IM ,. IM .' - J W

et, par suite, en différentiant par rapport kj,.

^■' 2 /'(a,) rt, — j.

d'où

et

^i(^.)xi(r.) = --^^^

Maintenant, si Ton se rappelle les formules

/'(a,)(a. — r,)(a, — /,) /' (a,){a,— yr)(a,—X,) F(«„) I

on a

et, par conséquent,

J V/(r.)/{r.)--./(rn)

Au moyen de celte formule, M. Catalan est parvenu à

étendre aux transcendantes abéliennes quelques-unes des propriétés appartenant aux fonctions elliptiques (*).

§ XI. — Des déterminants de Hesse.

Soit u une fonction entière homogène des n variables Xi^ a:,,..., j:„. On désigne par Uti Usv? "n les dérivées "premières de u par rapport i chacune de ces variables, et par M,,,, Mi,f,." les dérivée» .secondes, en sorte que

Ur,s

dXfdx,

Le déterminant

tt/1,1 Wn,a. . . «11,11

est appelé Vliessien de la fonction Uy ou le déterminant de Hesse, à cause de l'important usage qu'en a fait M. Hesse dans différentes recherches géométriques. Ce déterminant a été représenté par quelques géomètres par le symbole H„. U est évident que si la fonction u est du m*^""' degré, le déterminant i^ sera une fonction homogène du degré n{m — a).

Supposons que les variables Xi^ Xt^...^ Xn soient liées à n autres variables j-ii^-sv-'î^n par w équations linéaires analogues à

Si l'on substitue qes valeurs dans la fonction u et que l'on

(*) Mémoires couronnés par TAcadémie de Bruxelles , i8/j i .

( «30 ) pose

l.dUi dUi dUi\

on aura

En effet, en différeuûaiit 1^ fonction u par rapport à jr^^ il vient

du . .

et en différentiant cette dernière équation par rapport à y, et par rapport à a:,, on obtient

d'^u du, duj dun

dXrdys dj's dxs djr,

dfrdxs

D'après ces relations, et en s^ appuyant sur la règle connue de multiplication des déterminants, on trouve aisément les deux équations

/ . dUi d^u d'u \

\ dx^dy^ dx^dfi dx„djr„/ ' *

dont la comparaison donne immédiatement

Si la substitution était orthogonale, c'est-à-dire si les coefficients a,.^s satisfaisaient aux deux équations

«r,! ffs.i -f- ^o2«i,2 -+-..+ ar,nas,„ = O ,

( '3i ) on aurait

P =r I , et par suite K = ^ .

Dans le cas d'une substitution quelconque, si la fonction dans laquelle u se transforme par cette substitution est indépendante de Tune quelconque des variables Vi , /î, . . .,y„, le déterminant i^ sera identiquement nid; car si la variable manquante était, par exemple j^^, on aurait

djTydXr dy^dy, dy^^dyr '

ce qui donnerait

K =: o, et par suite aussi V = o.

Réciproquement, si le déterminant ^' est identiquement nul, on pourra, par une substitution linéaire, transformer la fonction u dans une fonction bomogène de [n — i) variables j^i, j^î,..., y„i. En effet, i^ étant égal à zéro, on aura, d'après l'équation (i4) ,

dp dt' / dv \^

!Ur,r du s, s ~ \dUr,,) '

dUi

et par suite les éléments réciproques du déterminant p» admettront un facteur commun M du degré [n — i ) [m — 2 ) ; en sorte que, en désignant par a^, a^ deux constantes, on aura

i n\ dv , __ do

aUr,r dUr^s

Maintenant u étant une fonction homogène du degré m , on a , comme on sait ,

Ui,iX^ 4- «,,2X2 4-. . -h lh,nXn = (/W — l)f«2, >

d'où l'on déduit, en général,

dv dv dv

m — I dux^r duj^r da„,r

et quand on supposera

on aura, d'après (126),

Faisons, dans la foncdon u,

X, = z, -f- >a, , j:^ = ^2 4- Àa,, . . . , x» = «„ 4- ^a„, OÙ • /

et où A désigne une constante indéterminée. En développant, on obtient

2 1.2. . .m cvC"*

en supposant que w représente ce que devient u, lorsqu'on y met ^j, -Zj,..., -z„, à la place de Xi, arj,..., x„*, et que w' représente la valeur de

a, tt, + a, «2 4- . . . 4- a„ tt„

sous la même condition. Comme ensuite

dw^ dw' div*

w = — - a, + -7— aj + . . . -h -— a„,

(vCO = — a, H aa 4- . . . H j «„.

rtz, aza az„

lorsque l'expression a, «i + as lij 4- . . . -1- a„ i/„ sera identiquement nulle, il en sera de même de w' et par suite aussi de w'', w'"^ . . . , w^'"\ ce qui réduira le développement précédent à u == Wj c'est-à-dire que la fonction u dans le cas

( «33 ) de (^ identiquement nul peut se réduire à Id fonction homogène w des n — i variables /t ? Jî v • • 9 Jn-i 9 comme on l'avait annoncé.

Cet important théorème, que Ton doit à M. Hesse (*) , a été appliqué par le même auteur à la démonstration des deux propositions suivantes :

i*'. Si i^ = o représente l'équation rendue homogène d'une courbe plane du n'*"** ordre, la condition nécessaire et suffisante pour que la courbe se réduise à un faisceau de m droites , est que le déterminant t^ soit identiquement nul.

2**. Si li =: o représente l'équation homogène d'une surface du m**"** ordre , la condition nécessaire et suffisante pour que cette surface se réduise à un cône est que u soit nul identiquement.

Des équations (127) , en faisant - — = U^,,, on déduit

çjf:,=z {m — i)(U,,r«i-hUa,r'*2-f-. • . 4-U„^r««)>

d'où, en différentiant successivement par rapport à x^ et par rapport à jc^, les indices r et 5 étant supposés inégaux,

Par conséquent , si i/i = i/j ==...= m„ = o , comme alors 1^ = o, on aura i^,= o, quel que soit r ; et de l'équation (i4) il résultera

^U.,. . ^U,,. ___ dUr^s

—1 ^*,s-h—: lJr,r= 2Ur,, — j j

dXr dXr dXr

C*) Grelle, Journal fur die Hathemalik, Band XLII. i85c.

( '34) équation qui est satisfaite quand on prend

{129) U.,,= Nx', Ur,,= N^,x„

N étant un facteur commun à tous les éléments réciproques du déterminant u. En différentiant de nouveau l'équation (128) par rapport à jc,-, il vient

en faisant attention que Ton a identiquement

^U,,. ^dV,,, ^ , dV„^r

\ a^'i dxi d.Vi I

à cause de la relation connue

Actuellement si Wj = «3== . . . = «/„= o, d'après (ï3o),

on a

ou , en substituant les valeurs (129) ,

OU enfin , d'après une propriété connue des fonctions homogènes ,

Il résulte de là que lorsque les f/, , //g , . . . , n^ sont égaux à zéro, non-seulement l'iiessien de la fonction «, mais

( «35 ) encore ïhessien du même hessien^ c'est-à-dire de v^ sont aussi égaux à zéro. Dans le cas de ti = 3 , les équations 1^1 = II, =z= 1/3 = o sont satisfaites, comme on sait, aux points multiples de la ligne représentée par l'équation m = o ; et comme on doit avoir pour ces mêmes points j^ == o , ils résulteront de l'intersection commune des deux courbes représentées par les équations li = o , i^ = o , et seront , en outre, des points multiples de la courbe u = o.

Supposons présentement que u = o soit une équation algébrique, entière, rationnelle du wi""*' degré des n — i variables Xi , Xj , . . . , a:„i ; et considérons le déterminant

Un

Si r équation 11 = o est rendue homogène eu y mettant

i, -i ,... , -^' à la place des variables x, , Xj , . . . , T„i ,

et multipliant tous les termes par x*^^ on aura toujours les équations (127) et

«, JT, 4- rtj Tj . . . -h /*„ x„ z= mu ,

au moyen desquelles on pourra transformer le déterniinant H de la manière suivante : il est évident que

(m — i) u^ M,,, tf2/i... «2,/i-i

et comme en ajoutant respectivement aux éléments de la première colonne ceux de la seconde multipliés par — ^i ,

ceux de la troisième multipliés par — jCj, etc., la valeur du déterminant H ne change pas, on a, d'après les équations (127) et (i3i),

ou bien

•^nUx,n «1,1 tt|,j. . . W|,«i

Observons que le dernier de ces deux déterminants peut s'écrire

nî — 1

(//i — ï)Ui {m — 1)1*2... (m — i) Un

donc en faisant subir à cette expression l'opération ci*dessus indiquée , on aura

«ji-i,i «11—2,3... ««— I,»— I

( '37 ) De cette équation on conclut que pour les valeurs de Xi, jCi , . . . , qui rendent m = o et H = o , on aura en même temps 1^ = 0.

Application,

En désignant par r le rayon de courbure d'une courbe plane représentée par l'équation ix = o , on a

Aux points d'inflexion de cette courbe, on a, comme on sait , r = 00 , et par suite H = o , ou bien , par le théorème précédent ,

Cette équation représente une courbe de Tordre 3 (/» — 2) qui coupe la proposée en ses points d'inflexion \ le nombre de ces points sera donc au plus 3 m (m — 2) (*).

En désignant par r^ , r, les rayons principaux de courbure d'une surface a = o , on a

Pour les points de la surface en lesquels un des rayons de courbure est infini, on a H = o, et, par suite,

(*) Crelle, Journal fur die Malhematik, Band XX VIII. — Salmon, On the higher plane curveSy paye 72.

( "38) Cette équation représente une surface du degré 4 [m — a), et la ligne d'intersection de cette surface avec la proposée u=o sera une ligne dl! inflexion ou la ligne des points pa^ raboliques pour cette dernière surface (*).

Exemples. — Considérons l'équation des courbes du troisième ordre qu'on peut toujours réduire, comme on sait, à la forme

a = rt, j:J 4- ^, jf; -f- a^xl -+- 6A j:, a^i-Ti =r o, nous aurons

a^ Xx Itx^ hXi 1* = 6' //X3 a-i X2 hxx hxi hx^ a^ x^ ce qui revient à

A' (rt, xj -+- Û2 x\ 4- ^3 x\) — Xvr, x, jTj = o ,

où /i: = ai a, «s -f- aA*. Observons qu'en égalant à zéro rhessien du premier membre de cette équation , on a

Zh} fi^{ayx\-^ a^xl-^-a^x^j-^ [k^ — io8«i «jÛ3A«)ar, 0:20:3 =0,

équation qui , en posant

3 A' ^» = > 4- fx A% k^ — io8a, a, a^ A« = 6X A — ftX^,

se réduit évidemment à

>a-gjftP = o.

Les valeurs de X , jx se déduisent aisément des deux équations précédentes et ont polir expression

\ = ^h^[h^ — «'i«2^3)S fA = 8A^4- 2o«, «jûgA* — a\a\a\.

(*) Gergon^ie, Annales de Mathématiques, tome XXI.— The Cambridge and Dublin Mathematical Journal, i8/|8- 18/19.

L'équation (i33) étant évidemment satisfaite pour les valeurs de Xi , x^^ x, qui rendent u = o,u = o^ il en résulte cette intéressante propriété que les points d'intersection des deux courbes m = o, t^ = o sont encore des points d'intersection pour la seconde de ces courbes (*). Cette propriété n'a lieu que pour les lignes du troisième ordre.

Désignons par iv une fonction algébrique entière, rationnelle de degré r des n — i variables Zj , z, ,. ., ^„-.i, et ayant posé

Wx Wx,{ «'j,i. . .

O fl^i (V) . . .

rendons homogène l'équation iv = o en substituant aux Zi , z, , . . . 5 z„i les rapports

Zn Zn

Zn-x Zn

on aura

V représentant l'hessien de la fonction w. Supposons que les variables arj , jr^, . . . , jc„ soient liées aux variables Zi, -^1 î • • • > ^« P^^ ^^s deux systèmes d'équations

II, r=z,, «,= «,,..., tt^= z^,

on aura évidemment w* équations que Ton peut déduire des

{*) Crelle, Journal fur die Mt^hematik. Band XXVIll.

deux suivantes

en supposant r et 5 = 1, 2,..., 71. Ces équations donneront ('34) V.= i,

et pour les valeurs de Xi , Xj , . . . , i^i , z, , . . . , qui rendent M =1= o , j^ = o , il viendra

L'équation (i34) fait voir qu'à 1^ = 00 correspond V = o.

application.

Aux points de rebroussement d'une courbe plane ii = o, on a r = o ; donc par (i32) H = 06 et i^ = 00 5 donc

Wl,! tV,,, «^,,3

«'a,! fV,,, «^,,3

Les variables Xi, x^^ x», Zi, Zj, Z3 étant liées par l'équation

jSi Z\ -+• .^2 Zj -f- j?3 23 :i^ o y

les Zi, Zj, Zg pourront représenter des coordonnées linéaires ou tangentielles, et Féqualion V = o appartiendra à une courbe de la classe 3 (r — 2), laquelle coupera les deux courbes m = o, ^v = o en leurs points de rebroussement. Par conséquent, une courbe de la r''"** classe a en général 3r(r — 2) points de rebroussement (*). Pareillement pour les points d'une surface en lesquels un des rayons principaux de courbure est nul , on a V = o, et comme les

(*) Crelle, Journal fur die Ualhcmàlik, Band XXXVIll.

vaiiables z, , ^r, , Zs , ^4 doivent satisfaire à

ces variables représenteront des coordonnées linéaires ou planaires y en sorte que l'équation V = o appartiendra à une surface de la classe 4 {'' — ^)^ dont l'intersection avec M = o ou IV = o est une ligne de rebroussement pour cette dernière surface.

Observons que lorsque Y est identiquement nul, la fonction TV, d'après ce qu'on a démontré précédemment, peut, par une substitution linéaire , se réduire à une fonction homogène de n — I variables. Cette propriété pour n = 3 et n = 4 donne lieu aux deux théorèmes suivants :

1^. Si l'hessien du premier membre de l'équation IV = o d'une courbe plane rapportée à des coordonnées tangentielles est identiquement nul , cette équation représente une série de points situés en ligne droite.

2**. Si l'hessien du premier membre de l'équation tv = o d'une surface rapportée à des coordonnées planaires est nul identiquement, cette équation représente une courbe plane.

En invoquant la théorie des polaires réciproques, on pourrait déduire ces deux théorèmes de ceux de M. Hesse énoncés page i33.