I .Vr

ou encore

To T, T. T,

f.^,— Xr)*

Semblablemen t

To T, Tj T, T^ Ta T, T, T4

j. ^{j^s) <?K) y(-r/) (xs— '-^.y ( ^V— -y/)' ('^1— -y^)'

et ainsi de suite. Le symbole S représente la somme d'autant de produits, analogues à celui qui est en évidence, qu'il

y a de combinaisons deux à deux, trois à trois, etc., des racines.

7°. Nous ajouterons les valeurs des résidus r^ (x)^ r, (x), Ts {x) , exprimés par les coefficients des fonctions f(x)^ o [x) 5 on pourra en déduire aisément la loi de formation pour un résidu quelconque. Les expressions qui suivent sont obtenues par la méthode employée dans la recherche analogue des résidus de Sturm. En supposant m=n — i, ou a

-.(" = ÂÎT.

flo «i Oi Qj,

o h^ bi 62

bo bt bi bj

o po P\ p%

ûo ût fi2 ^3 «4 a^

o Oq ai «2 ûTa «4

o o ^0 ^i bi bi

o bo bi ba b-i b,

bo ^1 b^ b^ bi bs,

o o pi P2 Pi Pa

Des équations (12') on déduirait en outre , pour s pair,

et pour 5 impair,

«;aîA:... ALi

Quant aux A, on les calculerait comme les résidus, et l'on

ûq rt, a-i «3 «4

a, Ox £/2

o â« ai a-i a^

b^ bi b, b, b.

^0 ^( ^2 ^3 -bi

Des valeurs de r(a:) on déduit celles de D(a:)5 N(a:), exprimées déjà au moyen des coefficients des fonctions de ? (j^)? f[^)'i et cela par la forme même du déterminant second membre de la valeur de r{oc)^ ainsi qu'on l'a indiqué à la fin de 3°.

Les expressions trouvées pour r [x) et A restent encore les mêmes dans le cas où m <^n — 15 il faut seulement avoir soin de remplacer par des zéros certains coefficients convenables des fonctions ç (x) , /(x),

Pavie, 10 août i854.

Remarque du Traducteur. — La formule (3) est démontrée par M. Brioschi , probablement de la manière suivante, dans le volimie de l'année i854 des Annales de M. Tortolini, volume que je n'ai pas sous les yeux, la Note qu'on vient de lire provenant d'un tirage à part :

étant la somme des produits r + i à r-hi des racines

de y*(x)=o, on peut considérer cette somme comme obtenue en multipliant par Xs la somme des produits i* à r de toutes les autres racines et joignant à cela la somme des produits r-l-i à r-\-i des mêmes autres racines. La différentiation par x^ fera donc disparaître cette seconde partie de

façon que — ^» se trouvant ainsi égal à la somme des produits r à r de toutes les racines autres que x^ , ne sera autre

( 17' ) chose que le coeflScîent de x""' ~* dans le quotient , \ :

ce qui démontre la formule (3). On aurait semblablement

— — le coefùcient de .r"-"-^ dans — ^

dr, (Lr^ (-.r — j:, ) ( .r — .r„ )

et ainsi de suite.

Si f{x) = G n'a pas de racines égales, comme on l'a sup-

d^ a posé, il est clair que — -Ç^ = o. On pourrait d'ailleurs

former les expressions des dérivées partielles pour le cas des racines égales.

Soit (f une fonction quelconque des racines de l'équation f{x) = o -, on a

do "^ r/(p dllr

dxg ^ dur dfj r= I

et, par suite,

5 = « rz=zn s=zn

V r li — V '''' "V r ''"•■

c'est-à-dire, en représentant par s^ la somme des puissances r des racines ,

do «r* d

supposant, pour plus de simplicité, ao=i, et observant que ce qui est entre parenthèses est égal , par les formules

( «72 ) de Newton , à — ra,., on aura finalement

s=zn r = n

Celte formule est encore démontrée par M. Brioschi dans le volume cité.

On trouve aussi de la même manière

5= n r = n sz= n d<f ^ ^?

I dx, '^ dar

ou, à cause de 5^i+rti^,.8-|-...H-a^2 5i4-('' — i)ar i=o,

rf« , ^ dfo

rflr, ' dar

nouveau résultat de M. Brioschi (même volume).

THÉORÈME D'ALGÈBRE SUPÉRIEURE j Par m. FAURE.

{Nouvelles Annales, Mars i853.)

Si l'on divise le polynôme

n{x)=i a^a^-\- a, af'-' -+- a^af"-'' -f- . . . 4- arxr'~'' -+- . par le polynôme

F [x) = ae^" 4- a, a;"~' -h a, jc""^ -f- . . . ,

( >73 ) et que l'on représente le quotient par

AcaT-^-h A,x«'-«-' -f- Ajar^-»-»-!-...-*- Ar a:*-"-'" + . . .,

on trouve aisément qu'un terme quelconque du quotient tel que A^ a pour valeur

a, ao

ao .

flfr

C'est ce principe bien simple qui, développé, mène à de nombreuses conséquences 5 ainsi, relativement aux fonctions symétriques , on sait que si l'on veut avoir la somme des valeurs que prend une fonction entière (f (x) dans laquelle on remplace x successivement par toutes les racines d'une équation F (x) = o, il faut effectuer la division

— „, . ? et la somme que Ton demande est le coefficient t (x)

du terme en - du quotient.

Supposons que II {x) = F' (x) cf (x) et que (p (x) soit de degré r 5 le terme A^ .r'"""""*' pour lequel m — n — r = — i donnera A^ pour là fonction symétrique cherchée.

Si l'on a égard au procédé indiqué par M. Transon, on voit que la méthode précédente conduit à la déterminalion d'une fonction symétrique quelconque, et l'on substitue ainsi des multiplications aux divisions de M. Transon.

En particulier si l'on suppose (p(:i:) = i, le quotient

( 174 ) ûj = (m — i) «1 , . . . , devient dans ce cas

ao o

moLQ

d'où

a, ao ... (/// — l)a, aj a, . . . (/7i — ?.) a.

o ao o .

a, a, ao .

2 a: ai a.

r(X.r V.r CX-r-X'

Celte relation revient à celle de Brioschi, il suppose seulement «0 = 1- (Voir Nouvf elles Annales^ tome XIII, page 352.)

Relativement à la division numérique dans un système quelconque , on arrive à ceci : Supposez que l'on veuille diviser le nombre

5312367 par 23457

écrit, par exemple, dans le système décimal^ le quotient sera de la forme

Ao 100 -f A| 10 -h A,.

Or, d'après la valeur générale de A^,

donc le quotient entier est

On voit de plus que les soûls chiffres qui servent à déter-

( '75) rainer le quotient sont 53 1 dans le dividende, 234 dans le diviseur, et généralement autant de chiffres qu'il doit y en avoir au quotient. Ainsi le quotient des deux nombres précédents revient à celui de 53ioo par 234»

Il y a encore d'autres conséquences relatives à la valeur du reste de la division de deux polynômes , aux séries récurrentes, aux fonctions de M. Sturm, etc.