db^db
ou, en mettant pour -yrr^ -77—77 — >••• leurs valeurs tirées ^ rf^i db^db„.^
de la seconde (3),
(b) P,==2V,,,(.r — a:,)'(ar — x,)'-+-2V,.3(j:— .r,)'(^— Jr3)*-+-...
Si l'on fait subir à la fonction V une troisième fois Topera tion Pj, c'est-à-dire si l'on forme le cube du polyil6iue Pi en changeant dans les dérivées les exposants en indices, et qu'on ait égard à la troisième (3), on trouvera
I P3=6V,,,,3(.r — a:,)^(^ — x,)'(x — .rj)^
et généralement l'opération Pi , répétée r fois de suite , conduira à
(d) P.= 1.2.3..; rV,,,,3,...r(^--^.)'(x—^,)...(.r^ar,)'-f-....
Actuellement, si les équations f(x) = o, y (x) = o ont une seule racine commune o^i , on a
{ *79 ) si deux racines communes o^j , x^ ,
si trois racines communes Xi^ a:» , Xs ,
v=:o, p.~o, p,= o, P3=6Vi,,,3(jp— J^OM^—J^ï/C-^— *s)';
et généralement, pour r racines comnuines Xi, Xi,..., x^, on aura
Donc, si, dans le symbole d'opération Pj, on fait 5 = 1, les équations 3u premier, second , . . . , r**"** degré
Pi = o, P, = o,. . . , Pr = o
auront pour racines respectivement la seule racine Xi commune aux deux équations f(oc) = 0, ^ (x) = o; les deux seules racines communes Xi , x^ , . . . 5 les r seules racines communes Xi , Xj , . . . , x^.
Maintenant en faisant ^ = i dans l'expression de Pj , et répétant r fois celte même opération Pj , on obtient
Pr= — -x'—r- " ' •
db'in db'in ' dbn^
dry , ^ ^'•v
dbm db,„—i db,n—i
ce qui fournit la démonstration générale^ du théorème énoncé au commencement.
Supposons présentement que l'équation / (x) = o contienne i groupes de racines, pour le premier desquels le degré de multiplicité des racines soit Tj , pour le second 7*2, ... , pour le 1'^"**, t'i 5 et soit fait /'i H- rj -h- . . H- ;\ = r. En désignant par V le discriminant de ré(|uation /^(x) = o,
( «8o) et par Pi le symbole» d'opération
d\ , . rfV , ,. dW , ,, d\
dOa dOn-x dûn-s+i dan^,
on aura
V=ro, P^=o, P,= o,..., P^, = o,
Pr = '-^[(.r-.^.y'(x- a:,)'-*... {x — x„Yi]%
Xi^ Xi^. . .^ Xi étant les racines qui correspondent respectivement à chacun des groupes dont on a parlé ; et conséquemment , pour 5 = 1, l'équation P^ = o aura pour racines lesXiy x^j. . .y Xi aux degrés de multiplicité respectifs r,, 7',,. . ., 7',: Il va sans dire que dans la démonstration directe de ce théorème les équations que l'on rencontre et qui sont les homologues de (a), (i), (c), (d) n'ont nullement la forme de ces dernières.
Dans le cas de ^ = n, ce théorème coïncide avec celui de M. Sylvester, relatif du discriminant d'une fonction homogène à deux variables [Philosophical Magazine ^ mai 1832). Le grand avantage de l'indétermination de s consiste dans la possibilité de déterminer les équations qui ont pour racines les racines communes ou les racines multiples \ et cela par la simple supposition de 5 = i .
Si 0:1= OTj = . . . = a:,-, c'est-à-dire si l'équation f[x)=o admet r-f- 1 fois la racine Xi, en faisant 5 = 1, on aura, comme corollaire du dernier théorème ,
et, par suite,
dttn
dan don-v
dan
pour l'expression de la racine multiple.
( «8. ) L'extension de la méikode au cas de trois équations à deux variables ne présente aucune difficulté. Supposons que les équations f(x^ j^) = o, ç (a:, y)z=zo admettent les couples de racines communs
{h) (.r,, .r,)» i'^^y rO»-- J ('V ^/*)'
et soit
4- («2,0 -+• «M r + a^,^ r') •*'•'""' + • . . -H (^/iii.o4-««,ir +. .• +«/ii,tiiJ^) = o une troisième équation. Si l'on fait
on aura
Lors donc que le seul groupe (j^i, Ji) donnera ^ (j^,/) = o, il viendra
(• V m— ri il
d'où
d\ d\ dV
— V,, — — — ^,V,, ;r^ — ^iV,,
da^^fi da^
ce qui fait connaître x^ et ^j. De même, si les deux seuls groupes (jtr, , j-j), (xj, jj) de la suite (A) annulent ^ (x, j^), on a
^//îm.o aflf^-1,0 «^,/.- f,«
et ainsi do suite.
( i82 ) On pourrait donner à ces résultats une forme plus générale, comme dans le cas de deux équations *, mais la chose ne présente pas de difficulté. On pourrait aussi obtenir les conditions analogues a celles de Lagrange, pour que trois ou un plus grand nombre d'équations admettent des racines communes. Pour le cas précédent, par exemple, on aurait
rfV d'y
