OH

5°. En désignant par A,, A'^ les coefficients de a:"* %

x"*""'" ^ dans le polynôme i\ [x) , et par c,, c^ ceux de x"~"*^~* , ^,j,„+,-.2 j^jjg jg polynôme D^ (a:), et se rappelant que

on a

^+' fi

Cs

Maintenant les formules pour la décomposition des fractions rationnelles donnent

et^ par suite,

^sCs , ^i^s~^ ^s ^* A^c^a,

(*) On a iheorjr of the syzigelîc relations of t-wo rational intégral funC' lions, etc. { Philo sophi cal Transactions , i853, part ÏII, page /jSo.)

mais

donc

On trouve aussi

formules données sans démonstration par M. Sylvcstor dans le Mémoire cité [On a theoiy, etc.). On peut joindre à ces relations les suivantes, qu'on vérifiera sans peine au moyen des principes ci-dessus exposés.

6^. Le déterminant qui figure dans le second membre de Téquation (i3) peut, quand on a égard à Téquation

S/— I — «r T,, rr: — ï,- ,

se transformer dans le suivant :

Ta T.... T,, T. T,... T,

( «68) et conséquemment , en posant

ce même déterminant ne sera autre chose que le discriminant de la fonction quadratique F. Dans le cas de ç (x) =y^ (x), ce théorème avait déjà été énoncé par M. Hermite dans son intéressant Mémoire : Remarques sur le théorème de M. Sturm, présenté à F Académie française le i4 février i853.

Les valeurs des résidus exprimées au moyen des racines de f(x) = o peuvent aisément s'obtenir en considérant les mêmes résidus sous cette dernière forme. Ainsi ^ par exemple ,

To T. T. T,

(x-arO/'(^,) '{.r^a:,)r{a:r)

.T,(f(Xs)

xj. ç(.rr)

(•r-Xs)f(jr,) ^(.r-..r.)/'(^,)

ou bien

I To T.

r(^r)f(^^s) {x^Xr){a:^.r,)