QUELQUES QUESTIONS D'ALGÈBRE SUPÉRIEURE
(Extrait des Annales des Sciences Mathématiques et Physiques publiées à Rome. Août i854).
1°. Soient f{x)j (f [x) deux fonctions algébriques, rationnelles , entières et des degrés w, m respectivement; n^m. On représente par a?i , Xs , . . . , ar„ les racines supposées inégales de l'équation f{x) =: 05 et Ton pose
f[x) = «ox" + a, a:»-' + a, x^^ 4- . . . -f- ««, ç{;c) = é>o^-h b^af^^ -4- fcjar«-»-f-. . .4- ^«. mzrzn — e.
Théorème I, — En supposant r<in et c«)=r — e-hi on a
(2) a, Sr + fl| Sr-, -h «2 Sr-, + . ; . -f- fl^ S» = ^„.
{ «52) Effectivement, si l'on représente par M^ le premier membre de cette équation , et qu'on y substitue les valeurs de S^, S^i , . • • ) on obtient
M,= ij {a, x] ^- rt, .r'^ + . . . + ^,, X, -h ar) t^. 1 ; mais
(3) -^— =— (rio-r^-ha^x^ -h. . .4- ûfr-,.c,+ flr)
donc ou bien
dxs
( voir a la fin de cet article) ^
»'=--fë;fe]]'
ou bien encore, en observant que ax, Xg
f 4- Pot 2, I -3 7- ï
et si Ton suppose r -h i = e H- w , cette équation donne
Dans les applications de cette formule , lorsqu'on trouvera 6X^0, il faudra faire M,. = o , comme cela résulte de l'équation (5).
L'hypothèse r = n entraine évidemment M„ = o , et l'on a en même temps
(6) Oq S«+r -f- «I S«4.r.i 4- . . . -f- ^Jf« Sr = O.
( '53) Dans le cas particulier où (f (x) = f (x), les équations (2) et (6) sont les relations bien connues entre les coefficients et les sommes des puissances des racines de Téquation f{x) = o.
On a supposé dans ce qui précède /n <^ w 5 si l'on avait m = n (*), on trouverait, par une légère modification de la méthode ,
ce qui, dans le cas de r = o, reproduit la formule connue
Pour montrer l'analogie des S^ avec les sommes des puissances des racines, soit fait, pour abréger,
et considérons le déterminant
A| Aj. • • A/i
A| «T?! A 2 ^2 • • • Aji Xn
An — 1 » B— i i n— i
I X A2 X . . • An X
on a évidemment
S| Sa. . . S„
( * ) Co qui suit jusqu'à 2® est emprunte à un manuscrit de l'auteur, postérieur à la Note des Annales de M. Tortolini. ( Note du Traducteur,)
mai>
cl. par suite,
OÙ 5r = x[ 4- a-, -t- . • . -h x'^' Par conséquent , en représentant par À ce dernier déterminant, on aura
Or on sait c{uc
donc
Voici un autre résultat auquel sa singularité donne quelque importance. Considérons le déterminant
AiX; A:J::... A^.r„
On a
et si Ton fait
So S|« . . Sn-i A|
Si Sa. . . Sn—i A| X|
S«3 S«i . . . Sjj,— 4 Ai^:^
A, A, x,. . . AiXj I
S| Sj. . . Srt i i^i
S«-.« Si,-.i . . • S211— « J^,
1 dT, . . . j:. o
on pourra encore écrire Or on sait que
donc, en se reportant à la seconde expression de M, on aura
dv
^- a: Xv
Si Ton multiplie les deux membres de cette équation par AJ Aj. . . AJ, et qu'on ait égard à Téquation (rt), il vient
