemment, pour 5 = i, l’équation P,. = o aura pour racines les x t , Xi , . . . , Xi aux degrés de multiplicité respectifs r,, /y. Il va sans dire que dans la démonstration

directe de ce théorème les équations que l’on rencontre et qui sont les homologues de (a), [h), (c), (cl) n’ont nullement la forme de ces dernières.

Dans le cas de 5 = n, ce théorème coïncide avec celui de M. Sylvcster, relatif du discriminant d’une fonction homogène à deux variables [Philosophie al Magazine , mai i 852). Le grand avantage de Indétermination de 5 consiste dans la possibilité de déterminer les équations qui ont pour racines les racines communes ou les racines multiples; et cela par la simple supposition de s = i.

Si X x — Xt = . . . = X{) c’est-à-dire si l’équation f[x) = o admet r+ i fois la racine x t , en faisant s = i, on aura, comme corollaire du dernier théorème ,

P '- = TT" ( * ~ ) r >

da n

et, par suite

dci n da n — i

d r V dOn

pour l’expression de la racine multiple.

L’extension de la méthode au cas de trois équations à deux variables ne présente aucune difficulté. Supposons que les équations f (x, y) — o, <s> (x, y) = o admettent les couples de racines communs

et soit

+ (*» 7) ■= "0,0 4 («...H- «m 7)- rW l

4- ( "m,o 4 «m.i 7 4 ... 4 a m ,m J™) = O une troisième équation. Si l’on fait

on aura

v.+^rv;* v a +

Lors donc que le seul groupe (x,, y ,) donnera tp (x' : ÿ) == o, il viendra

d’où

(lUm— i,o

ce qui fait connaître Xi et 7^. De même, si les deux seul s groupes (x t ,71), (x s , 7*) de la suite (h) annulent if (x, y) ) on a

<l l V d ( lm, u

( ^m , 0 dû/n— i,o

— (7i+7») V «.i> = (•»*. 4 .r.)V, JÏ ,

et ainsi de suite.

On pourrait donner à ces résultats une forme plus générale, comme dans le cas de deux équations;- mais la chose ne présente pas de difficulté. On pourrait aussi obtenir les conditions analogues à celles de Lagrange, pour que trois ou un plus grand nombre d’équations admettent des racines communes. Pour le cas précédent, par exemple, on aurait

dV d>\

d(l m , u dci m , o