PQ = R
différentiée successivement par rapport à « r>1 , .... a r , n
donne, en ayant égard aux équations ( 27 ) ,
dV d R dK d R
da r ,\ dh r> » dh rA dh rn
d P f/R ci R
ddr 9 i dh r>x dh r ^
Q- =-rr-C
da
dh r ,n
dK dJT
Cn.n
Multipliant ces équations par 4“^’ 4^ > et
faisant la somme des résultats, on a
dc til
i da r>7 dc s t 2 da rn dCj'fi dh r s
en se rappelant que l’expression
de,..
de s , 7 de,,,,
d’après ce qui a été démontré au § III, est nulle ou égale à Q, suivant que les indices r, 5 ont des valeurs différentes ou des valeurs égales .
Si les éléments du déterminant P sont respectivement égaux à ceux du déterminant Q , la formule (33) donne
d’où, en particulier, si /• = s,
05) ( " y+ ("LV+...+ ( "lv = " .
\r/rr r ,i / V«r,a/ \r/« r ,»/ r/// r>r
* Exemple :
— ( a ? *+" Pî *+" 7Î) ( a ï *+• Pî -+* 7Î) ~ («t« 2 -f-pj p 2 -f- y, y 2 ) 2 .
Il est évident que par la différentiation on peut obtenir d’autres relations entre les déterminants P, Q, R; nous noterons seulement les deux suivantes. Différentions l'équation
da r ,~ dh r , ri*r/‘“ '"••• par rapport à c ,. iySi , et l’équation
Cn,
r/P r/R ^ da r>Si ~~ dh r>i x>s '
dhr, 7
dhr, n
II, s.
par rapport à £ ri> ô eu soustrayant les résultats, il vient
d P dQ d P dQ
dhr,f dh Ut r (
où l’on doit attribuer à u , v toutes les valeurs i , a , . . . , n. En différentiant (36) par rapport à o r s et se rappelant
les équations (5) et (6), on a
da r . t <t<*r r ' x
dh f)f dh rytl
Si l’on suppose que les éléments du déterminant P sont respectivement identiques à ceux du déterminant Q, on a
et, par suite, eU comparant les deux équations (37), (38), on retrouve l’équation (i4) établie au § III.
Considérons les deux systèmes d’équations
Ct .t — — -h c , j2 — h • • • -+* C, , n — — Ur,i ,
'■'da rA dV
da r ,i
dV
da r .
= Hr.l,
d P rfP
dci r> \ da r>1
ddr.n
dq dq dq
a - , d^ l + + • • • + a "' - Kr -' ’
„ „ rf Q . ^Q K •
«C 2( , mC 2>} «C 2>n
</Q dQ
dc ntl ’ r '" dc n>7 ’ ""
En multipliant les équations du premier système respecti*
dQ d Q
veinent par -y-^* -7-^ > • • •> et ajoutant les résultats,
dc ltl dc 7)l dc nit J
on a
O clP - H d( * - 4 - H -4- - 4 - 1 .
V ~7~' ‘‘r.l —j h H fi 7 h • • • -f- Ilr,/i “J 7
“tfr.i «C|,| dc-i' 1 «Cn, t
et l’on obtient d’une manière analogue
dP __ H rf Q , H dQ -u -UH
“r,l “7 -h tl r>2 h . • . 4“ xlr.,, — î
ddr ,2
dc lt .
de
dc n<l .
dQ
dc un
H r fS
<fc 2 ,n
dQ ■ ■ •
de n ,n
Ces nouvelles équations multipliées respectivement par i a rj 2 . . puis ajoutées, donnent, en ayant égard au
second système ,
(39) PQ — Hr.i K-r, 1 -t- H r>î K r , 3 4- . .. . 4- H r , M K r , n %
et ces mômes équations multipliées par a S)i a Syi . . . a SfH , puis ajoutées, donnent
o — H r> , Kj,i 4- H r , 2 K Jf »4- • . . 4- Hr,« K^,|.
Les H r ,i, H r>s , . K J)2 . . . sont évidemment des déter-
minants du n ihne ordre.
Applications .
i°. Imaginons un tétraèdre rapporlé à trois arcs. rectangulaires ayant leur origine au centre de gravité de l’une des f^tees. Soient a , b , c les aires des autres trois faces, a,, ( 3 ,, 7,5 a 2 , a,, /S 3 , y 3 les cosinus des angles que
les perpendiculaires abaissées de l’origine sur les plans de ces faces forment avec les demi-axes positifs des coordonnées. Soient enfin x u 74, z , 5 j^/î, z 2 \ x 3 , y 3 , s 3 les coor^données des centres de gravité des mêmes faces, et c le volume du tétraèdre.
Par un théorème connu dû à M. Cauchy, on a les neuf
équations
Kn posant
fla, jr,4- b a -f- ca. 3 x 3 z=z v %
a ai/i -H &a 2 Jï -4- c « 3 / 5 = o t « a, z, -f- ia, 2 , + ca 3 2 3 = o J
« P>/. -f- £ PîJj -H c p 3 j 3 = f/, p, z, -f- 6 p 2 z 2 -f- Cp 3 z 3 — o ;
« 7 < J< *+* ^ 7 *Jî ■+■ c 7^ 3 = o, «7i Zi H- ^7ïZ 2 -h C73Z3 = v.
tï a, b a 2 c a 3
«P, Ôp 2 Cp 3
= abc
Pi P2 Pi
on a
