V . — ■ 2 r a fif 3^ -f- ^ 2,- 2, u r>} z r z s
dans laquelle a, v = se nomme la forme réciproque de
U. On voit sans peine que la fonction ^ peut se représenter de la manière suivante par un déterminant :
• • Gi,n
et la réciprocité entre les fonctions U et V devient complètement manifeste quand on fait attention qu’en vertu de l’équation (44) la fonction U peut se mettre sous la forme
Supposons
z, = a tf , -+- n, >2 x 2 -f- <*i,«
.Te dis que dans ce cas on aura
Pour le démontrer, rappelons (page 5) que si aux éléments de la dernière colonne du déterminant Y on ajoute respectivement ceux de l avant- dernière multipliés par — x n , puis ceux de rantépénultièmc multipliés par — x n i , et ainsi de suite, la valeur du déterminant n’est pas altérée; mais en effectuant cette opération, le déterminant V, à cause de(5.), (54), se transforme dans le suivant :
l ^#i,2 • ^n,n O 3 ( Zv • ê Z" ■■ — II
Donc l’équation (55) est réellement vraie.
L’équation U = o , pour n = 3 ou n = 4 représente une conique ou une surface du second ordre : dans chacun de ces cas l’équation V = o représentera la polaire réciproque correspondante.
Les formules précédentes sont d’un grand usage dans la théorie des polaires réciproques et dans d’autres questions géométriques relatives aux lignes et aux surfaces du second ordre. La formule (55) peut conduire à la solution de ce problème : Étant données V équation d- une conique et. les coordonnées d'un point situé dans son pfatij établir un critérium qui permette de dire si le point est intérieur ou extérieur à la conique.
Puisqu’un point est dit extérieur ou intérieur à une conique suivant qu’on peut ou non de ce point mener deux tangentes réelles à la coniquè, le critérium cherché résultera de la réalité ou de la non-réalité des coordonnées des points d’intersection de la conique avec la polaire du point donné. En conservant les dénominations de l’application i° du § IV, on trouve facilement que la condition à vérifier pour que les rapports x ! y \ z des coordonnées de l’inter-
section de la conique <p (x, y, z) = o avec la polaire du point (a? 0 ,^ 0 , z 0 ) soient réels, est la suivante :
où l’on a fait
Zi
Xt
x, = ax 0 4- /i/o +■ fio , Xi — hx 0 -h ci y 0 4 - ez 0 , z, —fx 0 4 - cjr 0 -h cz 0 .
En vertu de (55) > le critérium cherché sera donc
?(*•» Xo, *•)
Ainsi le point sera extérieur ou intérieur, suivant que les deux facteurs du premier membre auront des signes contraires ou des signes semblables. Remarquons que le premier de ces facteurs s’annule quand le point est situé sur la conique*, et le second quand la conique se réduit à un système de droites.
2 0 . Considérons le déterminant
ai
la formule (i4) donnera
d’H dH <m dH dH $ y fi S d y. tià d$ d*y
ou , en conservant les notations de l’application i° et supposant a rjjr =za t?r , « = f3 = y = <? = o,
