VA
^ TTT— T. - A* A
( '56) OU bien
Actuellement, si les équations /"(x) = o, ç(j:)r=o ont en commun la seule racine Xi , il en résulte y =: o , et l'équation précédente divisée par 9 (xj) (f(Xi)»., <f (^n) devient
dSinr-l
résultat au moins singulier si Ton fait attention que -7^^ —
est fonction des seuls coefficients. U est bon de remarquer que cette dernière relation ne subsiste plus si les équations ont quelque autre racine commune, parce qu'il devient alors impossible d'eiTectuer la division par (f (xt) f (xs) . . . f (x^). Les produits analogues à'^ (xj) (f(Xi) . . . ç (x^) peuvent s'obtenir plus généralement de la manière suivante. Ayant fait
R, = (p (x,) <p (.^3) . . . (p (.r„) , R, = <p (j:,) y (X3) . . . ^ {x„), etc.,
et supposant que les équations f(x) = o, ç (x) = o admettent la seule racine commune Xi , le résultat de l'élimination de X entre ces deux équations s'obtiendra en posant
V = y(:c.) <p(arj). . . ç(r„) = o.
Or y étant une fonction des coefficients ao, ûi,..., feoi^iv» on aura
dv , / V dvi ^ / / X dxi ^ , / X d.v„ ^
-1 = <p' X, T-^ R. + t'^^Ot- r. + . . . + ?' ^«) 7-^R«;
mais
{ «57 ) donc
Maintenant, parla méthode d'Abel [voyez Sehret, p. Sp, Algèbre supérieure, 2® édition), on a
(p et 9 désignant des fonctions rationnelles et le S se rapportant aux racines de f[x) = o. Si l'on prend
^|,(x) = c.x»-hC|a:^•-h...-hc„ et G(j:) = 27i^, ou aura évidemment
2RÔ(a:)= — ^,
et conséquemment
, / X i I dv dv d^\
^^ ^ dj\ dûn dan-x da^j
doo
ce qui constitue une forme nouvelle propre à représenter une fonction rationnelle de la racine commune à deux équations. On en déduit sur-le-champ
résultat obtenu par M. Richelot (voir Nouvelles Annales, octobre i854) par une autre méthode, et qui conduirait réciproquement à la formule qui vient de le fournir. Supposons présentement
et posons
On verra, comme lorsqu'il s'est agi de l'expression (a) de y, que
GTq (Il . . . (7/, 2
''ji— 2 Cn— I •
Mais de 4- (x) = 4r^ on déduit
or — JTi ^.r — .ri y
et, par suite, j)our r= 2, 3, . . ., «,
.r, — .r, On aura doue , par la substitution ,
et , par conséquent ^
5'r = Sr-f-i — ■'^1 S;-.
Par celte relation il viendra
S| — .r, So Sa — .T, Si . . . Srt^i — .^1 s»
Sj — .'•, s, S3 — .7-, Sj . . . S„ — .r, s,^.
•'•■| ^11 ■: Sn -''i s,, -( .. Sj„. ;j .»'| 5jn|
tio bien
S| Sj . . . S/i
On— 2 Sn-> I • • • Sa n— 3 n—i
On obtiendrait les Rj, Rj eu écrivant j7s, Xs* • • à la place de 0^1. On apercevra par ce qui va suivre la relation trèssimple qui règne entre les R^ et les dénominateurs des réduites de la fraction continue propre h représenter jr^* 2". Si l'on pose
(7) ^W(-g|) . ^»?W (^-*,)/'Cx.)"^(x-.x,)/'(:rO
ce qui entraine
on a le
Théorème II, — L'expression
(8) a,Tr-^a, Tr-x' + a^ T^-, -f- . . . H- «r To est égale à
To («0 .^ ■+• «1 ^~' -h .^. . -h â'r-i J? -4- ar) — (^.-.e .r'--» H- b^^e X'-' 4- ... -h ^r-.) ,
en ayant soin de mettre zéro à la place des coefficients b dont les indices seraient négatifs.
On aperçoit sans peine que ce théorème est une conséquence du théorème I , qui montre que
etj par suite,
(9) Tr = To .r'- - (.r^- So + .r'-î S. + . . . + .V Sr-2 4- Sr-,).
( >6o) 3°. Supposons que la recherche du plus grand coromuu diviseur de f(x) et ç (x), effectuée en changeant le signe du dividende et celui du diviseur dans chaque division partielle (comme cela se se pratique dans le théorème de M. Sturm), conduise aux relations
(lO)
les <7i, çTj,..., <7,„^.i désignent les quotients obtenus dans les divisions successives, le premier étant en général du degré n — m et les autres linéaires 5 et les r^, r,,. . . , r^ sont les restes correspondants dont les degrés respectifs sont généralement m — i , m — 2 ,.- • ? ^ 5 ^« Si l'on représente par
les réduites successives de la fraction continue
ya - ~ —
on aura
(11) r, = çD,— /N„ r,=r(pD,-/N„..., /•«rzçD»— /N«
et les Dj, N, seront du degré n — m-\r s — i et 5 — i. Cela posé , nous nous proposons le problème suivant : Déterminer, en fonction des coefficients de/* (x) et y (jr),
les coefficients des résidus r, ceux des quotients q et ceux
des numérateurs et dénominateurs N , D.
D'après les formules de la décomposition des fractions
( i6, ) OU a
A, désignant le coefficient de x"""* dans le polynôme /•, (x), et comme les équations (i i) donnent
il vient
En supposant
(où « = 5H-e), et substituant dans les équations précédentes , on aura un nombre d'équations précisément égal au nombre des coefficients c„ c,,..., et où ces dernières quantités auront elles-mêmes pour coefficients les S^ définis par l'équation (i). De ce système linéaire, on pourra donc déduire les expressions des c,, c, ,...; et si l'on fait
So S| . . . S|'-i Ai =
ou î= s-{- c= s -hrn — /i , on aura
A, dAi As d^i (,«) A, dài
aoAidSii^2 ' «0 A| //Sî;-3 * €i(,Ai dSi^
Par conséquoiK,
•-^ / X A, / (lui; d à; >
Di Çt) = -4- / -^ .»-' -t- -7^ .r'-'4- . . .
ve qu'on peut encore écrire
A, fl-.A,-
Oi Sa ... S;
S|__5 S|-i . . . Sj/—:!
D'ailleurs des relations (îi), savoir
r,, =:^D,., — /N,,, combinées avec N, D,, — N^jD, = i, on déduit
et en substituant dans ces équations les valeurs
on en conclut sur-le-champ
c'est-à-dire, en ayant égard à la valeur de c, et observant
A, A,, =: ur,,— .
il2')
en oulre, on a évidemment A,, = f>i>-
Au moyen des formules (îa), (6) on passera de ces expressions quî sont formées avec les S^ aux expressions analogues formées avec les coefficîeuis des fonclionsy(x), y (x).
La théorie de la décomposition des fractions rationnelles donne
ce qui, en ayant égard à Féquaiion (124) et à Fexpression (7) de T,., se transforme aisément en
St 2 S/| .
To T,..
De là, par les formules ( 2), (6) et (8), on déduira les coeificients /%(x) exprimés par ceux de f{x)^ 9{^)' D'après Téquation {9), si Ton fait
en sorte que
le déterminant qui figure dans le second membre de lequa^ tion précédente se partagera dans les deux suivants :
So S| S,'i
S| Sj . . . . 0/
S| — 2 O/— I • . • Sj,'.T
So S|.
Donc, en se rappelant que To = 77— T' et ayant égard à l'équation (12), on aura
et, par conséquent,
So bu • . . . b/ — i S, Sj S/
O /o fi^i
il n y aura plus qu'à introduire les S^ exprimés par les coefficients de /^(^j? ? (^)î pour avoir l'expression requise des N,.
Quant à la valeur d'un quotient quelconque y,, on pourra la déduire indifféremment de l'une des relations connues
On remarquera que la quantité que nous avons précédemment appelée R(r) n'est autre chose que D,„(j:^).
4". En différentiant les équations (10) par rapport à x^ on obtient, après quelques réductions,
/■Ht-»'("/='-ë+<^-<i'--
dqm
dx
( «65 ) OU, en supposant
<72 =r a, a? H- p, , ^3 =r aj ar + p3 , . • . , ^^^.j = a»,^, x +- p;„^. ,
En désignant par x', od'^..,^ x^""^ les racines de l'équation (f [x) = o, on déduit de la précédente
— y'(^^^^)/(.^^''^) =«3/-; (^^^>) + «a/-; (x(0) H- . . . -4-a«^.r,^., et celles-ci , quand on a égard à (11), foumisseiit
-Q^ = q\ (xr) -h a, D; (a;.) -H «3 D; (a:,) 4- ... -h a„^, DJ. (x,)
Si l'on suppose
a,N;(x(0) + aaNj (xC)) 4-. . . -h a«^.. ]S;;.(x('-)).
et, par conséquent,
<7i = ai^-h Pi, la première de ces équations donne
où l'on a fait, pour abréger,
p{Xr) = a, —
Dans le cas particulier où
la première ligne du déterminant qui précède devient divî-
sible par ai — i, et l'on a
propriété déjà énoncée par M. Sylvester [Philosophical Magazine^ octobre 1 853) . L'équation (i4) vérifie la conjecture de ce géomètre distingué relativement à l'existence d'une équation analogue à cette dernière dans le cas général où 9 (i) serait une fonction quelconque du degré
