ON
formule connue.
3^. Supposons que dans les deux fonctions quadratiques U, V l'on ait
«r,* = tf*,r = 7r,i 7'.» "+" 7r,J 7s,i "h ... H" fr,n fs.nj Ar,s = A,,r = 7,,r 7i,, -H 7a,r 7a,, -+-...-+- fn,r tn,sy
dans ce cas, les deux fonctionis sont équivalentes, c*est-àdire peuvent se réduire à une même fonction par le moyen d'une substitutfon linéaire. Ent^ffet, soit H le déterminant
7m t^.^'" 1/hn 72,1 7a,î . . . 7a,n
7«,. 7n,2- • • yn,n
d'après (67), on aura
F =r TV = HS
(6d) c'est-à-dire les déterminants P, N que Ton obtient en effectuant le carré du déterminant H par lignes ou par colonnes seront égaux en valeur absolue, mais de formes différentes. L'égalité des deux fonctions U, V sera démontrée lorsqu'on aura mis en évidence celle des coefficients des mêmes puissances de X dans les deux équations du n'*"** degré
«ï,i «2,î — >... ûa,„
«ii,ï
Aj^i — À Ai^a ... A|,B
Aj^i Aj^a "— À... Aî,ii
An,i A/1,3 ... Ait,ii — — A
Or le coefficient de X"* dans la première équation est formé par la somme des déterminants mineurs principaux du jj^ieme Qrdrc du déterminant P, et le coefficient de X"* dans la seconde équation n'est autre que la somme des déterminants mineurs principaux du m"'"* ordre du déterminant P( . Et comme d'ailleurs
il en résultera
c'est-à-dire que les coefficients de X"* dans les deux équations en question seront identiques.
Exemple, — Les ellipsoïdes représentés par les deux équations
(flior-hè, j-f- c, 2)2+ («a a: 4- h^y-^-c^ zfA- («3^ -h ^3 J+ ^3 z)^= ^% (fl, x-*-fla r +«3 2^)'-4- (^ , a: H- ^aj -h ^3 z)'H- (^1 «a; -H Ca j -h C3 z)'=: /-%
sont égaux entre eux (*).
(*) Nouvelles Annales de Mathématiqnes rédigées par M. Terquem. Juillet i853.
(6.-) 4^. Le système d^équations algébriques linéaires
ûa,i ^1 4- ûa,a Xj + . . . -f- «2,* X, = u^ ,
««,1 ^1 -h «ii,a ^2 -f- ... -h On,, Xs =Un,
dans lequel n ^ ^ , est nommé système surabondant, par la raison qu'il est composé d'un nombre d'équations supérieur à celui strictement nécessaire pour la détermination des inconnues.
Supposons que les quantités Ui , Ut , . . . , u„ soient liées par les s équations
Cx,x M, 4- Ca,i «2 H- ... 4- C«,, tt„ = P,, Ci,2 Wi 4- tj,3 Z^a 4- . . . 4- ^n,j «n = t'a,
\ C»,i U\ 4- Cj,, w, 4- ... 4- C„,, Un = ï',.
En substituant dans ces dernières équations pour Ux^ Ut,..., Un leurs valeurs données par (68) , on obtiendra
hx,x Xi 4- ^j.i X, 4- ... 4- /*,,! «i = «'i ,
/ . I ^i,a ^i 4- /i2,a ^2 4- ... 4- hs,i X, = Vij
\ A(,, ^1 4- ^2,* j:2 4- . . . 4- h^^s ^s = ^sj où
(71) «i,rC|,, 4-Û2,rr2,, 4-. . .-+-«n,,.C„,,= ^r.,.
Des équations (70) on déduit
dR dH du
an,^i «/«i,2 "^i,i
dR dR dU
r/H du dR
dhs,, dhs,i dks,.
(6a) H représentant le déterminant
ht,x A,,j. . . h,^
et si dans ces dernières on met à la place de v^ 9 ^i ,. leurs valeurs données par [6q\ , on obtient
ou
Hj?, =±: ^,,t a, 4- ^#,1 «ï +. . -4- ^,,ntt«,
""r,! — ^1,1 37^ 1" ^i,a "Jj^ — "♦"• • • H- ^j,5
Maintenant si Ton observe que par (71) on a
il en résulte
et en substituant,
Ha:, = tfi ^7- h «:
(72) . ( • ««,,, €Wa,2
dan,x
Hr, = a, -3- h «2 -
rfH
Le déterminant H est un déterminant mineur principal
( 63 ) V de Tordre (n — 5 )'*"•' du déterminant R (ëquat. 28)-, par conséquent, eu le représentant, conformément aux conventions du § Vn, par le symbole ^"""'^Ru,»» on aura, semblablément à (61),
Par là, les équations (79.) prendront la forme
X, 2, C^JPu.. ('--)Qa„ = a, Ir (-')Q.,. fLÎ!;!!^^ 4.
'««2rf'^"Q„
€il.
Observons que le déterminant ^"~'T„,r contient seulement un nombre s* des éléments qui constituent le déterminant P, et que les premiers indices de ces éléments ne peuvent se trouver parmi ceux de la combinaison u. En représentant par
«r,,i «rj,i • . . «r,,l
ar,,s ar^,s' . . «r,..
le détermÎYifant ^"""'^Pujr? les équations (73) se transforment
en
X, Ir (»~*)P„.r ("-'^Qu,r = 2r ("-^>Q«,r ^
a:, Ir (»-')Pu,r ("-^>Q«,r = 2.. ("-'^Qa^r ^
d (^~-'^Vu,r
dar,.
rf ("-'^P«,r
:C, 2, ("-')P„,, (»-')Q„,r = 2r ("-*^Qu,r '
Ti 5 Tj , . . . , r, étant des nombres différents entre eux et appartenant à la série i, 21 v * - ) ^'
Si maintenant on prend 5 des équations (68) , par exemple celles où les Mi, Mj,.»'? "n ont les indices Ti, rj,..., r,, pour en déduire les valeurs de aîi , Xj , . . . , x, , on a
(75) ( ' «^«r.,1 ' dar^^
{X,) («"-^)Pa,, = Ur^
da..s
les â?i , oTs V • 9 étant placées entre parenthèses pour rappeler qu'elles sont déduites d'un système surabondant. Du rap-
(65) prochement des équations (74)5 (yS), il résulte
et si les coefficients des Xi, x^, . . . , dans les équations (68) étaient respectivement égaux à ceux des i/i , i/i , . • • 9 ^^^^ ^69), on aurait
__ 2.(("-^)P«..)»{^.) 2,((^-OP,,,)'(a :0
z.(<"-^)p„.rr(xo
§ Vin. — Z>e5 déterminants gauches et des déternunants symétriques.
Un déterminant P dont les éléments satisfont à Téquation
ttr,! ■+• as,r = O
^e nomme déterminant gauche. Et si en même temps ces •éléments satisfont à cette autre condition
ar,r = O ,
le déterminant gauche est dit symétrique,
La considération des déterminants gauches symétriques doit précéder celle des déterminants simplement gauches , par la raison que ces derniers peuvent s'exprimer au moyen des premiers. Pour démontrer cette propriété, observons qu'en général un déterminant P quelconque peut être ex-
(66) primé au moyen de déterminants dans lesquels les éléments principaux sont nuls. Effectivement, en désignant par P© le déterminant dans lequel on suppose égaux à zéro tous les éléments principaux, et par (^"*^P,,,)o un déterminant mineur principal du m**"* ordre du déterminant P, dans lequel déterminant mineur on suppose aussi nuls les éléments principaux y on a évidemment ^
+ 2, 2, a,,, a,,, (("Pi,,), + . . . + a,,, a,,,. ,
Exemple.
«1 pi 7t
«2 pj 7»
ttj o
op,
Actuellement si le déterminant P est gauche , il est clair que les déterminants mineurs principaux (^"*^P|,,)o sont gauches symétriques , ce qui met en évidence la propriété énoncée.
Les déterminants gauches symétriques se distinguent de toute autre espèce de déterminants par les deux propriétés suivantes qui leur sont particulières.
i*^. Tout déterminant symétrique gauche d'ordre impair est égal à zéro. En effet , observons que le développement du déterminant P supposé gauche symétrique et d'ordre impair contiendra les deux termes
±flr,i «1,5
^r-Hl,2 "r-Ht,3'
:«i,rÛM
O rî;,,
^ï,r— I Oi,M-\
»n,a wn,3
^H,r—l ^Jl,r-+-I
Maintenant si Ton multiplie les éléments de chaque c<h lonne de ce dernier déterminant par «^ i , qu'on observe que ces mêmes colonnes sont en nombre impair puisque n est impair, et qu'on ait égard à la relation a^,, -f- û,,,. = o, ce second terme pourra s'écrire
-4- fl|,r Û*,i
^r— l,n "r-»-l,ii
et comme ce dernier déterminant est identique au déterminant du premier terme, et que û^,i ^i,, = ûi,r û,,i , ces deux termes se détruisent mutuellement. Par conséquent, il ne restera dans le développement dont il s'agit que les termes de la forme
±ûr. r<?r,l
<Ir— 1,2 û^r— 1,3» • • O
«r-Hl,J ^r-|-l,3 • • • «r+l,r— l
Mais ce dernier déterminant est symétrique gau'che et d'ordre impair (n — a) ; par conséquent, tout déterminant symétrique gauche et d'ordre impair sera nul quand il en
(68) sera de même du déterminant symétrique gauche du troisième ordre. Or le développement de ce dernier déterminant étant
la proposition est vraie pour le cas général.
2*^. Un déterminant gauche symétrique d'ordre pair est un carré. En effet, le développement du déterminant P contiendra les termes
o at,i . . . «î,r-i «a,r-|.l • • . «»,«
«r— 1,2 «r— 1,3* • • O flfr— I,r4-I • • • «r— i.n
««,» «»,» • • • «Ji,r— I «Ji,r+i . . • O
O a»,s . . . a2,,, «2,1+1 . . . «2.II
±2fl,,;.a,,.
O éïj^s , • . ûj^r— i «2,r+i • . • Ûj,n
Les coefficients de a*^, a'^, ± aaj,^ a,,, peuvent se représenter respectivement par
tia,^r dar,x da^^s da^,,,
da^^r ^«1,1
(69) Maintenant, par la formule (i4) 9 on a
rf'P r/P dP <f'P dV dV
c/'P dV dV doi^r da,^\ doi^r dOj^i
a cause que - — = o, comme étant un déterminant gauche
symétrique d^ordre impair. Ces équations , en faisant attention à celle-ci :
dV __ dP dor,, da,^r
qui a évidemment lieu pour un déterminant quelconque sy*. métrique gauche d'ordre pair, donnent la suivante :
/ J'P y rf'P d^V
\dax,r das^i) '^ dox^r dor^xdat^, da,,x
qui met précisément en évidence la propriété que possède le déterminant P d'être un carré.
Par là , le développement du déterminant P pourra ^tre présenté sous la forme
ou plus généralement
<") -=!^'*'--(sffc;)T'
expression dans laquelle il faut faire , après les diiTércntiations, aj,i = a,,, = . . , = o. Il est bon de remarquer que
le déterminant
trique gauche et d'ordre pair n — 2 Exemple. — Supposons
(7«) est un carré , comme étant symé-
on aura
fla,*
c'est-à-dii
En désignant par H la racine carrée du déterminant P, il est important de démontrer que cette quantité jouit d'une propriété analogue à Tune des propriétés principales des déterminants. En différentiant l'équation P = H* par rapport à a^,,, il vient
où l'on n'a pas mis dans le second membre le coefficient 2, à cause que dans le premier la dérivée de P par rapport à a^^s représente le déterminant du (/i — i)'^"^ ordre que l'on déduit de P en supprimant la s'^'^ colonne et la r***"* ligne, c'est-à-dire en n'ayant pas égard à ce que «,.,, = — a,y^ tandis qu'au contraire cette relation est prise en considération quand on différentie l'expression algébrique de H. En élevant au carré l'équation précédente, on a
/^Py /^/HV
et comme
il en résulte
(— ^IL- V=±— • \dar,r da,,,j dOr..
Cette valeur substituée dans (77) donne et, par suite,
équation qui exprime une propriété de la fonction H analogue à une propriété connue des déterminants.
Mais la propriété caractéristique de cette fonction H ré- Siide dans le changement de signe qu'elle subit lorsqu'on permute les deux indices. Permutons en effet dans H les deux indices r, s\ comme dans les termes de cette fonction qui contiennent Télément fl^,, ne figurent pas d'autres éléments affectés de ces mêmes indices, si Ton désigne par H| ce que devient H après la permutation mentionnée , on aura
Or quand on effectue cette permutation dans le déterminant P, il ne change pas de valeur et se ramène aisément à sa forme primitive; par conséquent, d'après Féquation (78), on aura
dOr^s dur, s dar,s
et, par suite,
Il est évident que si Toii permutait deux groupes d'indices, le signe et la valeur de H resteraient les mêmes.
AppUcation,
Désignons par q^^ q^,, , ,^ q^jU variables indépendantes en fonction desquelles sont exprimées les coordonnées des différents points d'un système en mouvement, par T la demi-somme des forces vives et par /?i, /?«,.••? /^n les quantités
dT dT dT
dq, dq, dq^
On sait que les formules pour la variation des constantes arbitraires , quand on a égard aux forces perturbatrices , contiennent des expressions analogues à l'une ou à l'autre des deux suivantes :
[doi da, doi da,\
où r doit recevoir les valeurs i , 2, . . ., 2 n , et où ai , as, ... ^ atn sont 2^ constantes arbitraires introduites par l'intégration des formules du mouvement, en y supposant nulles les forces perturbatrices. M. Cauchy a démontré {*) que ces expressions sont liées par 2 n groupes' d'équations de la forme du suivant :
ûr,i fj,» -h«r,ï Cj,j -f- . . . 4- ÛTr.jn Ca,tll =0, (79)
Or,\ Cin,ï -h ^r,2 <^2ii,2 +...-*- «r,2« Cj„,a„ = O,
( *) Journal de Liouville, lomc U. Comptes rendus des séances de l'Acadé~ mie des Sciences, }m\\et i853.
(73) OÙ l'on fait, pour abréger,
[ai , «i ] = c,„ , ( fl/ , fl, ) =: a,^,.
Les expressions c,-,, , a,-,, vérifient évidemment les relations
Cs,s = Os,s = O , C,,, = — Cs^i , fl/,, = — Og^i ,
et, conséquemment, les deux déterminants
«an
^2n,l ^2»,» • • • ^2ll,2il
sont des déterminants gauches symétriques d'ordre pair.
Observons que, d'après (79), il existe entre P et Q la relation toute pareille
PQ=i,
et que, de ces mêmes équations (79)9 on déduit
I dQ
ou bien en faisant Q = K* et observant que Féquation (78), donne
on peut écrire
dQ dK 3 = A. -j 9
a Cr,s « Cr^,
I rfK
équation qui donnera tous les («,>«*) en fonction des
L^équation (76), à cause des deux propriétés démontrées pour les déterminants gauches symétriques , acquiert, quand on suppose P un déterminant gauche quelconque une des deux formes :
pour n pair,
pour /» impair,
Si les éléments principaux sont tous égaux à l'unité , ces deux dernières formules deviennent
et comme les déterminants gauches symétriques d'ordre pair Po, (^*^P/,/)o, (^*^Pi,i)î • • • ? sont des carrés, le déterminant P sera égal, tant dans le cas de n pair que dans celui de n impair, à une somme de carrés.
Exemple. — Pour » = 4 ?
P = (fl,,j fl3,4 — a,,3 ûf,,, 4- «1,4 «V.3 )'
et pour/î= 3,
Considérons les deux groupes d'équations «I,! J?iH-«i,2 a:, 4-.. .4- «i.« a:„=£^, «2,1 J?i 4- «2,2 a:, 4- ... 4- «2,» a:„ = a, ,
«11,1 a:, 4- ««,2 ar, 4- . . .4- <7„,„ x„ = ««,
«!,!• -^1 4- «2,11 0:2 4- ... 4- «/i,n ar„ = f„,
où l'on suppose
nr,r = I «r,* 4" «j,r = O.
(75) En multipliant les équations du premier système respectivement par
et ajoutant les résultats , on aura
OÙ Ton a fait
Désignons par P le déterminant gauche formé avec les éléments a,.,,, et, ayant fait «^,, = -r — > supposons que Ton ait
P Cr,i = 2 a,,r, P Cr,i = 2 a,,r . . . ,
f Pc,,^ =r 2 ar,r — P. . . , p Cr,, = 2 a„,r ,
il viendra, d'après (82 ) ,
et, par suite, l'équation (81) se transformera dans
0|,r ^1 -h «2,r X, H- ... -h flfl,r J?« = <?r,l M|
H- Cr,2 «3-f-. . -hc^,» ««.
On aura donc, par l'inspection des équations (80) ,
•'/i = ^n,i «i-hc,,, M2H-. . .H-c„,„ tf„.
En Opérant sur le second groupe des équations (80), comme on vient de le faire pour le premier, on obtiendra
Un = t-,,„ i', + C7,n t'a 4- ... -h Cn,n *'«.
(76) Du rapprochement de ces deux derniers groupes , il résulte que les coefficients c^,, sont liés par tes — ^-
équations
ICi.r Ci,i -+- e,,,''c,,'-i- . . . -t- Ca,, c„,, = o ,
et , comme le nombre de ces coefficients est n', un nombre — ^ '- d'entre eux resteront arbitraires , et l'on pourra
déterminer les — ^ autres en fonction de ceux-là : ou
encore on pourra déterminer tous les n* coefficients en
fonction de — ^ — r— ^ quantités arbitraires. Les valeurs des
coefficients c^,y fournies par (83) , satisfont précisément à ces conditions, puisqu'elles vérifient évidemment les équations (84)9 et les quantités a^,,, en fonction desquelles
ces coefficients sont donnés, sont en nombre — ^ ••
Exemple, — Soit
= I-hV-hf*' + vS
I V fit
fit — "k 1
on aura les neuf équations
I^a,= i-HV— fA*— v% hbx=!i (Xf* — v), hc^zzz 2 (Xv + f*),
^flr,= 2(XfJi-hv), ;i^,= H-fii'— X»— v% Ac2=2(pv— >),
^«3= 2(Xv — pt), hb,=z 2 (p + X), Ac3=:i-hv'-V-f*'
et les quantités Aj , ag , . . . , liées par les six équations
a] -i- b] -+■ c] = I, ^ïifli+ ^1 èa4-r,C2 = o, ^î -+- ^ j 4- ^' = I , «, «3 4- ^. ^3 + <^i ^3 = o , «3 + ^î + cj = I, «2^3 + ^2^3 -f-C2C3=: o,
(77) pourront représenter les neuf cosinus des angles que deux systèmes d'axes rectangulaires comprennent entre eux. Dans ce cas , les quantités arbitraires X , ji , v sont susceptibles de recevoir une interprétation géométrique, comme Va fait voir M. Rodrigues (*).
Il est bon d'observer que dans le cas où deux axes de l'un des systèmes ne feraient pas entre eux un angle droit, c'est-à-dire dans le cas où
ûi «s H- ^» ^3 -H Ct Ci = «i>,
on pourrait déterminer les valeurs des neuf cosinus en fonction des trois quantités X , fA, v et de o)*, car il est permis de conserver à six de ces cosinus , par exemple à ai, ^i, Ci, a^j bij Ci leurs valeurs précédentes 5 et les valeurs des trois cosinus a^, £s, c, seront données en fonction de X, fx, V, cd au moyen des équations connues
ûi (i — «*) = èî Ta — bi c,,
bi (i — «') = cj flj — C3 flj,
applications.
i^. Théorème. — Le déterminant
«st égal k zéro pour n impair, et égal à 2" ^ pour n pair. En effet, en substituant dans H pour Cj,i, Cj,j,..
(*) Journal de Liocyille, tome V. Les formules trouvées par M. Rodrigues ne diffèrent que par la forme de celles données par Euler et par Loxell dans It tome XX des Novi Commentarii Àcademiœ Petropolitanœ, 1775.
(78) leurs valeurs (83), il vient
• P aj^i ... a„j
et en multipliant ce déterminant par le déterminant P, on obtient aisément
Maintenant si n est impair, le déterminant du second membre étant gauche symétrique et d^ordre impair sera égal à zéro et Ton aura H = o , et si n est pair on aura
Dans le cas de /ï == 3 , ce théorème renferme la démonstration d'une propriété énoncée par Euler et qui a lieu dans le mouvement d'un corps rigide (*). Celte propriété consiste en ce qu'il est toujours possible d'assigner une droite passant par un point arbitraire du corps (le centre) , mobile avec lui et telle, qu'au bout d'un temps fini quelconque elle se trouve parallèle à sa direction initiale. En désignant par x^ y^ z les coordonnées d'un point du corps par rapport à trois axes fixement attachés à ce corps , les cosinus des angles que la droite passant par ce point et par le centre fait à l'origine du mouvement avec trois axes fixes dans l'espace coïncidant à ce même instant avec les axes mobiles,
(*) Theoria motus corporum n'gidorum, 1740. Cette propriété a été démontrée par Piola, au moyen des formules de Monije, dans un Mémoire publié dans les Actes de la Société Italienne des Sciences^ iSîp.
(79) ces cosinus , dis-je, ont pour expression
^x» -f- J' + «* V^«* + 7* -h «' V^a:*-hr* + z*
et les cosinus des angles que la même droite fera avec ces axes fixes au bout d'un temps fini quelconque seront
sjx^ H- r' + »' y/x« -4- j» -h «' ^/^np^Tipp
ai , as , . . • , désignant les neuf cosinus des angles que, etc. Pour le parallélisme des deux directions de la droite dans ses deux positions , il faudra donc que l'on ait identique-
ment
et, par suite,
û, — 1 bi Ci «3 bi ^3— I
ce qui a effectivement lieu d'après le théorème démontré. Il n'est pas inutile de faire voir comment on peut arriver directement à Tinterprétation géométrique des indéterminées X, fz, V dont on a parlé un peu plus haut. A cet effet, remarquons que les équations (85) donnent
>fl, +fA^, -hvc, =rX, Xflj 4- fA^3 -h vr3 = V.
On pourra donc poser
> = X- CCS a , fjt == ^ cos p , V = Â- cos 7 ,
(8o) k étant une indéterminée, et a, P, y les angles que la droite qui reste parallèle à elle-même dans les deux positions du corps fait avec trois axes liés invariablement à ce corps. Si nous désignons par 6 Tangle dièdre compris d'un côté entre le plan passant par celte droite et un des axes fixés dans le corps dans la position initiale, et d'un autre côté entre le plan déterminé par les mêmes droites quand le corps occupe sa seconde position, angle qui doit rester inyariable quel que soit l'axe que Ton considère, nous aurons par une formule connue
ûi = sin^ a ces + ces' a ,
bi = sin*p cosO + cos'p,
C3 = sin*7 cos ô + ces* 7 ; d'où
«1 -h ^2 4- ^3 = I -f- 2 cos G ,
et, d'après (85),
>' -h fA* H- V» = tang' ^ 0.
La quantité k étant ainsi déterminée, on a ensuite
> = taiigyOcosa, ;* = tang|0cosp, v = tanglOcosy.
Observons que le théorème mécanique d'Euler revient à cet autre purement géométrique : Étant donnés deux systèmes d'axes rectangulaires ayant la même origine y on peut déterminer une droite passant par cette origine et telle^ quune rotation autour de cette droite amène Vun des systèmes à coïncider ai^ec le second. Il est évident que l'angle 6 est la mesure de cette rotation.
2^. Soient représentés par ai^b^^ Ci^at^b^j c^] a^^ ^39 ^s les cosinus des angles que trois axes rectangulaires liés à un. corps solide en mouvement font avec trois axes fixes dan» l'espace, et désignons par p, ç^ r les composantes de la vi— tesse angulaire du corps relatives aux axes mobiles. Qn a^
(8i) comme on sait ,
pz=a^ a, 4- ^3 b\ H- ir,c^,,
r = a^a\ 4- bt b\ H- c^e\ , et, en substituant les valeurs (85),
/ly, = 2 (pi' V — p' — V) , hq = Q, (»'X — vV - pi'), /^/'=2(/pi — V — v')9
d'où
(86) { p'=:;i(/?v-:-rÀ~^— fxw),
[q\ — /?a — r — viw),
en faisant , pour abréger,
>/> -h fxy -h vr^ w.
Ces dernières équations, respectivement multipliées par! X, fz, V et ajoutées, donnent sans difficulté
h' -H- /?f^ = o ^ puis, multipliées parp, 7, /'et ajoutées,
«2-i- /w' = — 2 [y p -k- }>•' q -f- vV)^
Cl) désignant la vitesse angulaire du corps.
Lorsque le corps tourne autour d'un point fixe et qu'on prend pdur les axesmobilea les axes principaux du corps, en désignant par  , B, C les momaits principaux d'inertie et par T la demi-somme des forces vives , on a
(8a) et en posant
flT flT dT
on a
(87) <{ —-^p = — A/ÎV + B7 .^C/•)l, .
hw = ApyL — B<7> + Cr;
d'où 2\p = J'y — Wfi — a — >(T, 2Bf7 = wX — «V — (' — pT, aCrrrttpi — j^X — w — vo", en faisant
a zp "ku + pK* 4- viv.
Si maintenant on désigne par tJ la fonction des forces, on aura, comme l'on sait ,
'^~ rfX ' "^ "- r/p ' '*^"- r/v '
et, par conséquent,
, I , . , r/tf -
, I , ■ , .rfU
p' = - ( 7 ir -f- c/w 4- /?«? — ^« ) 4- -r- 9
. I , , dV
v/ = — { r(r -i- (¥m -{' au — J»f)+-T— •
Ces équations, conjointement avec (86), sont les équations différentielles du mouvement d^un corps autour d'un point fixe présentées sous la forme que leur a assignée HamiltOB,
Si lé corps n'est sollicité que par des forces instantanées , en désignant par Ç, y?, ^ les angles que l'axe du couple ac-
{ 83 ) célérateur, Taxe du couple d'impulsion cl l'axe inslantané de rotation font avec la droite dont il a été question à la iSn de l'application i° (droite que M. Cayley a nommée axe résultant) ; en désignant en outre par g^ /, &) les moments du couple accélérateur, du couple d'impulsion et la vitesse an:gulaire du corps et posant
on a •
(p = g' tang- ô.cosÇ, -^ = / tang- O.cosïî,
U ^ m =z w taiig - . coîf Ç ,
et comme en multipliant les équations (87) respectivement par X, u, V et ajoutant les résultats, on obtient
// «T H- 9. Y = o , on aura encore
«T -f- / sin . cos yj =r o .
L'utilité de ces formules dans l'étude du mouvement au* tour d'un point fixe d'un corps sollicité par des forces instantanées est rendue entièrement manifeste par les résultats obtenus par M. Cayliey sur ce sujet (*).
Un déterminant P dont les éléments conjugués sont assujettis à la condition
se nomme déterminant symétrique.
Il suit de là qu'une puissance paire d'un déterminant quelconque est un déterminant symétrique. Et comme dans un déterminant symétrique P les éléments situés dans la ,ucin<t (.pionne sont respectivement égaux à ceux situés dans
( * ) The Canihridge and PhIHh Blaihentalical ioùrnal, tome 1 , 18/^6.
la 5''"'r ligne, on aura
fiP j d9 dar,s dOs,,'
c^€st-à-dir€ le déterminant à ëléments récipr0([uçs d'un déterminant symétrique est lui-même symétrique. Il en résulte que les valeurs de Xi , Xj,..., jr„, déduites âii système d'équations algébriques linéaires (16, § IV) prendront, dans le cas de a,.^, = a^^^, la forme suîvaute :
• ^ il9. I ^P î d?
1 * r/p d9 i dV
2 «flfl,2 ««2,2 2 ««2,n
1 ^P I rfp . dp
P.r„ = - //, ~ h -il, 1- . . . 4- a„ 5
2 f/flr,,, 2 ^tf,„ r/rt„,„
où ^- — représente la dérivée relative à a^^, du dcveloppc-
ment du déterminant symétrique P.
La formule (14)5 lorsque P est un déterminant symétrique, donne
dW ^P <fP / e/pV^
t/P et en supposant - — =r , on aura
c'est-à-dire que les deux déterminants symétriques P et
-; ; — seront de signes contraires.
On doit encore ranger dans la classe des déterminants
( 85 ) symétriques ceux de la forme
On
Çn On+\ . . . 'ïjn— I
qui jouissent de la propriété exprimée par l'équatioa
dW^n-.
= Hia 3.
La propriété caractéristique de ces déterminants appartient exclusivement à la théorie des im^ariants,
application. — En désignant par s^ la somme des puissances i*^""" des racines de l'équation
. V (a:) = <7„ 4- ^«-1 Jp -I- . . . -f- «r, jt"-' 4- ^" = o , on a les relations connues
. an Si 4- /ïw-j *2 4- ... 4- «I Sn 4- .v„ ^ , = o ,
. On ^«^,. 4- On^t ^a -h . • . H- /ï| ^,««3 4- *2n-i = O ,
d'où Ion déduit, en éliminant les coefficients ai^a^^ » , . «„. entre cea équations et V (a:) = o ,
Observons (jne, si aux éléments de la seconde colonne de ce- déterminant on ajoute respectivement ceux de la première multipliés par — x^ aux éléments de la troisième colonne ceux de la seconde multipliés par — x, et ainsi
(86) de suite , la' valeur du déterminant n'est pas altérée et que , par conséqueurr,
Si S^X S2 — SiX
Sa Sn-~ I X
•^fl-t-l *a J?
•f/i — -î/i-i ^V X„^., — SnX.
Représentons ce déterminant par
(ix,, eix,2 . . . û,..
et par V,. le déterminant
an
^r,l ar,2 . . «r,r
Gela posé, on a le suivant.
Théorème. — Les termes de la série
jouissent de la propriété caractéristique -des résidus de M. Stùrm, c'est-à-dire, si une valeur de x annulé la fonction V^, les fonctions V,.^, , V,.i pour cette même valeur de X sont de signes contraires.
En effet , comme
V ^ — -r 5 y r \ Zï J '
on aura, par l'équation (14)»
V,.-}.| Vr— I -; Vr I -J I »
(87) et, conséciueinnient, pourioiite valeurdeo: véri(iautréc|ualion Vr == o, il viendra
c'est-à-dire que V,.^j et V,.i seront de signes contraires.
§ IX. — Des déterminants des racines des équations algébriques y et des déterminants des intégrales par- . ticulières des. équations différentielles linéaires.
Soit
une équation algébrique du n*^'*"" degré ayant pour racines «1 , «s , . . . (X;, , on a identiquement
a^-|-A|,., a"~' -f-...-hAi a,4- Ao=0, a"+A,, a^ "' -f-...-+-A, a2+ A^ = o,
a*4-A„, a" ' -f-..H-Ai a„-f-Ao = o.
Multipliant ces équations respectivement par jes indéterminées ai , /ts , . . . , A„ ^ ajoutant les résultats et posant
«1 «i -h «fa «2 +...-»- flr„a„ ==0,
il en résulte évidemment
• ' Ar = — - (rt, «" -h ^2 û^ 4- . . . + On \).
Ayant fait actuellement
on aura par les équations (88)
'idoT
z du
z dà Adoi'^
et , par suite , en substituant ,
:dt2aiaa..»a,
la caractéristique Z représentant la somme des combinaisons n — r k n — r des racines «i , ocj , . . . , a„.
Si l'on suppose r =: n — i , et qu'on représente par F {x )
Texpression
(^— ofi), (^ — a^),..., (^ — â„), les équations (88) sont satisfaites en prenant
"'-Flôr)» "'-rj^y
d'où résulte I I d^
F'(a.)'~A^a;f-'' P(a,)""Àf/a«-»' F' («„) Ajrfœ;-»
Observons que
lia
rf<'-'
a fit. • • • a
Par conséquent, en désignant ce déterminant par Ai et par F| (a:) l'expression
(jr— a,) (x— aa) . .. (jr — a^,),
nous aurons
F, (a,) A, ^aj-* Pareillement, en posant
et
F,(a?)=:(a: — a,)...(ar — a„), F, (a:) = (a: — a,) .,.(* — «n),nousobtiéndrotis .
I I r/Aj t I ^A»
F'„a(an i) A„,
et ces éqùalions multipliées membre à membre donnent *
(90) cVst-à-dirc
^ = («1 — «0 (a. — «a)... («1— a«) (a,,— «3) .. (a, — a„) (aj— a^)... (a„, — ?.),
importante relation que Ton doit à Vandermondc.
On peut encore arriver à ce dernier résultat, en s*appuyant sur les seules propriétés des déterminants. En cflet, en faisant subir au déterminant A la transformation de l'application 3° du § V, on a
• • Cl
OU, en divisant la première colonne par «i — a,, la seconde par as — «3 , etc. ,
Ar= (a,— a,) {a2-«3)...(an.,— «„)
n— a , «— s . . lï— a n—i , n— » ,
Effectuant de nouveau sur ce dernier déterminant Topéraiîon mentionnée, c'est-à-dire en divisant la première colonne par a, — «3, la seconde par «a — «»> etc. y on obtient
et, en répétant la même opération (n — i) fois. on. parviendra il la valeur de A irouvéc ci-dessus.
(9- ) De ce qui précède , on déduit facilement que les* valeurs de Xi , Ts, . . . , x„ qu'on tirerait des équations
JT. •+■ xj -h . . . -+- J^„ = I , a, a:, -h a, ^a -h . . . + x«. ^/. = X-,
a' Jf, -ha' ^r, -h ... 4- a' J:„ = ^',
.4-a;-*ar„ = ^'-',
peuvent se mettre sous la forme
(«j—a,) (aa — a, ) . . . ( a„ —a,) (a, — an) (aj — a,) . . . ( a„ — a^)
^^ («,—■/♦) (g,— X-) \ " (a, — a,.) (aj — a^) ,
Désignons par s^ la somme des puissances r des racines del'équalion proposée^ en effectuant le carré du déterminant A , on obtient
Si Si
S^i Sn
et comme, par- l'équation (62), on a si Ton fait attention que
s m — \Sm- • • '^2 m— 7
Jl vieii<lli:a
Si,..S„,.
I X(ai — ««)(«,■— a,). . .
applications.
i^. Un déterjninamdaûs lequel les éléniciils conslituaiit une ligne quelconque sont des intégrales définies prises entre les mômes limites, ces limites changeant d'une ligne à l'autre, peut se réduire à une intégrale multiple. Dans certains cas, cette transformation, ou la transformation inverse quand elle est exécutable, peut être utile dans la recherche de la valeilr du déterminant ou dans celle de l'intégrale multiple. Pour montrer de quelle manière on peut efl'ecluev cette transformation , considérons le dcierminant
et observons que tous les termes de son développement se^ ront des intégrales définies multiples de l'ordre /i, et que conséqucmment ce déterminant pourra se mettre sous la, forme
», r*'h /-«ao \ — . -. .
m 'il mJn !
c'est-à-dire que le délerminant cii question sera écjuivaleiit à l.'iutégrale nmlliplc
OÙ
En s'appuyaat sur cette transformation et sur un théorèkne concernant les intégrales particulières des équations diifférentielles linéaires (théorème dû à M. Liouville, et qui • sern démontré dans la suite), M. Tissot (*) est parvenu tout récemment à généraliser quelques résultais obtenus par Abd et par M. W. Roberls (**). Les déterminants des intégrales définies avaient déjà été considérés par M. Catalan (***).
a*'. La rônctîon homogène de degré impair à deux variables
^, j?ïn+i^ (2« H- i)fljar"*/'H-^— ^ — - à^x^'^-'j'' -{-...
sera dite ramenée à la forme canonique lorsqu'on l'aura transformée dans
Les 2 {n -{- i) inconnues /^, , /^^ , • • • , />„+i ; 71 , 7, . . • -.5 9n+*i seront déterminées au moyen des 2 (/» + 1) équations que Foa obtient en égalant les coefficients des mêmes puissances de X dans les deux expressions. En faisant q^^=.p^y.^^
qt = Ptfx^^ q,t+y = Pn^\ «M+iî et p*"'*'' = r^, ces 2(/z-f-i)
(*) Journal do. M. Lioiiville.
(**) AnBf.^ CEnvrcs complètes, tome I, page 93. — Journal do M. Liouville, années t8ji i^t i85'i.
( ***) Mémoires cou ronni'ff par PAcaUétnie de Bruxelles. \^\\.
(94) équations seront
c, a, -h c, «,-+-.. . -f f„+,^ft+, = ûfa,
Tîram des (/i + 1) premières de ces équattons les' valeurs de Ci , Ca ) . . . , c;,^, , on obtiendra (n -f- 1) expressions ■'analogues à
dA
du
où
et ces valeurs, substituées dans la (/t -4- 2)'*"*'' équation, donneront
en se rappelant que
hi (l^
d,OL\
Pareillement, en éliminant c^a^^ c^ «j ,...., c„^i a„+i des 2'^'"% S*^'"", ...,(/*-[- 3)'^""- de ces équations, on aura
On+3 — «n+î Sa, •+- ciu-i-i 2 a. a, — . . . rfcû'ja, «a.-. . a„+, ==r o.
En continuant à opérer de la mêuie mauière, on obticn-
(95) drâ évidemment les n -h i équalîoiis suivantes
OU
Observons que les a, , ûtj, . . . , 3t„^.l seront les racines de r équation
ou^ si l'on veut, de Téqualion
•''/l-Htl ^'« + 1
que l'on obtient en éliminant les ?//,, Wj,. . . ,w„+i de la précédente et de (91). Parla résolution de cette dernière équation, on aura les valeurs de ai , «g , . . . , a„^, • par suite les équations (90) feront connaître Cj, Cj, . . ,,o„^i, d'où l'on déduira finalement les valeurs requises de /;, , Pv • -^/^n+i, <7n <72,- • • >7«4-i- Remaïquons que l'équaliori (92), moyennant une transformation dont on a déjà fait usage 5 peut se réduire à
«3 JT — Oi
rtn+i X — a„^i (1,1^2 X — rt^+3 . . . «,„^, x — a-i^+i Considérons l'équation différentielle linéaire du n''""'^ ordre
. ^(«) -f. A„, >■:"-') +. . . + A,/ + Aoj- = o, dans laquelle A„, , A„a , . . . , A© sont des fondions de la
variable par rapport à laquelle sont prises les dérivées. .Soient j^i, ys,.**>J« ^ înt^ales particulières de celte équation. En posant
.4-««r« =o, .H- «-ri =o^
a./:^ -+.^,rr^ +/..+«.r|^^ =3,
(n—\) , fit— i) . . f/^-i) .
on aura
ou bien, en ijrant des équations précédentes les valeurs de Al, o^, . . . ^Un et les substituant dans cette dernière,
où Ton à fait
Eli différentiant ce déterminant, on a
du
et, par suite,
Afl-i :
d'où
Cette formule est due à M. Liouville.
Au moyen de Téquation (98 ) , on obtient facilement les suivantes :
du / dL y
d'où résultent ces autres équations :
dans la dernière desquelles r peut prendre les valeurs 3 5 4 , . . . , 71. Il suit de là que dans Thypothèse de A = o , on
(98) a o — I équations qui fournissent les proportions
/ dà. y / r/A y / dà. y
et, par suite,
<fA dA r/A
rf^<-) • rf^("-o • • rf^ç"-)
: ai : a2 ; . . . *. «n 5
ai , ax9 • • • 9 <Xn étant des constantes. Ces valeurs^ substituées dans l'équation identique
dA dA dA ___
donnent
«1 Ji -f- a, ja -+-... + a„/„ = O.
L'équation (pï) conduit encore aux suivantes : / éfA y__ r/A r/A^
l dA\ dA dA' ldA\' dA'
En différentiant la pénultième une fois, l'antépénultième deux fois , et ainsi de suite, puis ajoutant les résultats, il vient
/ dA \('+') , . VdA' (dA'\' (dA'Y . / dA' \(')1
Applications, x^. L' équation
df"} U'Jr \dr J \dr )
Applications.
(99) peut s'écrire sou^ la forme
(n,) û?A („5) dà dà n —fK dx
ou bien , en posant
Observons que , d'après les relations qui régnent enlre les coefficients d'une équation différentielle linéaire et les intégrales particulières de cette même équation, les expressions j^i 5 J'j5 . . • 'ijfn-.y sont des intégrales particulières de l'équation
et que conséquemment , en vertu d'une propriété connue des équations différentielles linéaires , l'intégrale complète de l'équation (94) sera
rn = Ji «1 + ra «3 4- ' • . + Jn-i a„, ,
où
Ainsi , connaissant n — i intégrales particulières ne équation différentielle linéaire du n*^'"* ordre, on pourra déterminer la /i'*"*' au moyen des premières. Cet important théorème est du à M. Malmsten (*).
2°* En désignant par x^ y^ z les coordonnées d'un point
(^) Crelle, Journal Jur die Mathematik» Band 89.
( loo ) d'une ligne à double courbure, par r, p les rayons de courbure et de torsion, et faisant, pour abréger,
ni'z= x"^^y-hz'
JpîV ytV -^IT
on a
p "" m» V ^'^ "*" "^y"^ "^ * dp) ' les dérivées étant prises par rapport à l'arc. Pour déterminer la courbe pour laquelle le rapport - est constant, on dérive cette dernière équation , ce qui donne
, , ^- , dà. . d^\
, dA
, dA\
dz'"/
Mais des équations
on déduit
x'x'" -^-yy -h z'z"'= — m% ^i/x'^-l- j>'^ 4- 3'z'' = — 3/w/w',
I d^ ^ , dà \
. f dA ^ , dA\
et si l'on multiplie ces dernières respectivement par x',j'^ z\ et qu'on ajoute les produits, il vient, en ayant égard à (95),
( loi )
et , par suite ,
tix' -f- hy^ -h ct! = / ,
a, b^c^h désignant quatre constantes arbitraires. La ligne cherchée sera donc une hélice tracée sur un cylindre dont les génératrices sont parallèles à une droite donnée (^)
§ X. — Des déterminants fonctionnels.
Soient jTi 5 /j j . • • ? /« ^ '* fonctions indépendantes entre elles de n variables Xi, Xj , . . . ,x„; en formant les dérivées partielles du premier ordre de ces fonctions par rapport à chacune des variables indépendantes, on obtient /i* quan-
tilés analogues à -~~ z=y\, (jr,). Le déterminant
se nomme détcrmîn^ntyb//c//o////e/, ou délerminantdesrfélivées partielles du premier ordre des fonctions ^1 , j^j, . . . {^» par rapport aux variables oTi, Xj, . . • , a:„.
L'ordre du déterminant fonctionnel est égal au nombre des fonctions , et ij ne devient moindre que lorsque quelques-unes des fonctions coïncident avec certaines des vanables indépendantes. Par exemple, si l'on avait
le déterminant se réduirait à
il serait conséqueniment de l'ordre /\
(*) MONGB, Application de VAnaljsc à la Géométrie, 5* édit , Note I.
Si l'on déduit des équations
Xn\^lf ^2) • • • > •^n) =^ /« >
les valeurs de Xi, jCs,...,^:,, et que l'on conçoive ces valeurs substituées dans les mêmes équations, on obtient par la différentiation
et si , dans la valeur trouvée pour Xr , on met pour J^i 5 /« , • * - y Jn leurs valeurs , on aura les équations
lr:W<(/.)+y.(x,).<(j,)-H...+j.;,(x,)x;(r-.)=i, (97)
( y. w < { r .) + y, N ^; tr>) + • • ■ + r : (*.) k (^») = o-
D'après cela , si l'on représente par Q le déterminant
2[±x, (/.)•-'. CrO. ••<{/«)],
on aura par la règle de multiplication des déterminants
PQ = i.
Si dans la seconde des équations (96) on fait f = 1, 2,. . ., /î, on obtient n équations desquelles on déduit
et semblablement de (97) on déduit
(99) p<(^') = rf:7ii7)="""
( io3 ) par conséquent
En représentant par S le déterminant à élémetits réciproques du déterminant P, et observant que pour i = o^ r = 5,r-hc=/iH-i, l'équation (48) donne
c'est-à-dire
2 [±y,(x,)7:^. (^r+0 . . . r'„ (a:n)] P^-'==^ 2 l± a.,, a.,, . . . «,.. ,^,). On aura , d'après l'équation (99) ,
= P2[±a:',(j.)x',(j.)...<-.(rr-.)], et semblablement
En différentiant le déterminant Q par rapport à j^, on a
ou bien, d'après Téquation (98),
rfQ ^ rf'\r, , , ,
ou encore
et comme PQ = i , on aura
Mais
donc, en substituant, on obtiendra
ce qui , en vertu de (99) , peut s'écrire
' dlr, dx^ dxn
Remarquons que, d'après cette dernière équation, l'expression de P, savoir
P = «*>i y\ {^« ) -^ ^s,2 /,( -^O -+-••• -♦- «i,ii y\ (^«)
pourra se mettre sous la forme
dxi d.Ti ' * * dTn
Supposons qu'entre les variables o^i , jCj, . . . , x„ et les fonctions J^i , /j, . • . , j"„ , il existe les équations
Si l'on déduit de ces équations les valeurs de j^i , /t , . . .,j^„, et qu'on les substitue dans ces mêmes équations, elles seront identiquement satisfaites, et l'on aura, en conséquence,
D en résultera par la règle de multiplication (io2)P2(±$^l2^...1î-"W(-i)"z(±$^^...l2-«V
( io5 )
^application.
Soient Al , As,. . . , A„, n fonctions des variables a:.. , Xj, . . . , j:„, et considérons l'équation aux différences partielles linéaires et du premier ordre
Supposons que y, , j, , . • 5 /r-i ^ Jr+i v • 1 /« représentent /ï — I solutions indépendantes entre elles de cette même équation ; on aura par la substitution n — i écjuations identiques , d'où Ton déduira les proportions
Al ; Aj I . . . Z An= a^,! ; cf.r,i ; . . !ar,„.
En nommant M la valeur commune à tous ces rapports, on aura évidemment
et d'après Téquation (101) on aura
(,o4) ^MA. ^ c/MA, ^ ^ ^MA. ^ ^
La quantité M qui jouit des deux propriétés exprimées par les deux dernières équations a été nommée par Jacobi (*) le multiplicateur de l'équation aux différences partielles {io3) ou du système aux différentielles ordinaires
(io5) .T, : .r\ : ... : .r„= A,: a^: . . . : a«.
Supposons maintenant que
iB. = A,y.(.r.) -f.A,/,(^,)-t-...-f- A„y,(.r„), B,= A,y,(.r.) + A,7^(.r,) + ...-f- A„/,(-^n),
B„=A.y„(.r.)i-A,y„(^OH---- + A,y.(.r,).
C*) Mathcmalisçhe ff^erke. Band I.
OÙ Bi , Bs , . . . 5 B„ sont des fonciions*de /i j /« v • ^JT» • ^ ^^^" férentiant ces équations respectivement par rapport à ji , yt'i • • • ijn^ ajoutant les résultats et se rappelant que
il vient
^ d^r i /, dF dp ^ dP\
dxi dxi ' * dxn
et comme PQ = i , il en résulte
I £P i (^ On aura encore
Q^r-j— =— I A, -5 h Aj-r h. . .4- A„3-
djTr \ dx^ dx^ da-aj
IdK^ d k^ dkA
\dxi dxi ' ' ' dxn )
Or, par (106) , on a, quel que soit M ,
dXi dxi dyn
par conséquent, en ajoutant à cette dernière équation la précédente multipliée par M, il viendra
rf.MQB, rf.MQB, ^ , r/.MQB„
^ ^ IdMK, dMA, dMkn\
\ r/jT, d^ dx„ f
( '07 ) Observons que, à cause de
on déduit du système (io5) le système équivalent /.:j^',: :/„ = B.:B,:..:B„.
Si
sont (n — 2) intégrales du système (io5), les quantités Bi, Bs,..., B„.s seront identiquement nulles et Téquation (107) deviendra
d. MQB„, ^.MQB„ / r^.MA. ^.MA, d . MA„\
df^, djTn \ dx, dXi dx^ )
Supposons que le multiplicateur M soit déterminé de manière à ce que
dMh, </,MA» d, MA»
^ dxy dx^ ' ' ' dxn
on aura^ pour cette valeur de M ,
£?.MQB„, rf.MQB„
c'est-à-dire MQ sera, comme on sait, le facteur propre à rendre intégrable Téquation
et, par suite,
/MQ(B„^'„-B„.,r'J =
CODSt.
sera la dernière intégrale ^es équations (io5).
Il résulte de là que, étant données n — 2 intégrales de» n — I équations (io5), et connaissant une valeur de M qui
( '08) vérifie l'équation (io8), la dernière intégrale desdites équations dépend simplement d'une quadrature. Cette propriété, découverte par Jacobi , a été nommée par le même auteur principe du dernier multiplicateur.
Voyons maintenant comment on pourra déterminer la valeur de M dans le cas du système des équations de la dynamique.
En représentant par T la demi-somme des forces vivas, par U la fonction des forces, ces équations peuvent, comme on sait, se mettre sous la forme
Jy, ^.(T — U) dpr (/.(T— U) ^ dt "" dpr ' dt dqr '
OÙ il faut faire
En
posant
dpr -^'^
dqr
= Qr,
ces
équations reviennent à
■ P, • Pi '
Par conséquent l'équation analogue à (io8), au moyeu de laquelle se trouve déterminé le multiplicateur M correspondant a ce système d'équations , sera
dt dq^ dqn dpy
dpi dpn
équation qui , à cause de la relation évidente
dVr dQr
dqr dpr
{ Ï09 ) se transforme dans la suivante :
</M ^ r/M ^ dM ^ dm ^ dM
dt dq, dpn ^ dp, ^ dp,,
Cette équation étant satisfaite quand on suppose M constante, ou, pour plus de simplicité, M égal à i, il en résulte que le multiplicateur correspondant aux équations de la dynamique, mises sous la forme ci -dessus, est égal à l'unité.
En multipliant les équations
respectivement par
OU obtiendra, diaprés (97),
et pareillement , en multipliant les équations
y\ ( x.) «, 4- /', (07.) ttj -h . . . + jrl( J?.) Un = «'l ,
/', {x,)u, H-7', (a:,) f/, 4-. . .-HrK^O w„ = p,,
r', (^«) «. + y\ [^n) «a -f- . . -h /„(^«) w, = C,, par y, (y,), x, (j.),..., J^K/r), on aura, d'après (96),
Posons
(ïo9)
( iio)
En faisant dans celte dernière équation 5= 1,2, 3,. ..5/1, on obtiendra n équations , d'où Ton déduira , d'après ce qui a été démontré plus haut ,
< (rr) = E,,, y, (x„) + E.,, y, [xn) 4- ... -h E,,„y„ (x«).
Multipliant ces équations respectivement par j^'^ (oTi ) ,
yrl^O^-V-î/rG^n), OU par /, (x, ), /, (Xj ),...,/, (jT»),
et ayant égard à (96), (109) , on obtiendra les deux suivantes :
Er,i Ar,i -f- Er,2 Ar,2 H- • . . + Er,n Ar,n = 1, Er,l A,,i + Er,2 A,,2 -+-... + Er,n A,,„ = O,
d'où 9 en posant
At,i Ai,j. • • Al,»
Aa^i Aj^î . . . Aî^H
Afi,i An, 2» • • An,n
E|,, E,,2. . . Ei,„
on déduit
(.,0) KH = I, A,.= g— , E,..= -^.
Application.
Soit F une fonction des fonctions j-j, ^„. . ., j^„ indépendantes entre elles, et soit posé, pour abréger,
on aura évidemment
x,= Y.y. [xn) + Y,y,(x„) -f.. . . + Y„y„ (x„).
En multipliant ces équations respectivement parj'^(j:i), 7r (^«)> • • • ? J'r (^n) ? ©t ajoutaut les résultats, on obtient
où, à cause des équations (109) ,
Lr = Y| Ar,i -+- Y, Ar,2 4- ...-}- Y„ A,.^, ce qu'on peut encore écrire, en vertu de (110),
Si dans l'équation (m), on fait /'= i, a,. . ., n, on obtient n équations d'où l'on tire
^ X„ = L, x;, (/,) H- L, r; (jrO + . . . + L„x; (r„),
et l'on déduii aisément de Téquation (ii?)
En diiTérentiant les équations (ii3) par rapport à Xi^ Xty. , .jXn respectivement et faisant la somme des résultats^ on obtient
'' dXr dy, dy^ " * dy^ ' '' dxr
d.x^(y,) d-KM
-f- JL| Zr j h . . . -r Ijn ir — r-t >
dXr dXr
OU bien, en vertu de (loo),
J \dx, dXi '" dxn)
équation que l'on peut encore , à cause de PQ = i , écrire sous la forme
P.,^'=p(.lîii^^+... + ^V
dXr \dyy dy^ dy^J
\ dyi dy^ dynl
dp et comme, en multipliant les équations {ii3) par — »
dP dP , 1.1
, , , . , , et ajoutant les résultats, on a
dXj ^**^n
dXi
^ dp ^ dp ^ dp ^ dp dp ^ dp
Étei ^2 ^« dy, dyt dy^
il vient, en substituant,
\^7i «[Ta dynj
( 113) Au moyen de Féquation (i i4), on obtient une transformation générale de Téquation aux différences partielles du second ordre k n + i variables,
él'Y d'F d'Y
laquelle transformation dans le cas de n = i correspond à celle qu'a trouvée Jacobi au moyen du calcul des variations ('*') et comprend par suite comme cas particuliers cellequeTondoit àLaplace,àM. Laméeta M. Cauchy (**). Si Ton suppose E,.^, = o, on a
Q=V/(E,,, E,.,...E„,„, HL. =Y, —- , et, par suite,
Soieiîii
4,.= )^, sinjjCOs/3, X3 = /,sin/jSin/3Cosj'4,...,
Xn-t = rx sin/jsin^a... sin j„, cosr„,
J^/. = jiSin75 8inj3... sinx/.;
on trouve aisément
E.,, = o et
E,,,= i, E,., = jî, E3.3=j' sin'jî, E4,, = /J sin'jîSin^V;,,..., En,n = JÎ sin^> , sin' j^ . . . sin'7„, ,
{*) Mathemaiische Werke. Band. II.
(**) Journal de l'École Polytechnique, XXIII® Cahier. — Exercices d'A~ nalyse et de Physique mathématique, tome II.
et, par suite,
L, Q = j, sin"-'^ j^sin^-Va . .sin j„, — »
L, Q =/ sm"-' y 2 sm"-^ y,,., sin /„, — ,
n-3 . . . dF
L3 Q = j, sin»-* jj sin"-3 J3 • • • sin j„«, — >
LrQ=j" 'sin«-<7, sin^-'ya... sin"-'^-'^r-isin"-»/r... sin/„, — • Pour le cas de w = 3 , on obtient
, . dF
^'dfj, i d'F
ce qui est précisément la transformation connue de Laplace.
De la seconde des équations (109), on déduit par la différentiation
.. . rf.<(rr) , d. a:\ixr)
xVr ^ ^'<(rr) I /^E.., ^E„^, ^E.,,\
«^•^'^ ^j, 2 V^j, "^ jj, dy, y
et celle-ci où Ton fait
I ldF.r,s , ^E„^ ^E,,;„
2 \ dy^ dxr dy.
fournit
Considérons maintenant le déterminant
dans lequel X,,r = X;.,,= --p-^j et observons qu'on peut l'obtenir en faisant le produit des deux déterminants
Y, £1,,, fli,, . . . «,,„
Yj flj,. «2,2 • • • ^a.n
O Xi Xj . . . X„
yrC-^') y^i'^o ••• y„(-^n) «
dans le premier desquels on a posé a^,, = --t-^« En multi-^ pliant le premier de ces déterminants par le déterminant
o a:;(j'2) ^'a(rO ••• <(ra)
( 116) et posant
on obtient
et comme , d'après les opérations exécutées , on a évidemment S == VQ', il en résulte
H Remarquons qu'en différenûant l'équation
Y,=x,x',(r,) + Xax',(r,)+...-hX„<(j,)
par rapport k YriOn a, dj après les équations (m), ('^^) et {117),
d'où
2 \ dyr dy, dy^ }
dy^ dy,
dy.)'
et par conséquent le déterminant V se trouve uniquement exprimé par les fonctions Yi , Y, ,..., E^,, et leurs dérivées. Si dans l'expression
tn . dlLr,m dEs,
2 \ clyr dy, dy^
on substitue pour L„ sa valeur (112), il vient
H^'"' '"2\ d!r. "^ rfj, dy^)dEj
et comme, d'après (109), (ii5), le déterminant
1 /rfE,,„ dEr,^ rfE,,A da "tiX dfr dx, dy^ j r/E„„
résulte du produit
Q ^ :r;(r. ) x',(jO. . . ^;(r.-.) ^^^^ ^;U.>.)... ^'AXn]
en représentant ce dernier déterminant par ^*^N,^;. on aura Dans le cas ou Yi := Yj = . . . = Y„i = o, Y„ := i , ou 2
'h.i "2,2 • • • ^a,ii— I
et en posant ^"^Nj,,. = /r,,r= A^r,^ ? i' eii résulte
(-Qr'
"n—t,i ^*l— 1,2»»» «""ii—l,!!—!
Pour /i = 3 cette expression reproduit la formule connue de Gauss pour la courbure d'une surface (*).
(*) Nomeaux Mémoires de la Sociclc royale des Sciences de GoltinguCf. tome VI.
( "8) De réquatioii (102), on déduit deux formules d'un grand usage dans la théorie des déterminants fonctionnels. [Si de s quelconques des équations
Xn ( ^i ï -^2 » • • • î «^n j — ^ Xn j
on tire les valeurs de x,^.i, x^-^.»,. . ., Xr^^ et qu'on les substitue dans les (n — s) autres équations, on obtient
/ ?• Xi Xl (-^1 > • • • > ^r » Xr+l » • • • » Xr+s 9 ^1
ar„ =0,
Çr — Xr JTr («^1 5 • • • y ^rj Xr+t » • • • > Xr+s 9 ^r-j-j+i > • • • » ^n / — O > Çr^,=7r+l— Jr+1 (.r,, J?,,. . . , X» ) = G ,
^r-hs Xr-hs Xr-hs ( «^i > J?2 , . . . j ^n) O ,
?r+<-Hl^^^ T/+*-4-i — Xr+s-i-ï (^1 > • -•9^r9Xr+i ' • • Xr+i > «^r+i+i j • • • > ^n) = O,
» Çn =^ J^/l Xn(^ly ' »» ) «^rj ^/-H-l > • • • 5 Xr+s > "^r+j-M > • • • » ^n J =^ ^ .
D'après la forme des fonctions (fi , ^ , , . . . , il est évident que
^, r/«p, r/^a ^/<p«\ dffi ^«p2 (Jjln
~ r/j, r//2 r/jn/ ~" é/j, ^/j2 ^(r«'
et comme -i- = i , on aura dxr
f-h- 'hi -p. . ûi!i\ -~
\ dx, (IXi dxnj ~~
( «'9) D'un autre colé, si l'ou observe que
dXr.
dXr.
d<fi d^i
dx...
dXr.
d(fr d<f,
dxr+i
dx,.-i-2
dx,
dXr^.
dXr+i
d(fn
dXr.
__ ^<fr (i<f r+s-i- l
d(fn
dXr+i dXr+s
dXr+s fljOr^
OU obtient
\—dx,
d^, d dx, d
dXt fiXr
dx„
d ffr fl <Pr
dxx dr,.
dffr
d(f,.+s-hi ^^«Pr+i+i
^Cpr+i-»-i
dffr+s+i
dXi dXr
f/Xr+i+i
dXa
d^n <hn
dfn
d(fn
dxy dr.
dXn
fiXrt
dfn\
dfr^t dXr+i
d(fr+, dXr+i
dffr+i dXr+,
ddfr+K
d(fr+2 dXr+,
d<fr+s
dffr+s
drfr+,
f/.r^. , dXr.
dVr.
Maintenant, d'après les équations (119), donc, en se rappelant Téquatiou (102), on aura la suivante;
P= 2 \±[X\ (X,)], . . [y^{Xr)] [/.M+. (^r+.^.)l. . . [ïnM]]
où l'on a mis entre parenthèses dans le premier déterminant du second membre les quantités jr\ (xi), j\ {^2)^» • • pour faire voir que les /i, /« , . . . , /r 5 Xi+^+iî • • • 5 Yn soni
considérés comme des fonctions de Xi, arj, . . . , o:^ J"r+ir • •? J^i+o -^r^+z+ivî ^n« Par un procédé analogue, on obtiendra
j x2{±/.(xo...r:(a:,.)y,^,^.(^r+,^.).../„w}.
Si dans cette dernière équation, on fait 5 = i , il vient
Supposons actuellement que de la première des équations (118), on tire la valeur de Xi en fonction de j?j, 0:3, . . . , a:„, et qu'on la substitue dans les autres ^ de la seconde, la valeur de x^ en fonction de Xz^ ^4, . . . , x», et qu'on la porte dans les suivantes, et ainsi de suite. Ces équations prendront la forme
l ?2 = Ja — J2 ( Ji j-^a > • • • J JCn)= O,
\ ?« — /« — ^'n (yi 9/2 ? • • • > ^/i— 1> •2'«) Q ,
et comme on a évidemment
"^ \ dxi clXi (Ixn/^^'dxi dx^ dxn on aura encore, diaprés Téqurfrion (102),
les parenthèses sont destinées toujours à mettre en évidence la composition desj-j, j^a? • • • jJK»-
Application.
Désignons par Ar,, le déterminant
2[dzy,(*.)y,N...y„(*.)ru.(*-^)]-
Si dans la fonction ^„^^, on introduit les /i, y», . . .y^ à la place des j:i, OTi, . . . , x„,^ on a par la formule (121)
et , par conséquent ,
2(±A,,, A,,,...A»„.,) = 1 2 [±/,(j;.)... />«)]) "— X 2 [±(/„^.(x„^.)]. ••[/„{*.)], et en ayant égard à (120)
2 (Ztl Ai,i A},]... An— m,n«) = P
Supposons on a dans ce cas
Ar,,=
i,m "MB-t-*
et, par suite,
a,,, «,,3... ai^m
n — wi— I
La propriété qu'exprime cette formule est due à M. Sylvester (* ). Si dans celte même formule, on fait m = n — 2, on obtient une équation qui est un cas particulier de l'équation (14) du § in.
Si les fonctions y,, j^t^ . . .^y^ne sont pas indépendantes entre elles , mais sont liées par exemple par une équation
il est visible que le déterminant P sera égal à zéro. Cela résulte immédiatement de ce que l'on a dans ce cas n équations analogues à
Au moyen de l'équation (121) , on peut démontrer la proposition inverse, à savoir que si le déterminant P est égal à zéro, les fonctions y^, j^j, . . . , j"» ne sont pas indépendantes entre elles. Nous supposerons que la propriété a lieu pour le déterminant du (n — i)'^""' ordre a^,^, et nous prouverons que dans cette hypothèse elle a nécessairement lieu pour le déterminant du »'*'"* ordre P5 de façon que, lorsque cette propriété sera démontrée pour le déterminant du second ordre, elle le sera par là même pour le cas général. Observons que si P = o, on devra avoir d'après (121) ou [yl (-^r)] = o, ou a,r,r = o. Dans le second cas, d'après
l'hypothèse admise les y^ jt^. . ., Jr-i? /»+!)• . ., /« ne seraient pas indépendants entre eux, ce qui ne peut avoir lieu si l'on se reporte à la manière dont a été trouvée la même équation (121)5 donc il faudra que l'on ait
( * ) Philosophical Magazine , i^5i .
( '23) c'est-à-dire quey^ sera exprimable au moyen des fonctions Ji > J« , • . M Jr-'i y Jfr+i » • • • 5 Jn, et conséquemment les fonctions j, , jj , . . . , j„ ne seront pas indépendantes entre elles.
Actuellement le déterminant du second ordre
est égal, d'après (121), à
et comme la fonction y, contiendra en général la variable Xj, si le déterminant est nul, il faudra que [y, (xj )J le soit aussi, et, par conséquent ,. les fonctions y i,j^2 ne seront pas indépendantes entre elles-
La formule (102) donne la valeur du déterminant P, lorsque entre les n variables x et les n fonctions y, il existe 71 équations y =: o. Supposons présentement que les fonctions Y et les équations ç = o soient en nombre plus grand que les variables a:, et cherchons à déterminer la valeur du déterminant P. Soient
çp, =0, «p, == G,. ., <p,i4.r= O,
n -^r r équations qui ont lieu entre les n variables x et les fonctions ji, /j, . . . , j „^,. de ces variables. En tirant des équations 9„^i = o, ç„+3 = o, . . . , <p„^,. = o , les valeurs dej^rt^.,, j„^j,. . '^ Jn^r et les substituant dans les n premières équations , on a
ri U'., ''i, • • -^-^H, Jl, >%,...,/«) = O ,
Ces n équations donnent, d'après la formule (io:î) ,
,, I -[Kg:)(^)(t)] i=<-^^[-(ï)(è)-(è)}
où les dérivées sont mises entre parenthèses pour rappeler la composition des ^j, (fj,..., y.». Remarquons maintenant que
et que
/! d^ ^ difn <^?n-t-< ^ ^ ^?ii+r \
~" \ fi?j:, dxa dj'n^, dyn^r] en observant que
My. \ M?2 \ .., / <^y. \ ... / 'hn \ __^ D'ailleurs on a évidemment
" \ dyn+\ dr„+2 dyn+rj ' donc Féquation (i25) deviendra
\ 4ri dy^ dy„^rj
/! ^ d^ ^ f^n d(fn+i ^ d <fn-hr \
■"" \ r/x, da:, dxn dy^^,, dyn+r) ce qui fait connaître la valeur de P.
( 125 ) Si les quanti lésyi,j2, . . . , ;^„ étaient des fonctions composées des variables x,, Xi^.,.y a:„, c'est-à-dire si elles étaient des fonctions d'autres fonctions (p,, Çj,. . ., (p„ des variables a:,, oTî,. . .; j:„, l'équation (102) donnerait évidemment
\ dffi d(fi d<fnj \ dXi dXi e/.r„/
et si les fonctions composantes (f étaient en nombre plus grand que j^,, j^2> •• • 5 J^n? par exemple si elles étaient en nombre m ^ n, on aurait, d'après T équation (61) du § VII,
L \ da^r, d,f..^ d<frj \ dx, dx^ dXnJj
équation dans laquelle la première caractéristique Z se rapporte à la somme de tous les produits analogues à celui entre crochets, et que l'on obtient en mettant à la place des indices /'i , r, , . . . . r„ , n quelconques des nombres
Supposons qu'entre les variables x,, x,,..., .Tn, l'on donne n équations
OÙ les a sont des constantes , et que par des transformations faciles à apercevoir, on réduise ces mêmes équations à la forme
(j>, (Xi, .rj, . . . , J7,„ a,, a-iy . . . , a„) = a, ,
ffn (-^i, -^2 , '^ny «,, «,, . . . , a„) = a„.
Les «1, «2 V • 5 ^» pourront être considérés comme des fonc-
lions implicites, et pat- la formule (102) ou aura
-[-(^:-')(â-)-fê-)]
\ dXi dXi dxnj
Par conséquent le déterminant fonctionnel P ne changera pas de valeur dans cette transformation toutes les fois que l'on aura
comme ce serait le cas , par exemple, si Çj était indépendant de «1, <p, de a,, «îv? ^nàe a,, aj,..,, a„.
Application,
On déduit de l'équation (124) la formule générale pour la transformation des intégrales multiples. Considérons l'intégrale multiple du w'^"*" ordre
Urfj, dy^. . . dfny
et supposons les j^j, j^jv» J"» l^^s à n autres variables jTi, :r2,...,a'„ par les équations (122). En généralisant la règle ordinaire pour la transformation des intégrales simples [ conmie cela se pratique habituellement dans la recherche des formules pour la transformation des intégrales doubles et des intégrales triples (*)], on obtient
c'est-à-dire, d'après (i23), (124),
I U dfx dy^, . ,dyn = I U . Pé/.r, dx^, . .dx^,
(*) BoRDONi, Lezioni di Calcolo sublime, tome I.
ce qui est précisément la formule cherchée. D'une manière analogue , on aura
I U dx, dx^, . . d.r^ = I U . Q^r. ^/j • • dy^.
Cette dernière équation , d'après la seconde (109), peut encore s'écrire,
/ U dx, dx,. . . dxn = j XJ /§ ifTi f&7- • . dy^,
et dans l'hypothèse de E^^, = o, on aura
/ {]d.T, d.T^. .,dx„= I Uy^E,,, £,,2... En,nd/^dy^...dxn.
Supposons que les équations qui lient les x et les y soient de la forme
Xr — «. rr — «2 Xr — ^'h
où ai, as, . . . , iz„ sont des constantes. Ayant fait
/(2)=(Z— «,)(Z — fl,)...{z— «„),
on a , comme on sait ,
