PS

d’où

Si dans la seconde des équations (42) on pose s = i, 2,..., /i, on obtient n équations , d’où l’on peut déduire les valeurs a r>1 , a ryt . . .a ryn . On trouve sans difficulté

i dS n ° r, ~s rfa r , f P ’

et, par suite, d’après l’équation ( 43 ),

En désignant par T, V les déterminants à éléments réciproques correspondants aux déterminants Q, R (28), (29), on aura

T = Q"” 1 , V=R" et, par suite, d’après l’équation (3o),

c’est-à-dire, le produit des déterminants à éléments réci-« proques correspondants à deux déterminants P, Q, est égal au déterminant à éléments réciproques correspondant au déterminant R produit de P et de Q,

Applications.

Considérons les équations (20) et désignons par x r>i l : . . . : x r>n les valeurs des rapports x x : X* : ... : x^ que l’on déduit des n — 1 équations qui restent quand on exclut la r ième . Nous aurons

En substituant ces valeurs dans le déterminant

on aura

\ étant une indéterminée. Si l’on suppose x r , = i, il en résulte

— ,j 5tî,j • • & n,s •

Au moyen de ees formules on peut résoudre les deux problèmes suivants : i° trouver Paire d’un triangle connaissant les équations des côtés; 2° trouver le volume d’un tétraèdre étant données les équations des faces.

Les équations (43), (44) et l’équation (i4) trouvée au S IIÏ appartiennent à une série de relations qui existent entre les déterminants de déterminants, et que l’on peut déduire de deux formules générales, ainsi que nous allons le démontrer.

Considérons les deux groupes d’équations (16), (*7), et écrivons de la manière suivante i-f-i équations consécutives quelconques prises dans le premier de ces groupes :

” {&r, 1 1 ~ flr,s — 1 &s — 1 "t - ^r,u+\ • • • H - A r.n ^n)i

(l V) x Jl s -j~ &s +- 1 H I - *4“ a ¥M X u — U ¥

.r, -f- . . . -+- rty,s— I - r s— ! H-

“H • • • fl v,n '^n 1 j

ou

Kn désignant par P, v „ le déterminant

&r,s d r,s-ht • • ■ rtr,u— l &r,m

• • &v,u—i Mv.m

et tirant des équations précédentes la valeur de x u , on établit aisément l’équation

Pp,i x \ 4~ • • -h Pp (î — i &s— i 4- P*., M X u 4* • • • 4“ P»>,h •**«*

(iVy, u

^Pp.u do r+ 1 iU

^Pp.»

Ecrivons maintenant de la manière suivante // — i équations convenablement choisies parmi celles du groupe (17):

sq.i u \ 4~ • • • 4- *r— 1,1 u r— 1 4- «p,i u v 4- . . . 4- ««-, 1 u H z= P x \ ( a r, I /<r 4“ . • • 4" a p— 1,1 Wf-I )»

«l s 2 4- • • • 4“ a r~ I.» w r— I 4- a„, 2 «p 4” • • • 4- «M,ï Un P X? — ( 3t r ,ï Ky. 4- • « • 4“ C£ y — i p 2 Mp — 1 ) y

* 1 , 5—1 «1 4“ . . . 4~ « r — i,i — 1 u r— 1 4- «»,5 — 1 m p4- . . • 4“ ««, 5—1 w « = P-r t — 1 — ( &r,s — 1 u > 4- • • . 4- ctp- 1 , 5— 1 w, t ) ,

♦ • • 4“ */•— 1,1» Wr — 1 4“ «P. H Wp 4" • • • 4“ */!,« W„ P X n ( *r,n W r 4“ • • « 4“ &p— i,n Mp— |J.

En tirant de ces équations la valeur de on obtiendra sans difficulté

Sr,H U r 4" 4~ • • • 4~ Sp,u U v P

(46) ( dS,, u dS„ u , ds,.„ rfSv

Xi — 4- , , . 4* 4T 4 | — 4“ X u 4” • • • 4“ X „

<lS*,u \

où I on a fait

Observons que les valeurs x u déduites des équations (45), (46) doivent nécessairement coïncider, puisque au moyen des équations (16) on ne peut exprimer que d’une , seule manière la valeur de x u en fonction des quantités •Xu+i?*"? x„ \ u ry // r+ i v .., u v en nombre n. D’après cela , en égalant les coefficients de u r + a (pétant un quelconque des nombres de la série o, 1 . . . i) dans les deux valeurs de x n dont il s’agit, on obtiendra l’équation

n dS„ tU n c

d a F,« dü r + 0tU

On en déduit, en supposant a = /,

p dS y fU

d cc 9iU

d ?y, U da 9%

— Pf,U

et comme

dSy.U c

dVy,U

d r Xy,u

dûy f u

on aura

et, par suite

GO

Pt'+c — 1

;u-t-c — 1 S» fl<

Si dans cette formule on fait /*= s = 1, 011 trouve celle qu’ont fait connaître MM. Jacobi et Spottiswoode.

Il est évident qu’on pourra obtenir une seconde formule analogue à (47) en soumettant à l’opération ci-dessus indiquée i-f- 1 équations consécutives quelconques du groupe (1 7) et n — i équations convenablement choisies parmi celles du groupe (16). On arrivera ainsi «à la relation

djtns laquelle

n dS Ut , dV Uf9 n c

d OCu, 9 d(i HtV

Cf )>9 . . . — 1 ,v

• Oi f r — 1

Ou,m

Ou,r+i

Ou,i • •

On,m

On,Ÿ+i

et en observant que

<lV u ,r

d(iu tV

on atira

Si dans ( 48 ) on pose i == o , et, par suite, v — r, u= s , et qu’on fasse attention que

il en résultera

Pf— l,j— I I, S r>x S,

P C 8r+c,J-»-c :== Pr-t-c — 1 • S,

formule qui comprend comme cas particulier tant l’équation (43) qui s’en déduit en posant r = j = 1 , que l’équation (44) qui en résulte en supposant c = 1 .

Pareillement si dans l’équation ( 5o) 011 fait i = o et qu’on observe que

il vient

De -i p — C

1 r i-+-c,r-+-c — &s-hc — l,r+c— i »

formule qui reproduit l’équation (i4) quand c = 2 * Applications .

i°. Soit représentée par

( 5 I ) IJ £ r d r ,r & r ”1“ 2 2 r Or, s & r &s ,

(*) Les équations F r , i 1 = 1, 1 résultent immédiatement de

l’inspection des identités

=î etc.

a Sir ) une forme quadratique de n variables. Observons que le déterminant P est le discriminant de la fonction U, c’est-à-dire le premier membre de l’équation que produit l’élimination des variables .r 2 ,. . ,x„ entre les équations

r/.r, (lxi ’ ’ dx n

La forme quadratique à n variables