RACINES COMMUNES A DEUX ÉQUATIONS

(BRIOSCHI, JSowelles Annales , Mars i855.)

Soient

/ \ if{x) = a^.i^ -fra.x^-' 4-.. . -4- a„ =0,

les deux équations , Xi , Xj, . . . , jr„ les racines de la première supposées inégales , et

Supposons que les équations (i) aient /• (et seulement r) racines communes, on a la proposition suivante :

Théorème, Les /• racines communes aux deux équations (i) sont les racines de celle-ci :

db\„ db''dh„. 2 db-'db

. X- à.'Y , ,, iVY

db^db,' db\^ ,

( '76 ) OU de cette autre

7^ — '•— TTï

r/rt. da,, du

ixf — r — p-j .r^-' -h . . .

fin

En eflet, de réquation (2) on déduit dV

db^^dh..

db,,db,,db,.

ou

Ti = /W — J,, Tj = AW — fj,

Si les équations (i) ont la seule racine communis Jfi, la première équation (3) donne

et, par conséquent ,

résultat obtenu par M. Richelot,

Si les équations (i) ont en commun les seules racines

( '77 ) Xx , ^î, la seconde des équations (3) donne

d*où

«'ar;'4-<'<')VM;

et les Xi , Xj seront les racines de l'équation ^^V , d'\ rf'V

De même si les équations (i) n'admettent simultanément que les racines Xi^ x^^ Xs, la troisième équation (3) fournit

• = 2 (ar, a-j 4- JCi ^3 -h X2,v^) V,,,;s, ,3 = a?i,ra^3 V,,2;3,

dbdbtn^ dbi,^,

et les trois racines communes seront en conséquence les racine» de l'équation

dbl dbfndb„., ^ "^ db„dbi,, ^ dbl^, ^ "" •

En se laissant guider par l'analogie, on pourrait conclure à la généralité du théorème*, maïs la méthode suivante, plus féconde en conséquences, ne laissera aucun doute à ce sujet.

Représentons par Pj le symbole d'opération

dbn dbn-^ 2 dbm-:i

dY , , clY

-^-'y^^Tb — ■^(""^\/r—

En subslituaut pour ---, -^ — ,.-•? leurs valeurs déduites

'^ db„, db^,

de la première (3), on obtient ^

Répétons sur la fonction V une seconde fois l'opération Pj, c'est-à-dire formons le carré du polynôme Pi en changeant dans les dérivées les exposants en indices : on aura de la sorte

dbl db„,db^^, .

,,, / 5(5—1) rf»v ^ d'y \

"^^ y Î.2 db^db^,,'^' dbL-j