A ÊTRE INTRODUITE DANS L'APPLICATION PREMIÈRE

DD $ III, PAGE l3.

Considérons le déterminant

'ïl

/Wa...

ni

fl3...

Wr—

rir^

D'après la formule (14)5 on aura

d^Dr dDr dDr dDr dDr

Or

"7 J — Dr 2 9 , Dr j ,

dT>r

dOrdOr^x dor da^^x dntr^x drir^y

dDr

dDr

= eirDr^2y

' = Hr-i Dr. 2,

dmr~\ drir

donc, en substituant, il viendra

D;. = Or D,, — rir^x nir-l Dr-.2

= Wr-i Dr-.2 ;

( '43) On voit par cette relation que le déterminant D^ pourra représenter le terme général d'une série récurrente déterminée ; et comme, pour

/?, r= /îj = . . . == /î^, =z — I , /7î, =r ///j = . , . = nir-x = I y

cette même relation devient

D^5 dans ce cas particulier, sera propre à représenter le dénominateur de la r^^"^ réduite de la fraction continue

fl, -h— , I

' •+• — an

De la formule (i4) on déduit encore

'^ daxdar dax dor da. d^

( en appelant a Télément zéro situé dans la première ligne et dans la dernière colonne, et j3 l'élément zéro situé dans la dernière ligne et la première colonne) ; et si l'on fait

da, -^^' il en résulte en général

ce qui , pour Thypothèse ci-dessus, devient

et fait voir que N^ est propre à représenter le numérateur de la r''"** réduite.

Par la formule (i3) relative à la décomposition des dé-

terminants, on a ensuite

Dr = JJr—i -3 J 3 «rw'Wr—^Ur— «— I -J j 3 J

aai da^ • . . dar^, dOi da^ • . • a(ûrr-«+i

résultat que M. Stern a fait connaître pour le cas des fractions continues [Journal de Grelle, tomes VlIIetX). On doit à M. Sylvester la représentation sous forme de déterminants des termes d'une réduite d'une fraction continue.

On remarquera que les termes d'une pareille réduite sont des déterminants gauches.